Giáo án Bài 15. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

HS nhớ lại cách gọi tên cạnh huyền, cạnh góc vuông trong tam giác vuông và nhận ra rằng chỉ có hai góc vuông bằng nhau chưa đủ để kết luận hai tam giác vuông bằng nhau.

GV chiếu hai hình: $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $\Delta DEF$ vuông tại $D$.
Nhiệm vụ 1: Chỉ ra cạnh huyền và hai cạnh góc vuông trong mỗi tam giác.
Nhiệm vụ 2: Biết chỉ có $\hat{A}=\hat{D}=90^\circ$, có thể kết luận $\Delta ABC=\Delta DEF$ được không? Vì sao?

• Cạnh huyền là cạnh đối diện góc vuông: $BC$ trong $\Delta ABC$, $EF$ trong $\Delta DEF$. Hai cạnh còn lại là cạnh góc vuông: $AB$, $AC$ và $DE$, $DF$.
• Chưa thể kết luận bằng nhau, vì hai tam giác vuông luôn có cặp góc vuông bằng nhau nhưng chưa có thêm dữ kiện về cạnh hoặc góc nhọn.
• Kết luận cần ghi: Muốn chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau, cần thêm ít nhất một cặp cạnh hoặc góc nhọn tương ứng bằng nhau.

HS dùng thước và êke để kiểm tra, từ đó nêu và giải thích được trường hợp c.g.c và g.c.g của hai tam giác vuông.

Nhóm 4 HS thực hiện Phiếu học tập số 1, phần A:

1. Vẽ $\Delta ABC$ vuông tại $A$ với $AB=3$ cm, $AC=4$ cm; vẽ $\Delta DEF$ vuông tại $D$ với $DE=3$ cm, $DF=4$ cm. Đo và so sánh $BC$ với $EF$, $\hat{B}$ với $\hat{E}$. Nhận xét hai tam giác có bằng nhau không?
2. Vẽ $\Delta MNP$ vuông tại $M$ với $MN=3$ cm, $\hat{N}=50^\circ$; vẽ $\Delta QRS$ vuông tại $Q$ với $QR=3$ cm, $\hat{R}=50^\circ$. Hai tam giác có bằng nhau không? Vì sao?
   GV hỏi: Trong trường hợp 2, cạnh 3 cm và góc 50° có quan hệ thế nào với nhau?

• Trường hợp 1: Hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau ($AB=DE$, $AC=DF$) thì $\Delta ABC=\Delta DEF$ (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông, viết tắt c.g.c).
• Trường hợp 2: Một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy bằng nhau ($MN=QR$, $\hat{N}=\hat{R}$) thì $\Delta MNP=\Delta QRS$ (g.c.g).
• Lưu ý: góc nhọn phải kề cạnh góc vuông đã cho.
• Ghi nhớ: Hai tam giác vuông bằng nhau nếu có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau, hoặc có một cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy bằng nhau.

HS nhận ra và giải thích được trường hợp hai tam giác vuông có cạnh huyền và một góc nhọn tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

Nhóm đôi thực hiện Phiếu học tập số 1, phần B:

1. Vẽ $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $BC=5$ cm, $\hat{B}=40^\circ$; vẽ $\Delta DEF$ vuông tại $D$ có $EF=5$ cm, $\hat{E}=40^\circ$. So sánh hai tam giác.
2. Dựa vào tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng $90^\circ$, hãy tính góc nhọn còn lại của mỗi tam giác. Cho biết có thể đưa về trường hợp đã học không và vì sao.

• Hai tam giác vuông có $BC=EF=5$ cm và $\hat{B}=\hat{E}=40^\circ$.
• Góc còn lại: $\hat{C}=90^\circ-40^\circ=50^\circ$ và $\hat{F}=90^\circ-40^\circ=50^\circ$, do đó $\hat{C}=\hat{F}$. Khi đó hai tam giác có cạnh $BC=EF$ và hai góc $\hat{B}=\hat{E}$, $\hat{C}=\hat{F}$ lần lượt kề cạnh ấy, nên $\Delta ABC=\Delta DEF$ theo trường hợp g.c.g.
• Kết luận: Hai tam giác vuông có cạnh huyền và một góc nhọn tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

HS nhận ra trường hợp riêng quan trọng: cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau thì hai tam giác vuông bằng nhau; biết cách ghi rõ hai tam giác vuông tại đâu và xác định cạnh huyền.

GV trình bày Ví dụ: $\Delta ABC$ vuông tại $A$; $\Delta DEF$ vuông tại $D$. Biết $BC=EF$ và $AB=DE$. Chứng minh $\Delta ABC=\Delta DEF$.
GV hướng dẫn HS phân tích theo ba bước: (1) ghi rõ hai tam giác vuông và đỉnh góc vuông; (2) xác định cạnh đối diện góc vuông là cạnh huyền; (3) chọn đúng tên trường hợp.

• Các cạnh huyền tương ứng: $BC$ và $EF$; các cạnh góc vuông tương ứng: $AB$ và $DE$.
• Lập luận: $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $\Delta DEF$ vuông tại $D$, có $BC=EF$ (cạnh huyền) và $AB=DE$ (cạnh góc vuông) nên $\Delta ABC=\Delta DEF$ theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.
• Quan niệm cần tránh: không gọi cạnh kề góc vuông là cạnh huyền.

HS nhận diện nhanh cạnh huyền, góc vuông và chọn đúng điều kiện bằng nhau của tam giác vuông.

