Giáo án Bài 28. Phép chia đa thức một biến

Xác định vấn đề học tập: từ một tích đa thức đã biết, HS nhận ra mối liên hệ giữa phép nhân và phép chia, từ đó đặt câu hỏi làm thế nào tìm thương của phép chia đa thức.

HS tính $(x+1)(x+2)$. Từ kết quả, GV hỏi: Nếu biết đa thức $x^2+3x+2$ và đa thức $x+1$, làm thế nào để tìm được đa thức $x+2$? Nếu không biết trước tích thì có cách nào để tìm thương không?

$(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$, do đó $x^2+3x+2$ chia cho $x+1$ được thương là $x+2$ và phép chia hết. HS nêu được vấn đề cần giải quyết: có quy trình nào giúp tìm thương của phép chia hai đa thức mà không cần đoán trước kết quả.

Nêu được quy tắc chia đơn thức cho đơn thức và điều kiện để phép chia thực hiện được trong phạm vi đa thức.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 1, phần A: tính $x^7 : x^3$, $18x^5 : 3x^2$, $8x^6 : 2x^2$; quan sát kết quả và phát biểu quy tắc chia đơn thức. Sau đó trả lời câu hỏi: Vì sao không thực hiện được $x^2 : x^3$ trong phạm vi đa thức? Lưu ý quan niệm sai: không được chia riêng số mũ hoặc bỏ qua hệ số.

$x^7 : x^3 = x^4$; $18x^5 : 3x^2 = 6x^3$; $8x^6 : 2x^2 = 4x^4$.
Kiến thức HS rút ra: Chia đơn thức $ax^m$ cho đơn thức $bx^n$ (với $b\ne 0$, $m\ge n$): chia hệ số $a:b$, trừ số mũ $m-n$, được thương $\dfrac{a}{b}x^{m-n}$.
Vì $x^2 : x^3$ có số mũ bị chia nhỏ hơn số mũ số chia nên kết quả là $\dfrac{1}{x}$, không phải đa thức, nên phép chia này không thực hiện được trong phạm vi bài học.

Thực hiện được phép chia đa thức cho đơn thức bằng cách chia từng hạng tử và kiểm tra kết quả bằng phép nhân.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 1, phần B: tính $(6x^3-9x^2):3x^2$. Một bạn thực hiện chia, bạn kia nhân thương với $3x^2$ để kiểm tra. GV hỏi: Vì sao có thể chia từng hạng tử của đa thức bị chia cho đơn thức?

$(6x^3-9x^2):3x^2 = 2x-3$.
Kiểm tra: $3x^2(2x-3)=6x^3-9x^2$, đúng bằng đa thức bị chia.
Kiến thức HS rút ra: Muốn chia đa thức cho đơn thức, ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức rồi cộng các thương lại; cách này áp dụng khi mọi hạng tử đều chia hết cho đơn thức.

Thực hiện được phép chia hai đa thức một biến theo các bước; nhận biết thương, dư và giải thích đẳng thức $A=BQ+R$.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 2: chia $x^2+3x+2$ cho $x+1$ theo các bước sắp xếp, chia hạng tử đầu, nhân, trừ (đổi dấu mọi hạng tử của tích khi trừ), lặp lại. Sau đó kiểm tra bằng phép nhân và nêu điều kiện dừng của thuật toán. GV hỏi: Vì sao khi trừ phải đổi dấu mọi hạng tử của tích?

Các bước chia:

• $x^2:x=x$; $x(x+1)=x^2+x$; $(x^2+3x+2)-(x^2+x)=2x+2$.
• $2x:x=2$; $2(x+1)=2x+2$; $(2x+2)-(2x+2)=0$.
  Thương $Q=x+2$, dư $R=0$, nên phép chia hết.
  Kiểm tra: $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$.
  Kiến thức HS rút ra: Với $B\ne 0$, luôn có $A=BQ+R$; phép chia dừng khi $R=0$ hoặc bậc của $R$ nhỏ hơn bậc của $B$. Trừ đa thức là cộng với đa thức đối, nên phải đổi dấu mọi hạng tử của tích trước khi cộng.

