Giáo án Bài 32. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Huy động hiểu biết đời sống của HS về đoạn đường ngắn nhất, từ đó dẫn dắt vào khái niệm đường vuông góc và khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng.

GV vẽ điểm A (vị trí nhà bạn An) và đường thẳng d (bờ sông thẳng) trên bảng; yêu cầu HS nhận xét: trong các đường đi từ A tới các điểm khác nhau trên d, đường nào ngắn nhất? Câu hỏi gợi mở: Nếu nối A với một điểm B bất kì trên d thì đoạn AB có phải luôn ngắn nhất không? Vì sao?

HS nêu được dự đoán: đoạn nối A với d theo phương vuông góc với d là ngắn nhất; các đoạn còn lại đều xiên và dài hơn. Từ đó GV dẫn vào bài: đoạn AH⊥d là đường vuông góc, khoảng cách từ A tới d chính là độ dài AH.

Nêu được khái niệm đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu và khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng; giải thích vì sao đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên.

HS quan sát hình: điểm A ngoài đường thẳng d, AH⊥d tại H, B∈d và B≠H. Thực hiện Phiếu học tập số 1: (1) Đoạn nào là đường vuông góc, đoạn nào là đường xiên? (2) HB gọi là gì của đường xiên AB trên d? (3) Khoảng cách từ A tới d là độ dài đoạn nào? (4) So sánh AH và AB, giải thích. HS có thể dùng êke kiểm tra góc AHB và học liệu NeoEdu phần bài giảng để đối chiếu.

• AH là đường vuông góc, AB là đường xiên (B≠H), HB là hình chiếu của AB trên d.
• Khoảng cách từ A tới d là độ dài AH.
• Kết luận: AH<AB vì trong tam giác vuông AHB, cạnh góc vuông AH nhỏ hơn cạnh huyền AB.
• Ghi nhớ: Từ điểm A ngoài đường thẳng d, hạ AH⊥d; đường vuông góc là đoạn ngắn nhất nối A tới d; khoảng cách từ A tới d bằng AH.

So sánh được độ dài hai đường xiên xuất phát từ cùng một điểm dựa vào độ dài hai hình chiếu tương ứng; vận dụng được quan hệ này để giải ví dụ về so sánh đoạn thẳng.

HS thực hiện Phiếu học tập số 2 với hình có A ngoài d, AH⊥d, B,C∈d khác H, HB=2 cm, HC=5 cm. Yêu cầu: (1) So sánh HB và HC. (2) Dự đoán và kiểm tra so sánh AB và AC bằng ví dụ số (tính AB và AC khi biết AH=3 cm, theo định lí Pythagore). (3) Phát biểu quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu. (4) Xét trường hợp HB=HC thì AB và AC thế nào? (5) Nếu AB>AC thì HB và HC thế nào?

• HB=2 cm<HC=5 cm.
• Với AH=3 cm: AB=$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$ cm và AC=$\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$ cm; $\sqrt{13}<\sqrt{34}$ nên AB<AC.
• Quan hệ: Hai đường xiên từ cùng điểm A (có chung đường thẳng nhận hình chiếu) có đường xiên lớn hơn khi và chỉ khi hình chiếu lớn hơn; hình chiếu bằng nhau thì đường xiên bằng nhau.
• Nếu HB=HC thì AB=AC.
• Nếu AB>AC thì HB>HC (không phải HB<HC).

Vận dụng được khái niệm đường vuông góc, đường xiên và quan hệ hình chiếu để nhận biết và giải các câu hỏi đơn giản.

HS làm nhanh các bài sau (đề lấy từ bài tập đã cho): (1) Khoảng cách từ A đến d là độ dài: A. Đường xiên bất kì; B. Đường vuông góc AH với H∈d; C. Đường song song d qua A; D. Một đoạn trên d. (2) Từ A ngoài d, AH⊥d, B∈d, B≠H: so sánh AH và AB. (3) AH⊥d, B,C∈d khác H: a) HB<HC thì AB<AC; b) HB=HC thì AB=AC; c) AB>AC thì HB<HC. Đánh dấu Đ hoặc S. (4) HB=3 cm, HC=5 cm: đường xiên ngắn hơn là đoạn nào? (5) B,H,C thẳng hàng, B,C ở hai phía H, HB=HC=3 cm: tính BC.

• Bài 1: Đáp án B (khoảng cách lấy theo đoạn vuông góc).
• Bài 2: Đáp án C, AH<AB.
• Bài 3: a) Đ; b) Đ; c) S (phải là HB>HC).
• Bài 4: Đáp án B, AB ngắn hơn vì HB<HC.
• Bài 5: BC=BH+HC=3+3=6 cm.

Vận dụng quan hệ đường vuông góc – đường xiên để giải quyết tình huống thực tế về đường đi ngắn nhất và giải thích lựa chọn bằng lập luận toán học.

Tình huống: Bạn An ở vị trí A, cách bờ sông thẳng d. An muốn ra bờ sông lấy nước rồi đi tiếp. Hãy chọn điểm trên bờ sông để đường đi từ A tới bờ là ngắn nhất và giải thích. Mở rộng: Nếu hai bạn ở hai điểm B, C cùng phía bờ sông với nhau, bạn có thể nêu cách tìm điểm trên d sao cho tổng khoảng cách từ hai bạn tới bờ bằng nhau không? (Chỉ nêu ý tưởng, không yêu cầu chứng minh chặt chẽ.)

• Chọn chân H của đường vuông góc từ A tới d vì AH là đoạn ngắn nhất.
• Giải thích: Với mọi điểm B≠H trên d, AB là đường xiên nên AB>AH.
• Kết luận: Điểm H cho đường đi ngắn nhất từ A.
• Ghi nhớ: Khoảng cách từ A đến bờ sông là độ dài AH.