Giáo án Bài 25. Đa thức một biến

HS nhận biết được biểu thức nào là đa thức một biến, từ đó nêu được vấn đề cần tìm hiểu: thu gọn, xác định bậc và nghiệm của đa thức.

GV đưa ra bốn biểu thức: $3x^{2}-2x+1$; $\dfrac{1}{x}+2$; $\sqrt{x}+1$; $x+y$. HS làm việc cá nhân trong 1 phút, sau đó trao đổi cặp để trả lời câu hỏi: “Biểu thức nào là đa thức một biến của $x$? Vì sao các biểu thức còn lại không phải?”

Đáp án: chỉ $3x^{2}-2x+1$ là đa thức một biến $x$ vì các số mũ của $x$ là 2, 1, 0 đều là số nguyên không âm và chỉ có một biến. $\dfrac{1}{x}+2$ không phải vì có số mũ $-1$; $\sqrt{x}+1$ không phải vì có số mũ $\dfrac{1}{2}$; $x+y$ không phải vì có hai biến. Câu hỏi nêu vấn đề: Làm thế nào để thu gọn một đa thức, xác định bậc và kiểm tra nghiệm?

HS nêu được định nghĩa đa thức một biến và thu gọn được đa thức bằng cách gộp hạng tử cùng bậc, sắp xếp theo số mũ giảm dần.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 1, phần A và phần B. Nhiệm vụ: (1) Đọc định nghĩa đa thức một biến trong SGK và nêu lại bằng lời của mình. (2) Thu gọn đa thức $P(x)=2x^{2}+3x-x^{2}-3x+4$, sau đó sắp xếp kết quả theo số mũ giảm dần. (3) Thu gọn đa thức $3x^{2}+2x-x^{2}-5x+4$ và điền hệ số của $x^{2}$ và của $x$ vào phiếu.

Kiến thức HS rút ra: Đa thức một biến là tổng các hạng tử dạng $ax^{n}$ với $n$ nguyên không âm. Thu gọn là gộp các hạng tử đồng dạng (cùng lũy thừa của biến) rồi sắp xếp theo số mũ giảm dần.
Kết quả: $P(x)=2x^{2}+3x-x^{2}-3x+4=x^{2}+4$.
Kết quả: $3x^{2}+2x-x^{2}-5x+4=2x^{2}-3x+4$; hệ số của $x^{2}$ là 2, hệ số của $x$ là $-3$.

HS xác định được bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của đa thức đã thu gọn và nêu được bậc của đa thức hằng và đa thức 0.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1, phần C. Nhiệm vụ: (1) Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của $x^{2}+4$ và của $3x^{3}+2x-7$. (2) Xác định hệ số tự do của $2x^{2}+3x-5$. (3) Nêu bậc của đa thức hằng $5$ và của đa thức $0$. (4) Thảo luận: vì sao phải thu gọn trước khi xác định bậc?

Kiến thức HS rút ra: Bậc của đa thức khác 0 là số mũ cao nhất có hệ số khác 0. Hệ số cao nhất là hệ số của hạng tử bậc cao nhất sau khi thu gọn; hệ số tự do là hạng tử không chứa $x$.
Kết quả: $x^{2}+4$ có bậc 2, hệ số cao nhất 1, hệ số tự do 4.
Kết quả: $3x^{3}+2x-7$ có bậc 3, hệ số cao nhất 3.
Kết quả: hệ số tự do của $2x^{2}+3x-5$ là $-5$.
Đa thức hằng khác 0 có bậc 0; đa thức 0 không có bậc xác định.
Kết luận: phải thu gọn trước vì hạng tử có thể triệt tiêu, làm thay đổi bậc.

HS giải thích được khi nào $a$ là nghiệm của đa thức $P(x)$ và kiểm tra được nghiệm bằng cách thay giá trị vào đa thức.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 2. Nhiệm vụ: (1) Với $P(x)=x-3$, tìm nghiệm của $P(x)$ bằng cách tính $P(3)$. (2) Với $P(x)=x^{2}-9$, tính $P(3)$ và $P(-3)$ rồi kết luận $x=3$ và $x=-3$ có là nghiệm hay không. (3) Giải thích vì sao không thể kết luận nghiệm chỉ bằng cách nhìn dấu của các số hạng.

