Giáo án Bài 26. Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Huy động kiến thức về bậc của đơn thức và hệ số; xác định vấn đề của bài học: khi cộng đa thức ta gộp những hạng tử nào.

HS làm việc cá nhân trong 3 phút với hai đa thức $M=4x^2+x$ và $N=x^2-3x$.
Nhiệm vụ:

• a) Các hạng tử nào của $M$ và $N$ có cùng bậc?
• b) Thu gọn $4x^2+x^2$ và $x-3x$.
• c) Nêu nhận xét: muốn cộng hai đa thức ta cần làm gì?

a) Cùng bậc 2: $4x^2$ và $x^2$; cùng bậc 1: $x$ và $-3x$.
b) $4x^2+x^2=5x^2$; $x-3x=-2x$.
c) Nhận xét sơ bộ: muốn cộng đa thức, cần gộp các hạng tử cùng bậc rồi cộng hệ số.
Vấn đề cần giải quyết: cộng và trừ đa thức một biến được thực hiện như thế nào?

Nêu được quy tắc cộng hai đa thức một biến; vận dụng cách bỏ ngoặc, gộp hệ số cùng bậc và đặt tính theo cột, chừa chỗ cho bậc khuyết.

HS làm việc nhóm 4 theo kĩ thuật khăn trải bàn, hoàn thành Phiếu học tập số 1 với hai cặp đa thức: $P=2x^2-x+3$, $Q=x^2+2x-4$ và $A=x^2+3$, $B=2x-1$.
Câu hỏi GV đặt ra:

• Bỏ dấu ngoặc của $(2x+3)+(3x-1)$ ta được biểu thức nào?
• Các hạng tử nào cùng bậc trong $P+Q$?
• Khi đặt tính theo cột, bậc khuyết (ô $x^2$ của $B$) được xử lý như thế nào?
  GV chiếu ví dụ từ trang NeoEdu để HS đối chiếu.

Kết quả: $P+Q=(2x^2+x^2)+(-x+2x)+(3-4)=3x^2+x-1$.
Đặt tính theo cột: hàng $x^2$ ghi $2+1=3$, hàng $x$ ghi $-1+2=1$, hàng tự do ghi $3-4=-1$, cho kết quả $3x^2+x-1$.
Với $A+B$: $A+B=x^2+2x+2$; ô $x^2$ của $B$ để trống (hệ số 0), hệ số tự do $3+(-1)=2$.
Kiến thức HS rút ra: Muốn cộng hai đa thức, bỏ dấu ngoặc rồi cộng các hạng tử cùng bậc. Hệ số 1 thường không viết nhưng vẫn phải tính: $-x+2x=x$.

Giải thích được trừ đa thức là cộng với đa thức đối; tính đúng $P-Q$; kiểm tra kết quả bằng cách thay giá trị và nhận ra lỗi dấu thường gặp.

HS làm việc theo cặp đôi, hoàn thành Phiếu học tập số 2 với $P=2x^2-x+3$, $Q=x^2+2x-4$, tính $P-Q$.
Câu hỏi GV đặt ra:

• Đa thức đối của $Q$ là gì? Đổi dấu những hạng tử nào?
• Vì sao $P-Q=P+(-Q)$?
• Dấu trừ trước ngoặc tác động đến hạng tử nào trong $Q$?
• Kiểm tra kết quả tại $x=0$ và $x=1$ như thế nào?

Đa thức đối: $-Q=-x^2-2x+4$ (đổi dấu tất cả hạng tử).
$P-Q=P+(-Q)=2x^2-x+3-x^2-2x+4=x^2-3x+7$.
Kiểm tra: tại $x=0$: $P(0)-Q(0)=3-(-4)=7$, và $0^2-3\cdot 0+7=7$ (khớp). Tại $x=1$: $P(1)-Q(1)=4-(-1)=5$, và $1^2-3\cdot 1+7=5$ (khớp).
Quan niệm sai cần lưu ý: chỉ đổi dấu hạng tử đầu tiên, dẫn đến $2x^2-x+3-x^2-2x-4$ (sai hạng tử tự do).
Kiến thức HS rút ra: Trừ đa thức là cộng với đa thức đối; kiểm tra một giá trị chỉ dùng để bắt lỗi dấu, không thay thế chứng minh đẳng thức.

