Giáo án Bài 21. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

Tạo tình huống để HS nhận ra: khi cộng tử với tử và mẫu với mẫu thì tỉ số mới vẫn bằng các tỉ số ban đầu. Từ đó dẫn dắt vào bài học.

GV đưa ra dãy ba tỉ số bằng nhau $\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{6}{9}$. Nhiệm vụ: (1) Tính giá trị các tỉ số $\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{4}{6}$, $\dfrac{6}{9}$. (2) Tính $\dfrac{2+4}{3+6}$ và so sánh với $\dfrac{2}{3}$. (3) Tính $\dfrac{6-2}{9-3}$ và so sánh với $\dfrac{2}{3}$. (4) Nêu nhận xét ban đầu về mối quan hệ giữa các tỉ số.

Kết quả: $\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{6}{9}$; $\dfrac{2+4}{3+6}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$; $\dfrac{6-2}{9-3}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$. Nhận xét dự kiến: tỉ số của tổng (hoặc hiệu) các tử với tổng (hoặc hiệu) các mẫu bằng chính tỉ số đó. HS nêu được câu hỏi: liệu điều này có đúng với mọi dãy tỉ số bằng nhau hay không?

HS tự chứng minh và phát biểu tính chất dãy tỉ số bằng nhau; nêu được điều kiện mẫu khác 0 và phạm vi áp dụng.

HS hoạt động nhóm 4 theo Phiếu học tập số 1 (xem mục worksheets). Nhiệm vụ chính: cho $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k$; (1) biểu diễn $a$ và $c$ theo $k$, $b$ và $d$; (2) tính $a+c$ và $b+d$ theo $k$, từ đó suy ra $\dfrac{a+c}{b+d}$; (3) tương tự với $\dfrac{a-c}{b-d}$; (4) nêu điều kiện cần để các công thức này có nghĩa; (5) thử với $\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}=k$ để kiểm tra.

Kết quả dự kiến của nhóm: $a=kb$, $c=kd$. Khi đó $a+c=kb+kd=k(b+d)$ nên $\dfrac{a+c}{b+d}=k$ với $b+d\ne 0$. Tương tự $a-c=k(b-d)$ nên $\dfrac{a-c}{b-d}=k$ với $b-d\ne 0$. Kiến thức HS rút ra: Nếu $\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k$ thì $a=kb$, $c=kd$, $\dfrac{a+c}{b+d}=k$ (khi $b+d\ne 0$), $\dfrac{a-c}{b-d}=k$ (khi $b-d\ne 0$). Có thể mở rộng cho nhiều tỉ số bằng nhau, phải cộng tử tương ứng với mẫu tương ứng và tránh mẫu tổng bằng 0.

HS biết cách giải bài toán chia một số lượng theo tỉ lệ cho trước bằng tính chất dãy tỉ số bằng nhau; xác định đúng tổng số phần và đơn vị của các đại lượng.

GV trình bày ví dụ: tìm $x$, $y$ biết $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}$ và $x+y=25$. Nhóm HS tiếp tục làm Phiếu học tập số 2, phần A: chia 100 000 đồng theo tỉ lệ $2:3:5$ và tự rút ra quy trình giải. HS cần xác định: viết $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z}{5}$, tổng số phần là $2+3+5=10$ (không phải 3), tính giá trị một phần rồi nhân trở lại.

Ví dụ: $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{x+y}{2+3}=\dfrac{25}{5}=5$, suy ra $x=10$, $y=15$. Chia 100 000 đồng theo $2:3:5$: tổng số phần 10, mỗi phần 10 000 đồng, nên các phần là 20 000 đồng, 30 000 đồng, 50 000 đồng. Quy trình HS rút ra: (1) đặt tỉ số chung; (2) dùng tổng hoặc hiệu để tìm tỉ số chung; (3) nhân trở lại từng số; (4) kiểm tra tổng và đơn vị.

Củng cố tính chất dãy tỉ số bằng nhau qua các dạng: tìm hai số khi biết tỉ số và tổng, tổng hoặc hiệu; chọn đáp án đúng; nhận xét đúng sai; chia theo tỉ lệ.

HS làm việc theo cặp đôi, sau đó đối chiếu nhóm 4. Các bài tập: (1) $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{3}$, $x+y=15$, tìm $x$. (2) Cùng đề trên, tìm $y$. (3) $\dfrac{x}{3}=\dfrac{y}{5}$, $y-x=6$, tìm $x$. (4) Nếu $\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}=k$ thì $\dfrac{a+b}{5}$ bằng: A. $2k$; B. $5k$; C. $k$; D. $\dfrac{k}{5}$. (5) Đánh giá đúng sai: a) Tổng tử phải đi với tổng mẫu tương ứng; b) Có thể dùng $\dfrac{a-b}{2-3}$ khi $\dfrac{a}{2}=\dfrac{b}{3}$; c) Luôn được chia cho tổng mẫu dù tổng bằng 0. (6) Chia 60 theo tỉ lệ $1:2:3$ để tìm ba phần tăng dần. HS có thể kiểm tra nhanh bằng học liệu NeoEdu ở phần bài tập tương tác.

Đáp án: (1) $x=6$ (tỉ số chung $\dfrac{15}{2+3}=3$, $x=2\cdot 3=6$). (2) $y=9$ ($y=3\cdot 3=9$). (3) $x=9$ ($\dfrac{y-x}{5-3}=\dfrac{6}{2}=3$, $x=3\cdot 3=9$). (4) Đáp án C: $a=2k$, $b=3k$, $a+b=5k$, chia 5 được $k$. (5) a) Đúng; b) Đúng, vì $-1\ne 0$; c) Sai, mẫu phải khác 0. (6) Tổng phần là 6, mỗi phần 10; ba phần là 10, 20, 30.

HS vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải bài toán thực tế; biết kiểm tra điều kiện và nhận ra trường hợp không xác định được nghiệm duy nhất.

HS làm bài 7 và bài 8 trong Phiếu học tập số 2, phần B. Bài 7: hai tổ trồng cây theo tỉ lệ $3:4$, tổng số cây là 21, tìm số cây mỗi tổ. Bài 8: $\dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{-2}$ và $x+y=0$, hỏi có tìm được duy nhất $x$, $y$ bằng tính chất tổng không.

Bài 7: tỉ số chung $\dfrac{21}{3+4}=3$; tổ 1 trồng $3\cdot 3=9$ cây, tổ 2 trồng $4\cdot 3=12$ cây; tổng $9+12=21$ đúng. Bài 8: không. Vì tổng các mẫu $2+(-2)=0$ nên không chia được theo tổng. Có thể viết $x=2k$, $y=-2k$ với $k$ tùy ý, thỏa mãn $x+y=0$; dữ kiện tổng không xác định được $k$, nên có vô số cặp $(x, y)$.