Giáo án Bài 33. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

Huy động kinh nghiệm và nêu vấn đề: ba đoạn thẳng cho trước khi nào thì ghép được thành tam giác.

HS thử ghép ba que có độ dài 3 cm, 4 cm, 7 cm thành một hình tam giác theo cặp bàn. Sau đó trả lời câu hỏi: Ba đoạn 2 cm, 3 cm, 6 cm có ghép được tam giác không? Vì sao? Có phải bộ độ dài nào cũng ghép được không?

Kết luận sơ bộ của HS: ba đoạn 3 cm, 4 cm, 7 cm không tạo thành tam giác vì $3+4=7$, hai que 3 cm và 4 cm nằm thẳng hàng khi nối đầu với nhau, không tạo được đỉnh. Vấn đề cần giải quyết: độ dài ba cạnh của một tam giác phải thỏa mãn điều kiện gì?

Nêu được và giải thích được bất đẳng thức tam giác: tổng hai cạnh bất kì lớn hơn cạnh còn lại, suy ra $|a-b|<c<a+b$.

Nhóm 4 HS dùng kĩ thuật khăn trải bàn. Mỗi thành viên vẽ một tam giác ABC bất kì với thước và compa theo cách cho trước (ví dụ $AB=4$ cm, $BC=5$ cm, $CA=6$ cm), đo ba cạnh, tính tổng và hiệu hai cạnh rồi so sánh với cạnh còn lại. Nhóm điền kết quả vào Phiếu học tập số 1, sau đó đối chiếu với bài giảng trên NeoEdu. Câu hỏi GV đặt ra: Trong các tam giác đã vẽ, tổng hai cạnh có luôn lớn hơn cạnh còn lại không? Hiệu hai cạnh có luôn nhỏ hơn cạnh còn lại không?

Kết quả điền Phiếu học tập số 1 của mỗi nhóm: với $AB=4$ cm, $BC=5$ cm, $CA=6$ cm ta có $4+5=9>6$, $5+6=11>4$, $4+6=10>5$; hiệu $6-4=2<5$, $5-4=1<6$, $6-5=1<4$. Kiến thức rút ra: Trong một tam giác, tổng hai cạnh bất kì lớn hơn cạnh còn lại; với hai cạnh $a$, $b$ và cạnh thứ ba $c$ thì $|a-b|<c<a+b$. Dấu bất đẳng thức là nghiêm ngặt.

Vận dụng được cách kiểm tra ba độ dài dương có tạo thành tam giác không và tìm khoảng giá trị của cạnh thứ ba khi biết hai cạnh.

Cặp đôi nghiên cứu ví dụ: Hai cạnh của một tam giác là 4 cm và 7 cm, cạnh thứ ba là $x$ (cm). Tìm điều kiện của $x$, sau đó tìm các giá trị nguyên của $x$. Câu hỏi GV đặt ra: Để kiểm tra ba độ dài dương có tạo tam giác không, ta cần xét những tổng nào? Vì sao không cần xét cả ba bất đẳng thức khi biết cạnh lớn nhất?

Lời giải ví dụ: Từ $7-4<x<7+4$ suy ra $3<x<11$ (cm). Nếu $x$ là số nguyên thì $x\in\{4;5;6;7;8;9;10\}$. Kiến thức rút ra: Để kiểm tra ba độ dài dương $a\le b\le c$, chỉ cần kiểm tra $a+b>c$ vì hai bất đẳng thức còn lại luôn đúng. Điều kiện này quyết định khả năng dựng tam giác, không phụ thuộc số đo góc.

Kiểm tra được ba độ dài có tạo thành tam giác không và nhận biết được bất đẳng thức nghiêm ngặt đúng với mọi tam giác.

Làm việc theo nhóm 4 HS, mỗi HS đọc đề và nêu lập luận, các bạn kiểm tra. Đề bài: (1) Bộ độ dài nào tạo thành tam giác: A. 2, 3, 5; B. 2, 3, 6; C. 3, 4, 5; D. 1, 1, 3? (2) Bộ độ dài có tạo tam giác không: a) 4, 4, 7; b) 3, 3, 6; c) 5, 6, 8? (3) Bất đẳng thức nghiêm ngặt nào đúng với ba cạnh $a$, $b$, $c$ của mọi tam giác: A. $a+b\ge c$; B. $a+b=c$; C. $a+b>c$; D. $a+b<c$?

Đáp án: (1) C, vì $3+4>5$; các bộ còn lại có tổng hai cạnh nhỏ không lớn hơn cạnh lớn. (2) a) Đúng, vì $4+4=8>7$; b) Sai, vì $3+3=6$, không lớn hơn 6; c) Đúng, vì $5+6=11>8$, $5+8>6$, $6+8>5$. (3) C, vì $a+b>c$ là bất đẳng thức nghiêm ngặt đúng với mọi tam giác; các đáp án còn lại không đúng hoặc không nghiêm ngặt.

Tìm được khoảng giá trị, số nguyên lớn nhất và nhỏ nhất của cạnh thứ ba; xét được tam giác cân và trường hợp suy biến.

Nhóm 4 HS chia việc: hai bạn làm bài 2, 4, 5; hai bạn làm bài 7, 8 rồi đổi chéo kiểm tra. Đề bài: (2) Hai cạnh 3 và 5, cạnh thứ ba $x$ thỏa $\{1\} < x < \{2\}$. Điền số thích hợp. (4) Hai cạnh 3 cm và 5 cm, cạnh thứ ba nguyên lớn nhất bằng bao nhiêu cm? (5) Cạnh thứ ba nguyên nhỏ nhất bằng bao nhiêu cm? (7) Ba đoạn 3 cm, 4 cm, 7 cm có ghép thành tam giác không? (8) Tam giác cân có hai độ dài cạnh là 4 cm và 9 cm, cạnh bên là cạnh nào?

Đáp án: (2) $\{1\}=2$, $\{2\}=8$, vì $5-3=2$ và $5+3=8$. (4) 7 cm, vì $2<x<8$. (5) 3 cm, vì $2<x<8$ và $x$ nguyên. (7) Không tạo tam giác, vì $3+4=7$ không lớn hơn 7, tạo thành đoạn thẳng. (8) Cạnh bên là 9 cm; nếu cạnh bên là 4 cm thì $4+4=8<9$ nên loại; bộ 9, 9, 4 thỏa vì $9+4>9$.

Mô hình hoá tình huống thực tế bằng bất đẳng thức tam giác để quyết định có dựng được khung tam giác hay không và chọn kích thước phù hợp.

Bác thợ mộc có ba thanh gỗ dài 5 dm, 6 dm và 12 dm để làm khung một mặt bàn hình tam giác. Câu hỏi GV đặt ra: (a) Có dựng được khung tam giác từ ba thanh này không? (b) Nếu giữ hai thanh 5 dm và 6 dm, cần chọn thanh thứ ba có độ dài nguyên bằng bao nhiêu dm để dựng được tam giác và độ dài lớn nhất có thể?

Lời giải: (a) Không, vì $5+6=11<12$, không thỏa bất đẳng thức tam giác. (b) Với cạnh thứ ba $x$ (dm): $6-5<x<6+5$, tức $1<x<11$; số nguyên lớn nhất là 10 dm. Kiến thức vận dụng: mô hình hoá điều kiện dựng khung bằng bất đẳng thức tam giác, không phụ thuộc số đo góc.