Giáo án Bài 35. Sự đồng quy của ba đường trung trực, ba đường cao trong một tam giác

Huy động kiến thức về đường trung trực của đoạn thẳng và đặt câu hỏi dẫn tới vấn đề: ba đường trung trực của một tam giác có gặp nhau không.

GV vẽ tam giác ABC nhọn trên bảng và hỏi: “Điểm nào cách đều hai điểm A và B? Đường nào chứa tất cả các điểm đó?”. Sau đó HS trả lời câu hỏi “Ba đường trung trực của ba cạnh AB, BC, CA có cắt nhau tại một điểm không?”. HS dự đoán và ghi dự đoán vào vở.

• Các điểm cách đều hai điểm A và B nằm trên đường trung trực của đoạn AB.
• Dự đoán ban đầu của HS: ba đường trung trực có thể cùng đi qua một điểm (cần kiểm chứng bằng hình vẽ).

Hình thành kiến thức: ba đường trung trực của ba cạnh tam giác gặp nhau tại một điểm O cách đều ba đỉnh (OA = OB = OC); nhận biết vị trí O theo loại tam giác.

HS hoạt động nhóm 4, vẽ tam giác nhọn, tam giác vuông và tam giác tù. Với mỗi tam giác, HS vẽ ba đường trung trực, tìm giao điểm O, đo OA, OB, OC và trả lời Phiếu học tập số 1. Câu hỏi GV đặt ra: (1) Ba đường trung trực có cắt nhau tại một điểm không? (2) Vì sao OA = OC khi O thuộc trung trực AB và BC? (3) Vị trí O thay đổi thế nào khi tam giác là nhọn, vuông, tù?

• Kết quả vẽ: ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm O.
• Lập luận: O thuộc trung trực AB nên OA = OB; O thuộc trung trực BC nên OB = OC; suy ra OA = OC. Vì vậy O cũng thuộc trung trực AC.
• Kết luận: Ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại O và OA = OB = OC. O được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác (tâm ngoại tiếp).
• Vị trí O: tam giác nhọn, O nằm trong tam giác; tam giác vuông, O là trung điểm cạnh huyền; tam giác tù, O nằm ngoài tam giác.

Hình thành kiến thức: ba đường cao của tam giác đồng quy tại trực tâm H; xác định vị trí H trong tam giác vuông, nhọn, tù.

Nhóm dùng ê ke vẽ đường cao từ mỗi đỉnh xuống đường thẳng chứa cạnh đối diện, tìm H và trả lời Phiếu học tập số 2. Câu hỏi GV đặt ra: (1) Đường cao là đoạn thẳng như thế nào? (2) Ba đường cao có cùng đi qua một điểm không? (3) Với tam giác vuông, H nằm ở đâu? (4) Với tam giác tù, vì sao phải kéo dài cạnh để vẽ đường cao?

• Đường cao: đi qua một đỉnh và vuông góc với đường thẳng chứa cạnh đối diện.
• Kết luận: Ba đường cao của tam giác đồng quy tại H, gọi là trực tâm.
• Tam giác vuông: H chính là đỉnh góc vuông (hai cạnh góc vuông cũng là hai đường cao).
• Tam giác nhọn: H nằm trong tam giác.
• Tam giác tù: phải kéo dài các cạnh để vẽ đường cao; chân đường cao có thể nằm trên phần kéo dài, H nằm ngoài tam giác.

Phân biệt rõ tâm ngoại tiếp (giao ba đường trung trực, cách đều ba đỉnh) và trực tâm (giao ba đường cao); tránh nhầm lẫn với tính chất cách đều cạnh của đường phân giác.

Các nhóm được đánh số 1–4 ở vòng đầu; sau đó tách thành nhóm chuyên gia, mỗi chuyên gia tìm hiểu một điểm đặc biệt (tâm ngoại tiếp hoặc trực tâm) rồi quay lại nhóm gốc để giảng lại. Câu hỏi GV đặt ra: (1) Tâm ngoại tiếp cách đều những đối tượng nào? (2) Trực tâm được xác định bằng đường nào? (3) Trong tam giác vuông, hai điểm này ở đâu? (4) Điểm nào cách đều hai cạnh?

• Tâm ngoại tiếp: giao của ba đường trung trực; cách đều ba đỉnh (OA = OB = OC).
• Trực tâm: giao của ba đường cao; được xác định bằng đường vuông góc với cạnh đối diện, không phải bằng khoảng cách đến cạnh.
• Tam giác vuông: tâm ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền; trực tâm là đỉnh góc vuông.
• Ghi nhớ phân biệt: “cách đều cạnh” là tính chất của tâm nội tiếp (giao phân giác), không phải của tâm ngoại tiếp hay trực tâm.

Củng cố nhận biết điểm đặc biệt, tính chất đồng quy và phân biệt các khái niệm qua bài tập trắc nghiệm, đánh giá đúng sai.

HS làm bài tập 1–6 (đề và đáp án trong phần sản phẩm). HS có thể dùng học liệu NeoEdu để làm bài tương tác. GV yêu cầu giơ thẻ A/B/C/D hoặc Đ/S và giải thích ngắn gọn cho các câu 3, 4, 6.