HS làm nhanh các câu sau (cá nhân, sau đó đối chiếu với bạn cùng bàn; có thể kiểm tra lại trên NeoEdu):

1. $\Delta ABC$ vuông tại $A$. Cạnh huyền là: A. $AB$; B. $AC$; C. $BC$; D. Cả ba cạnh.
2. Hai tam giác vuông có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau. Kết luận: A. Chưa đủ; B. Bằng nhau; C. Chỉ bằng góc vuông; D. Diện tích luôn khác.
3. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $\hat{B}=40^\circ$. Tính $\hat{C}$.
4. Hai tam giác vuông có đủ dữ kiện để bằng nhau? a) Hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau; b) Chỉ hai góc vuông bằng nhau; c) Cạnh huyền và một góc nhọn tương ứng bằng nhau.
5. $\Delta ABC=\Delta DEF$, vuông tại $A$ và $D$; $BC=7$ cm, $AB=3$ cm. Tính $EF$.
6. Cặp góc dùng ngay khi hai tam giác vuông tại $A$ và $D$ là: A. $\hat{A}=\hat{D}=90^\circ$; B. $\hat{B}=\hat{E}=90^\circ$; C. $\hat{C}=\hat{F}=180^\circ$; D. $\hat{A}+\hat{D}=90^\circ$.

Đáp án và giải thích ngắn:

1. Đáp án C. $BC$ đối diện góc vuông $A$ nên là cạnh huyền.
2. Đáp án B. Đây là trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.
3. $\hat{C}=50^\circ$, vì $\hat{B}+\hat{C}=90^\circ$.
4. a) Đúng (c.g.c); b) Sai, hai góc vuông bằng nhau chưa xác định kích thước; c) Đúng (cạnh huyền – góc nhọn).
5. $EF=7$ cm, vì $BC$ và $EF$ là hai cạnh huyền tương ứng.
6. Đáp án A. Góc vuông được nêu tại $A$ và $D$.

HS vận dụng linh hoạt các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông để trình bày lập luận chứng minh, đồng thời giải thích được vì sao cạnh huyền bằng nhau chưa đủ để kết luận.

Nhóm đôi thực hiện Phiếu học tập số 2:
Bài 1: Cho tam giác $ABC$ nhọn, cân tại $A$. Kẻ $BH\perp AC$ tại $H$ và $CK\perp AB$ tại $K$. Chứng minh $\Delta ABH=\Delta ACK$.
Bài 2: Hai tam giác vuông có cạnh huyền cùng bằng 5 cm. Đã chắc hai tam giác đó bằng nhau chưa? Giải thích và nêu một điều kiện bổ sung để chúng bằng nhau.

Bài 1 (gợi ý lời giải):

• Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H$ và $\Delta ACK$ vuông tại $K$.
• Cạnh huyền: $AB=AC$ (tam giác $ABC$ cân tại $A$).
• Góc nhọn: $\hat{BAH}=\hat{CAK}$ vì cùng là góc $\hat{BAC}$.
• Vậy $\Delta ABH=\Delta ACK$ theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn.
  Giáo viên chấm: nêu hai tam giác vuông 0,2 điểm; xác định hai cạnh huyền $AB=AC$ 0,3 điểm; góc $\hat{BAH}=\hat{CAK}$ 0,3 điểm; kết luận đúng trường hợp 0,2 điểm. Chấp nhận cách giải tương đương có căn cứ.

Bài 2 (gợi ý lời giải):

• Chưa đủ. Cạnh huyền cố định 5 cm vẫn có nhiều tam giác vuông khác nhau vì các góc nhọn hoặc các cạnh góc vuông có thể khác nhau.
• Điều kiện bổ sung đủ: thêm một cạnh góc vuông bằng nhau hoặc một góc nhọn bằng nhau.
  Giáo viên chấm: kết luận chưa đủ 0,3 điểm; giải thích 0,4 điểm; nêu một điều kiện bổ sung đúng 0,3 điểm.

HS mô hình hoá tình huống khung gỗ thành hai tam giác vuông và kết luận bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.

Tình huống: Bác thợ mộc làm hai khung gỗ hình tam giác vuông dùng làm giá đỡ. Khung thứ nhất có cạnh huyền $1{,}2$ m và một cạnh góc vuông $0{,}9$ m. Khung thứ hai có cạnh huyền $1{,}2$ m và một cạnh góc vuông $0{,}9$ m.
Nhiệm vụ: (1) Gọi tên hai tam giác vuông, chỉ ra cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng. (2) Kết luận hai khung có bằng nhau không và chọn đúng trường hợp. (3) Giải thích vì sao bác thợ chỉ cần đo hai cạnh đó trên khung đầu tiên là có thể làm khung thứ hai giống hệt.

(1) Khung 1: $\Delta ABC$ vuông tại $A$, $BC=1{,}2$ m là cạnh huyền, $AB=0{,}9$ m là cạnh góc vuông. Khung 2: $\Delta DEF$ vuông tại $D$, $EF=1{,}2$ m là cạnh huyền, $DE=0{,}9$ m là cạnh góc vuông.
(2) $BC=EF$ và $AB=DE$ nên $\Delta ABC=\Delta DEF$ theo trường hợp cạnh huyền – cạnh góc vuông.
(3) Khi đã biết cạnh huyền và một cạnh góc vuông, hình tam giác vuông được xác định hoàn toàn, nên hai khung làm theo cùng số đo sẽ bằng nhau.