Giáo án Bài 31. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Huy động kiến thức về tam giác và tạo tình huống để HS dự đoán mối quan hệ giữa cạnh lớn nhất và góc lớn nhất trong tam giác.

GV vẽ tam giác ABC có $\hat{A}$ tù (ví dụ $\hat{A}=100^\circ$, AB và AC ngắn hơn BC). HS đo độ dài ba cạnh và ba góc bằng thước. Câu hỏi GV đặt ra: (1) Góc nào lớn nhất? (2) Cạnh nào dài nhất? (3) Cạnh dài nhất có đối diện với góc lớn nhất không?

HS nêu được: góc lớn nhất là $\hat{A}=100^\circ$; cạnh dài nhất là $BC$; dự đoán ban đầu: cạnh dài nhất đối diện góc lớn nhất. Nhiệm vụ mở đầu làm rõ câu hỏi cần giải quyết: cạnh và góc trong tam giác có quan hệ gì với nhau?

Giúp HS phát hiện và phát biểu quan hệ: trong một tam giác, góc lớn hơn đối diện cạnh lớn hơn; xác định đúng cạnh đối diện mỗi góc.

Nhóm 4 HS làm việc theo kĩ thuật khăn trải bàn với Phiếu học tập số 1. Tam giác ABC có $\hat{A}=40^\circ$, $\hat{B}=60^\circ$, $\hat{C}=80^\circ$. Nhiệm vụ: (1) Xác định cạnh đối diện mỗi góc. (2) So sánh các góc và các cạnh đối diện. (3) Rút ra quy luật. Câu hỏi GV đặt ra: “Cạnh nào đối diện với góc $\hat{A}$? Có phải $AB$ không?”; “Khi góc tăng từ $40^\circ$ đến $80^\circ$, các cạnh đối diện thay đổi thế nào?”

Các cạnh đối diện: $\hat{A}$ đối diện $BC$; $\hat{B}$ đối diện $AC$; $\hat{C}$ đối diện $AB$. Vì $\hat{A}<\hat{B}<\hat{C}$ nên $BC<AC<AB$. Kiến thức HS rút ra: trong một tam giác, góc lớn hơn đối diện cạnh lớn hơn; cạnh đối diện góc lớn nhất là cạnh lớn nhất. Lưu ý: $\hat{A}$ đối diện $BC$, không phải $AB$ hay $AC$.

Giúp HS phát hiện chiều ngược lại: cạnh lớn hơn đối diện góc lớn hơn; biết chuyển từ tam giác có ba cạnh cho trước sang thứ tự các góc.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 2. Tam giác ABC có $AB=7$, $AC=5$, $BC=6$ (đơn vị cm). Nhiệm vụ: (1) Xếp các cạnh tăng dần. (2) Ghép mỗi cạnh với góc đối diện. (3) Xếp các góc tăng dần. Câu hỏi GV đặt ra: “Cạnh $AC=5$ đối diện với góc nào?”; “Vì sao cạnh $AB$ dài nhất thì góc đối diện lớn nhất?”

Thứ tự cạnh tăng dần: $AC<BC<AB$. Ghép góc: $AC$ đối diện $\hat{B}$; $BC$ đối diện $\hat{A}$; $AB$ đối diện $\hat{C}$. Kết luận: $\hat{B}<\hat{A}<\hat{C}$. Kiến thức HS rút ra: trong một tam giác, cạnh lớn hơn đối diện góc lớn hơn; từ đó đổi thứ tự cạnh sang thứ tự góc tương ứng.

Củng cố xác định cạnh đối diện, so sánh góc và cạnh, nhận biết cạnh lớn nhất trong tam giác vuông, tù, và xét tính đúng–sai của mệnh đề.

HS làm các bài tập sau (dùng Phiếu học tập số 2 hoặc bài tập tương tác trên NeoEdu nếu có):

• Bài 1: Trong $\Delta ABC$, cạnh đối diện góc $\hat{A}$ là: A. $AB$; B. $AC$; C. $BC$; D. Đường cao $AH$.
• Bài 2: $\Delta ABC$ có $\hat{A}=40^\circ$, $\hat{B}=60^\circ$, $\hat{C}=80^\circ$. Xếp các cạnh tăng dần.
• Bài 3: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, cạnh dài nhất là: A. $AB$; B. $AC$; C. $BC$; D. Không xác định.
• Bài 4: Trong một tam giác, xét tính đúng (Đ) hoặc sai (S): a) $AB>AC$ thì $\hat{C}>\hat{B}$; b) $\hat{A}=\hat{B}$ thì $BC=AC$; c) $\hat{A}>\hat{B}$ thì $AB>BC$.
• Bài 5: Tam giác $ABC$ có $\hat{A}=40^\circ$, $\hat{B}=60^\circ$. Góc lớn nhất có số đo bao nhiêu?
• Bài 6: Ghép góc với cạnh đối diện trong $\Delta MNP$.
• Bài 7: $\Delta ABC$ có $AB=7$, $AC=5$, $BC=6$. Xếp các góc tăng dần.
• Bài 8: $\Delta ABC$ cân tại $A$, $\hat{A}=100^\circ$. So sánh cạnh đáy $BC$ với hai cạnh bên.

Đáp án: Bài 1: C ($BC$ là cạnh không chứa đỉnh $A$). Bài 2: $BC<AC<AB$. Bài 3: C ($\hat{A}=90^\circ$ lớn nhất nên $BC$ dài nhất). Bài 4: a) Đ; b) Đ; c) S (đúng là $BC>AC$, vì $\hat{A}$ đối diện $BC$ và $\hat{B}$ đối diện $AC$). Bài 5: $80^\circ$ (vì $\hat{C}=180^\circ-40^\circ-60^\circ=80^\circ$ là góc lớn nhất). Bài 6: $M$–$NP$; $N$–$MP$; $P$–$MN$. Bài 7: $\hat{B}<\hat{A}<\hat{C}$ (cạnh $5<6<7$). Bài 8: $\hat{B}=\hat{C}=40^\circ$, $\hat{A}$ lớn nhất nên $BC>AB=AC$.

Vận dụng quan hệ góc–cạnh đối diện để giải quyết tình huống thực tế, rèn mô hình hoá và giao tiếp toán học.

Bác Hùng muốn làm khung tam giác từ ba thanh gỗ có độ dài $AB=120$ cm, $AC=90$ cm, $BC=100$ cm. Nhiệm vụ: (1) Góc nào của khung (đỉnh $A$, $B$, $C$) lớn nhất? (2) Nếu đặt khung trên bàn, cạnh nào là cạnh đối diện góc nhỏ nhất và góc đó nằm ở đỉnh nào? Câu hỏi GV đặt ra: “Muốn góc mở ở đỉnh $C$ lớn nhất thì cần chọn cạnh đối diện $C$ dài hay ngắn?”

Đỉnh $C$ đối diện cạnh $AB=120$ cm (dài nhất) nên $\hat{C}$ lớn nhất; đỉnh $A$ đối diện $BC=100$ cm nên $\hat{A}$ đứng giữa; đỉnh $B$ đối diện $AC=90$ cm (ngắn nhất) nên $\hat{B}$ nhỏ nhất. Thứ tự góc: $\hat{B}<\hat{A}<\hat{C}$. Để góc ở đỉnh $C$ lớn nhất, cần chọn cạnh đối diện $C$ là $AB$ dài nhất. Kết luận: HS biết dùng quan hệ góc–cạnh để dự đoán hình dạng khung khi chỉ biết độ dài các thanh gỗ.