Đề và đáp án:

• Câu 1: Giao ba trung trực cách đều: A. Ba cạnh; B. Ba đỉnh; C. Ba chân đường cao; D. Ba trọng tâm. Đáp án B: mỗi trung trực là tập điểm cách đều hai đầu mút của cạnh.
• Câu 2: Trực tâm là giao của: A. Ba trung tuyến; B. Ba phân giác; C. Ba đường cao; D. Ba trung trực. Đáp án C: ba đường cao đồng quy tại trực tâm.
• Câu 3: O nằm trên trung trực AB và BC, OA = $5$ cm. Khi đó OC bằng bao nhiêu? Đáp án: $5$ cm, vì OA = OB và OB = OC nên OC = OA.
• Câu 4: Đánh giá đúng (Đ) hay sai (S): a) Trực tâm tam giác vuông là đỉnh góc vuông: Đ. b) Mọi đường cao luôn nằm trong tam giác: S. c) Tâm ngoại tiếp có thể nằm ngoài tam giác tù: Đ.
• Câu 5: Ghép: Trọng tâm – giao ba trung tuyến; Tâm nội tiếp – cách đều ba cạnh; Tâm ngoại tiếp – cách đều ba đỉnh; Trực tâm – giao ba đường cao.
• Câu 6: Đường cao từ A trong tam giác tù có chân H trên đường thẳng BC. Điều bắt buộc là: A. H là trung điểm BC; B. AH ⊥ BC; C. AB = AC; D. H phải nằm giữa B và C. Đáp án B: định nghĩa chỉ yêu cầu đi qua A và vuông góc với đường thẳng chứa BC.

Vận dụng tính chất trung trực và đường cao để chứng minh một điểm thuộc trung trực thứ ba và giải thích sự trùng nhau của các điểm đặc biệt trong tam giác đều.

HS làm việc nhóm đôi, giải bài 7 và bài 8. Câu hỏi GV đặt ra: (1) Vì sao O thuộc trung trực BC khi O là giao của hai trung trực AB và AC? (2) Trong tam giác đều, đường nào vừa là trung tuyến, vừa là đường cao, phân giác và trung trực? (3) Vì sao bốn tâm trùng nhau?

Bài 7: Chứng minh giao O của hai trung trực AB, AC cũng nằm trên trung trực BC.
Gợi ý lời giải: O thuộc trung trực AB nên OB = OA; O thuộc trung trực AC nên OA = OC. Do đó OB = OC. Theo tính chất đảo của đường trung trực, O thuộc trung trực BC.
Thang điểm (1 điểm): từ hai trung trực suy OB = OA và OA = OC: 0,5; suy OB = OC bằng bắc cầu: 0,2; áp dụng tính chất đảo trung trực kết luận O thuộc trung trực BC: 0,3. Chấp nhận cách giải tương đương có căn cứ.

Bài 8: Tam giác đều có trọng tâm, trực tâm, tâm nội tiếp, tâm ngoại tiếp trùng nhau. Giải thích.
Gợi ý lời giải: trong tam giác đều, đường đi từ mỗi đỉnh đến trung điểm cạnh đối diện đồng thời là đường cao, đường phân giác và đường trung trực. Ba hệ đường có chung giao điểm, nên các điểm đặc biệt trùng nhau.
Thang điểm (1 điểm): giải thích đường trung tuyến đồng thời là đường cao, phân giác, trung trực: 0,6; suy ra các hệ đường cùng giao điểm: 0,2; kết luận bốn tâm trùng nhau: 0,2. Chấp nhận cách giải tương đương có căn cứ.

Vận dụng tâm ngoại tiếp để giải quyết tình huống thực tế: tìm vị trí đặt một trạm cách đều ba khu dân cư không thẳng hàng.

Ba khu dân cư A, B, C tạo thành một tam giác. Chính quyền muốn đặt một trạm nước sạch sao cho khoảng cách từ trạm đến ba khu dân cư bằng nhau. Nhóm HS vẽ sơ đồ tam giác ABC (nhọn hoặc tù), xác định vị trí trạm và giải thích. Câu hỏi GV đặt ra: (1) Bài toán yêu cầu điểm có tính chất gì? (2) Điểm đó là điểm đặc biệt nào của tam giác? (3) Nếu tam giác ABC là tam giác tù, vị trí trạm có nằm trong tam giác không?

• Mô hình toán học: tìm điểm cách đều ba đỉnh A, B, C, tức là tâm ngoại tiếp O của tam giác ABC.
• Cách xác định: dựng hai đường trung trực của hai cạnh bất kỳ, giao điểm O là vị trí đặt trạm; đường trung trực thứ ba cũng đi qua O.
• Lập luận: OA = OB = OC nên khoảng cách từ trạm đến ba khu dân cư bằng nhau.
• Lưu ý: nếu tam giác ABC là tam giác tù thì O nằm ngoài tam giác, vẫn đặt được trạm và không cần nằm trong khu vực giữa ba khu dân cư.