Vận dụng quy tắc cộng, trừ đa thức để giải các bài tập 1 đến 8; phát hiện và sửa lỗi dấu.

HS làm việc theo cặp đôi với các bài tập sau (chiếu trên màn hình hoặc ghi trên bảng):

• Bài 1: Hệ số của $x$ trong $(2x+3)+(3x-1)$.
• Bài 2: Hệ số tự do trong $(x^2+3)-(2x^2-4)$.
• Bài 3: Đa thức đối của $x^2-3x+2$ là đa thức nào (A. $-x^2-3x+2$; B. $-x^2+3x-2$; C. $x^2+3x-2$; D. $-x^2+3x+2$)?
• Bài 4: Điền vào chỗ trống: $(3x^2-x+2)-(x^2+2x-5)$ bằng (1)$x^2$ + (2)$x$ + (3).
• Bài 5: Đánh giá đúng (Đ) hay sai (S): a) $P-Q=Q-P$ với mọi đa thức; b) $P+0=P$; c) $P-P=0$.
• Bài 6: Cho $P=x^2+3x$, $Q=-x^2+2x$. Tính $(P+Q)$ tại $x=1$.
• Bài 7: Tìm đa thức $R$ biết $R+(x^2-2x+1)=3x^2+x-4$.
• Bài 8: Bạn An tính $(x+2)-(x-3)=-1$. Hãy sửa và kiểm tra tại $x=0$.
  GV hướng dẫn: bài 7 cần chuyển vế bằng phép trừ; bài 8 cần xem lại dấu của hạng tử trong ngoặc sau dấu trừ. HS có thể kiểm tra đáp án tương tác trên NeoEdu.

Bài 1: 5 (vì $2x+3x=5x$).
Bài 2: 7 (vì $3-(-4)=7$).
Bài 3: Đáp án B, $-x^2+3x-2$ (đổi dấu tất cả hạng tử).
Bài 4: $2x^2-3x+7$ (vì $3-1=2$; $-1-2=-3$; $2-(-5)=7$).
Bài 5: a) S, vì $P-Q=-(Q-P)$; b) Đ; c) Đ.
Bài 6: $P+Q=5x$, tại $x=1$ được 5.
Bài 7: $R=(3x^2+x-4)-(x^2-2x+1)=2x^2+3x-5$. Kiểm tra: $2x^2+3x-5+x^2-2x+1=3x^2+x-4$.
Bài 8: Sửa: $(x+2)-(x-3)=x+2-x+3=5$. Tại $x=0$: $2-(-3)=5$, không phải $-1$. Lỗi của An: không đổi dấu hạng tử $-3$ khi bỏ ngoặc.

Mô hình hoá tình huống thực tế bằng đa thức một biến và dùng phép cộng, phép trừ để tính tổng và chênh lệch diện tích.

HS làm việc nhóm 4 hoặc giao về nhà. Một gia đình có hai mảnh vườn hình chữ nhật. Diện tích mảnh vườn thứ nhất là $A=2x^2+5x$ (m²), diện tích mảnh vườn thứ hai là $B=x^2-2x+4$ (m²), với $x$ là số mét (x > 0).
Nhiệm vụ:

• a) Viết đa thức biểu thị tổng diện tích hai mảnh vườn.
• b) Viết đa thức biểu thị phần diện tích mảnh vườn thứ nhất hơn mảnh vườn thứ hai.
• c) Tính hai giá trị trên khi $x=10$ và kiểm tra lại bằng cách thay $x=0$ vào kết quả rút gọn.

a) $A+B=(2x^2+x^2)+(5x-2x)+4=3x^2+3x+4$ (m²).
b) $A-B=2x^2+5x-x^2+2x-4=x^2+7x-4$ (m²).
c) Tại $x=10$: tổng diện tích $300+30+4=334$ (m²); chênh lệch $100+70-4=166$ (m²).
Kiểm tra: tại $x=0$, $A+B=4$ và $0+0+4=4$; $A-B=-4$ và $0+0-4=-4$ (khớp).
Kiến thức HS rút ra: đa thức là mô hình toán học của đại lượng thực tế; cộng và trừ đa thức cho ta tổng và hiệu các đại lượng.