Giáo án Bài 34. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác

Huy động kiến thức về trung điểm, đường trung tuyến và tạo tình huống để HS dự đoán sự đồng quy của ba trung tuyến.

GV yêu cầu HS vẽ tam giác ABC bất kì vào vở. Dùng thước xác định trung điểm M của BC, N của CA, P của AB, rồi nối AM, BN, CP.
Câu hỏi GV đặt ra:

• Đoạn AM được gọi là gì? Trung tuyến là đoạn nối đỉnh với điều gì?
• Ba trung tuyến của tam giác ABC có gặp nhau tại một điểm không? Em dự đoán thế nào?
• Điểm gặp nhau đó gọi là gì?

HS vẽ được ba trung tuyến AM, BN, CP.
Dự kiến HS trả lời: Trung tuyến AM nối đỉnh A với trung điểm M của cạnh đối diện BC. Dự đoán: ba trung tuyến cùng đi qua một điểm, điểm đó gọi là trọng tâm, kí hiệu G.
Kết luận cần ghi nhận: Trung tuyến nối một đỉnh với trung điểm cạnh đối diện.

HS phát hiện, giải thích và vận dụng được tỉ lệ $AG:GM=2:1$ kể từ đỉnh; tính được AG, GM khi biết AM.

HS làm việc nhóm 4 với Phiếu học tập số 1: vẽ tam giác ABC, các trung tuyến AM, BN, CP; xác định trọng tâm G; đo AG và GM trên trung tuyến AM (và BG, GN nếu cần); tính tỉ số $\dfrac{AG}{GM}$ và $\dfrac{AG}{AM}$. Sau đó HS rút ra kết luận và kiểm tra trên trang bài học NeoEdu (bài giảng phần trọng tâm).
Câu hỏi GV đặt ra: Tỉ số AG:GM là bao nhiêu? Đoạn nào chiếm 2 phần, đoạn nào chiếm 1 phần? Vì sao không phải là chia đôi?

Kết quả mẫu: Với AM đo được khoảng 6 cm thì AG khoảng 4 cm, GM khoảng 2 cm; $\dfrac{AG}{GM}=2$, tức $AG=2GM$.
Kết luận HS rút ra:

• Trọng tâm G chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 kể từ đỉnh: $AG=2GM$.
• Nếu AM là trung tuyến thì $AG=\dfrac{2}{3}AM$ và $GM=\dfrac{1}{3}AM$.
  Lưu ý: Tỉ lệ là 2:1, không phải 1:1 (không chia đôi trung tuyến).

HS nhận biết và giải thích được ba đường phân giác trong đồng quy tại I, I cách đều ba cạnh; phân biệt I với điểm cách đều ba đỉnh.

HS làm việc cặp đôi với Phiếu học tập số 2: vẽ tam giác ABC; vẽ các đường phân giác trong của góc A, B, C cắt nhau tại I; từ I kẻ các đoạn ID vuông góc AB, IE vuông góc BC, IF vuông góc CA; đo ID, IE, IF.
Câu hỏi GV đặt ra:

• Ba đường phân giác trong có đồng quy không? Điểm đồng quy là điểm nào?
• Các khoảng cách ID, IE, IF có bằng nhau không?
• I có cách đều ba đỉnh A, B, C không?

Kết quả mẫu: ID, IE, IF bằng nhau khi đo chính xác.
Lập luận mẫu: Vì I nằm trên phân giác góc A nên khoảng cách từ I đến AB và AC bằng nhau, tức ID=IF; vì I nằm trên phân giác góc B nên ID=IE. Suy ra $ID=IE=IF$.
Kết luận HS rút ra: Ba đường phân giác trong của tam giác đồng quy tại I; I cách đều ba cạnh của tam giác; I là tâm đường tròn nội tiếp, không nhất thiết cách đều ba đỉnh. Trung tuyến và phân giác chỉ trùng nhau trong một số tam giác đặc biệt.

Củng cố tỉ lệ trọng tâm, nhận biết điểm cách đều ba cạnh; rèn kĩ năng lập luận và phát hiện lỗi sai.

Phần A (làm nhóm 4, 10 phút): Bài 1 đến bài 5, HS giơ thẻ hoặc ghi đáp án.
Phần B (làm cả lớp, 15 phút): Bài 6 đến bài 8 với bảng nhóm và trình bày lập luận.
Câu hỏi GV đặt ra: Vì sao AG bằng $\dfrac{2}{3}$ AM? Vì sao I cách đều ba cạnh? Bạn đã nhầm ở đâu?

Đáp án:

1. Trung tuyến AM = 9 cm: $AG=\dfrac{2}{3}\cdot 9=6$ cm.
2. GM = 3 cm, $AG=2GM=6$ cm.
3. Đáp án A: Trung điểm BC (trung tuyến nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện).
4. Đáp án B: Ba cạnh (khoảng cách vuông góc từ I đến ba cạnh bằng nhau).
5. a) Đ; b) S (trọng tâm chia theo tỉ lệ 2:1, không chia đôi); c) Đ (ba phân giác trong đồng quy).
6. AM = 8 + 4 = 12 cm; $\dfrac{AG}{AM}=\dfrac{2}{3}$. Điền: 12 và $\dfrac{2}{3}$.
7. Lập luận: I nằm trên phân giác góc A nên ID = IF; I nằm trên phân giác góc B nên ID = IE; suy ra $ID=IE=IF$. (Chấp nhận cách giải tương đương có căn cứ.)
8. Bạn sai. Vì $AG=\dfrac{2}{3}AM$ nên $AM=\dfrac{3}{2}\cdot 10=15$ cm, $GM=5$ cm. Bạn đã coi AG bằng một nửa trung tuyến.

Vận dụng tính chất trọng tâm và tâm cách đều ba cạnh để giải quyết tình huống thực tế đơn giản; rèn mô hình hoá toán học.

Tình huống 1: Một khu đất hình tam giác ABC có ba con đường bao quanh là AB, BC, CA. Chính quyền muốn đặt một bồn nước tại vị trí cách đều ba con đường đó. Hãy xác định vị trí đặt bồn nước và giải thích.
Tình huống 2: Một tấm bìa hình tam giác đồng chất cần treo cân bằng bằng một sợi chỉ. Điểm nào nên chọn để treo? Vì sao?
Câu hỏi GV đặt ra: Vị trí cách đều ba cạnh là điểm nào? Điểm cân bằng của tấm bìa là giao của những đường nào?

Tình huống 1: Vị trí cần tìm là giao điểm I của ba đường phân giác trong của tam giác ABC, vì I cách đều ba cạnh AB, BC, CA.
Tình huống 2: Chọn giao điểm G của ba trung tuyến (trọng tâm), vì trọng tâm là điểm cân bằng của tam giác đồng chất (đây là kết luận vận dụng, GV chỉ nêu mức độ trực quan).
Kết luận HS viết: Trọng tâm G và tâm I là hai điểm khác nhau; G chia trung tuyến theo tỉ lệ 2:1, I cách đều ba cạnh.