Củng cố quy tắc chia đơn thức, tìm thương và số mũ, nhận biết thương của phép chia hai đa thức.

GV tổ chức trò chơi Bảng con: GV chiếu lần lượt các câu hỏi 1 đến 4; HS viết đáp án lên bảng con và giơ lên khi có tín hiệu.
Câu 1: Hệ số của thương $18x^5 : 3x^2$ là bao nhiêu?
Câu 2: Số mũ của thương $x^7 : x^3$ là bao nhiêu?
Câu 3: $(x^2+3x+2):(x+1)$ có thương là: A. $x+1$; B. $x+2$; C. $x-2$; D. $x^2+2$.
Câu 4: Điền vào chỗ trống: $(6x^3-9x^2):3x^2 = \square x + (\square)$.

Đáp án:

• Câu 1: $6$ (chia hệ số $18:3=6$).
• Câu 2: $4$ (số mũ $7-3=4$).
• Câu 3: Đáp án B, vì $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$.
• Câu 4: Điền $2$ và $-3$, tức $2x + (-3)$, vì $6:3=2$, $3-2=1$ và $-9:3=-3$, $2-2=0$.

Nhận biết đúng sai các phát biểu về phép chia đa thức; tìm thương và dư; tính giá trị biểu thức khi không cần tìm thương.

HS làm việc theo cặp đôi.
Câu 5: Đánh giá Đ hoặc S: a) Số chia là đa thức 0 được phép. b) Phần dư khác 0 phải có bậc nhỏ hơn bậc số chia. c) Chia hết nghĩa là dư 0.
Câu 6: Chia $x^2+3x+1$ cho $x$. Số dư là bao nhiêu?
Câu 7: Chia $x^2+1$ cho $x+1$, tìm thương và dư, kiểm tra kết quả.
Câu 8: Cho $A=(x-2)Q+3$. Tính $A(2)$ mà không cần biết $Q$.

Đáp án:

• Câu 5: a) S (không được chia cho đa thức 0); b) Đ; c) Đ (dư 0 là điều kiện chia hết).
• Câu 6: Số dư là 1, vì $x^2+3x+1=x(x+3)+1$ và bậc của 1 là 0, nhỏ hơn bậc của $x$ là 1.
• Câu 7: Thương $x-1$, dư $2$; kiểm tra $(x+1)(x-1)+2=x^2-1+2=x^2+1$; dư $2$ có bậc 0 nhỏ hơn bậc 1 của số chia.
• Câu 8: Thay $x=2$ vào đẳng thức: $A(2)=0\cdot Q(2)+3$, nên $A(2)=3$, không phụ thuộc $Q$.
  Kiến thức HS rút ra: Phép chia hết khi dư bằng 0; đẳng thức $A=BQ+R$ giúp tính giá trị đa thức mà không cần tìm thương.

Vận dụng phép chia đa thức vào tình huống thực tế: tìm một kích thước khi biết diện tích và kích thước còn lại.

Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích $x^2+5x+6$ (m²) và chiều rộng $x+2$ (m). Hãy lập phép chia đa thức để tìm chiều dài của mảnh vườn, sau đó kiểm tra kết quả bằng phép nhân. Với $x=3$, tính chiều dài và diện tích mảnh vườn theo đơn vị mét và mét vuông. HS làm theo nhóm đôi, ghi kết quả vào phiếu hoặc vở; có thể hoàn thiện trên học liệu số NeoEdu.

Chiều dài là thương của $(x^2+5x+6):(x+2)$: $x^2:x=x$, $x(x+2)=x^2+2x$, $3x+6$; $3x:x=3$, $3(x+2)=3x+6$, dư 0. Thương $x+3$.
Kiểm tra: $(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$.
Với $x=3$: chiều dài $3+3=6$ m; diện tích $(3^2+5\cdot 3+6)=36$ m², đúng bằng $6\cdot 6$.
Kiến thức HS rút ra: Khi biết diện tích và một kích thước, kích thước còn lại là thương của phép chia đa thức; phép chia hết khi dư bằng 0.