Kiến thức HS rút ra: $a$ là nghiệm của $P(x)$ khi $P(a)=0$. Kiểm tra nghiệm bằng cách thay giá trị vào đa thức, không đoán theo hệ số.
Kết quả: $P(3)=3-3=0$, nên $x=3$ là nghiệm của $P(x)=x-3$.
Kết quả: $P(3)=3^{2}-9=0$ và $P(-3)=(-3)^{2}-9=0$, nên cả $3$ và $-3$ đều là nghiệm của $P(x)=x^{2}-9$.
Giải thích: $-3$ là số âm nhưng vẫn là nghiệm vì khi thay vào thì $P(-3)=0$; không có quy tắc nào cho phép đoán nghiệm theo dấu.

HS vận dụng được kiến thức về đa thức một biến, bậc, hệ số và nghiệm để làm các bài tập trắc nghiệm, điền khuyết, đánh giá đúng sai và tự luận.

HS làm bài tập 1 đến 6 trên học liệu NeoEdu (bài tập tương tác) hoặc trên bảng phụ, sau đó làm bài tập 7 và 8 theo cặp. Đề bài:

1. Biểu thức nào là đa thức một biến $x$? A. $\dfrac{1}{x}+2$; B. $\sqrt{x}+1$; C. $3x^{2}-2x+1$; D. $x+y$.
2. Bậc của $3x^{3}+2x-7$ là bao nhiêu?
3. Hệ số tự do của $2x^{2}+3x-5$ là bao nhiêu?
4. Cho $P(x)=x-3$. Nghiệm của $P$ là gì?
5. Đánh giá đúng (Đ) hoặc sai (S): a) $x^{2}-x^{2}+3$ có bậc 2; b) Đa thức hằng 5 có bậc 0; c) 0 là nghiệm của $x^{2}+x$.
6. Thu gọn $3x^{2}+2x-x^{2}-5x+4$. Hệ số của $x^{2}$ là ?; hệ số của $x$ là ?
7. Cho $P(x)=x^{2}-9$. Kiểm tra $x=3$ và $x=-3$ có là nghiệm của $P$ không.
8. Đa thức $2x^{3}-2x^{3}+x^{2}-4$ có bậc mấy? Giải thích vì sao không phải 3.

Đáp án:

1. C. Vì các số mũ của $x$ là 2, 1, 0 đều nguyên không âm và chỉ có một biến.
3. $-5$.
4. $x=3$, vì $P(3)=3-3=0$.
5. a) S (đa thức thu gọn bằng 3, bậc 0); b) Đ; c) Đ, vì $P(0)=0$.
6. Hệ số của $x^{2}$ là 2; hệ số của $x$ là $-3$.
7. Cả hai đều là nghiệm: $3^{2}-9=0$ và $(-3)^{2}-9=0$. Thang chấm 1 điểm: tính $P(3)=0$ (0,4 điểm); tính $P(-3)=0$ có ngoặc (0,4 điểm); kết luận cả hai là nghiệm (0,2 điểm). Chấp nhận cách giải tương đương có căn cứ.
8. Bậc 2. Hai hạng tử $2x^{3}$ và $-2x^{3}$ triệt tiêu (0,4 điểm); thu gọn được $x^{2}-4$ (0,3 điểm); hệ số của $x^{2}$ là 1 khác 0 nên bậc là 2 (0,3 điểm). Chấp nhận cách giải tương đương có căn cứ.

HS vận dụng được đa thức một biến để biểu diễn diện tích thực tế, xác định bậc và tính giá trị của đa thức tại một giá trị cụ thể của biến.

Bác An có một mảnh vườn hình chữ nhật, chiều rộng là $x$ mét và chiều dài là $x+2$ mét. Gọi $S(x)$ là diện tích mảnh vườn (đơn vị mét vuông). HS làm việc theo nhóm 4: (1) Viết $S(x)$ dưới dạng đa thức một biến đã thu gọn. (2) Xác định bậc của $S(x)$, hệ số cao nhất và hệ số tự do. (3) Tính $S(3)$ và nêu ý nghĩa của kết quả trong thực tế.

Kết quả: $S(x)=x(x+2)=x^{2}+2x$.
Bậc của $S(x)$ là 2; hệ số cao nhất là 1; hệ số tự do là 0.
$S(3)=3^{2}+2\cdot 3=9+6=15$, nghĩa là khi chiều rộng 3 m thì mảnh vườn có diện tích 15 mét vuông (chiều rộng 3 m, chiều dài 5 m).