Giáo án Bài 11. Định lí và chứng minh định lí

HS nhận biết khẳng định nào là định lí, tức là được suy ra từ khẳng định đúng đã biết, và khẳng định nào chỉ có thể nhận ra bằng quan sát hình vẽ.

GV đưa ba khẳng định lên bảng:

• (1) Nếu $a \parallel b$ thì góc so le trong bằng nhau.
• (2) Trên hình vẽ, hai góc có vẻ bằng nhau nên chúng bằng nhau.
• (3) Mọi số nguyên tố đều lẻ.
  GV đặt câu hỏi: Khẳng định nào có thể được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết? Vì sao khẳng định (2) không đủ để kết luận?

HS nhận ra (1) là khẳng định được suy ra từ kiến thức đã học, nên là một định lí; (2) chỉ dựa vào mắt nhìn nên chưa là căn cứ đủ; (3) cần kiểm tra bằng một trường hợp cụ thể. HS rút ra: muốn khẳng định là đúng cần có suy luận, không chỉ dựa vào hình vẽ.

HS phân biệt được giả thiết (điều được cho) và kết luận (điều cần suy ra) trong một định lí dạng "Nếu … thì …".

HS làm việc theo cặp đôi, hoàn thành Phiếu học tập số 1 gồm hai định lí:

• Định lí A: Nếu $a \parallel b$ thì góc so le trong bằng nhau.
• Định lí B: Cho $a \perp c$, $b \perp c$, $a$ và $b$ phân biệt. Chứng minh $a \parallel b$.
  HS điền vào bảng: phần sau "Nếu" là gì? phần sau "thì" là gì? Đâu là điều được cho, đâu là điều cần suy ra?
  Sau đó HS đọc ví dụ mẫu trong sách: cát tuyến $c$ tạo hai góc đồng vị đều $90^\circ$, theo dấu hiệu góc đồng vị bằng nhau suy ra $a \parallel b$.

Phiếu học tập số 1 hoàn thành đúng:

• Định lí A: giả thiết là $a \parallel b$; kết luận là góc so le trong bằng nhau.
• Định lí B: giả thiết là $a \perp c$, $b \perp c$, $a$ và $b$ phân biệt; kết luận là $a \parallel b$.
  HS rút ra: giả thiết là điều nằm sau "Nếu", kết luận là điều nằm sau "thì"; việc tách hai phần giúp kiểm tra lập luận nhưng không thay cho việc kiểm tra đúng sai.

HS hiểu chứng minh là chuỗi lập luận có căn cứ và biết dùng một phản ví dụ để bác bỏ mệnh đề tổng quát.

Phần 1: HS sắp xếp lại bốn bước chứng minh định lí B (Phiếu học tập số 2) theo thứ tự đúng:
(a) Kết luận $a \parallel b$ theo dấu hiệu hai góc đồng vị bằng nhau.
(b) Nêu giả thiết $a \perp c$ và $b \perp c$.
(c) Suy ra một cặp góc đồng vị đều $90^\circ$.
(d) Áp dụng dấu hiệu hai góc đồng vị bằng nhau.
Phần 2: Xét mệnh đề "Mọi số nguyên tố đều lẻ". HS trả lời: Cách nào bác bỏ mệnh đề này? Nêu 3, 5, 7 có bác bỏ được không? Số nào là phản ví dụ?

Thứ tự đúng: (b) → (c) → (d) → (a). Mỗi bước dựa vào bước trước và căn cứ đã biết.
Phần 2: Nêu 3, 5, 7 không bác bỏ được vì các số này đều lẻ và thỏa mãn mệnh đề. Số $2$ là phản ví dụ: $2$ là số nguyên tố nhưng không phải số lẻ. HS rút ra: chỉ cần một phản ví dụ thỏa giả thiết mà kết luận sai là đủ để bác bỏ mệnh đề tổng quát.

HS củng cố cách xác định vai trò của từng phần trong định lí và cách chọn phản ví dụ bằng bài tập trắc nghiệm nhanh.

GV chiếu ba bài tập sau để HS làm cá nhân, sau đó đối chiếu trong cặp:
Bài 1: Trong "Nếu $a \parallel b$ thì góc so le trong bằng nhau", giả thiết là: A. Góc bằng nhau; B. $a \parallel b$; C. Hai góc bù nhau; D. $a \perp b$.
Bài 2: Cách nào bác bỏ "mọi số nguyên tố đều lẻ"? A. Nêu 3, 5, 7; B. Thử mười số; C. Nêu số nguyên tố 2 là số chẵn; D. Vẽ một hình.
Bài 4: Ghép vai trò: (1) Điều đề bài cho; (2) Điều cần suy ra; (3) Chuỗi lí lẽ có căn cứ với (a) Kết luận; (b) Chứng minh; (c) Giả thiết.

Bài 1: đáp án B (giả thiết là điều đứng sau "Nếu"; kết luận đứng sau "thì").
Bài 2: đáp án C (số 2 thỏa giả thiết là số nguyên tố nhưng không lẻ, là phản ví dụ).
Bài 4: (1) – (c); (2) – (a); (3) – (b). Giả thiết, kết luận và chứng minh là ba phần khác nhau.

HS vận dụng cấu trúc giả thiết – kết luận – lập luận để chứng minh một định lí quen thuộc, đồng thời kiểm tra mệnh đề đảo.

HS làm việc cá nhân rồi kiểm tra cặp đôi:
Bài 6: Viết giả thiết và kết luận của "Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau".
Bài 7: Hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau tại $O$. Chứng minh hai góc đối đỉnh bằng nhau bằng cách dùng góc kề bù.
Bài 8: Mệnh đề đảo "Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh" có đúng không? Cho phản ví dụ.
HS có thể tra cứu lại đáp án tương tác trên trang NeoEdu sau khi làm xong.

Bài 6: giả thiết là hai góc đối đỉnh; kết luận là số đo hai góc bằng nhau (mỗi ý 0,5 điểm).
Bài 7: gọi $\alpha$, $\beta$ là hai góc đối đỉnh, $\gamma$ là góc kề bù với cả hai. Ta có $\alpha + \gamma = 180^\circ$ và $\beta + \gamma = 180^\circ$, suy ra $\alpha = 180^\circ - \gamma = \beta$. Thang điểm: đặt tên góc 0,2; viết hai tổng bằng $180^\circ$ 0,4; suy ra bằng nhau 0,4.
Bài 8: Không đúng. Hai góc vuông tại hai đỉnh khác nhau đều bằng $90^\circ$ nhưng không chung đỉnh nên không đối đỉnh. Thang điểm: kết luận sai 0,2; nêu phản ví dụ 0,4; giải thích 0,4.

HS vận dụng định lí về hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba để giải thích một tình huống thực tế, phân biệt rõ đo đạc bằng dụng cụ và chứng minh.

Tình huống: Hai thanh ray của một đường tàu được gắn vào hai thanh giằng cùng vuông góc với một thanh ngang đặt ngang qua chúng. Một nhóm HS dùng êke kiểm tra và thấy hai thanh ray đều vuông góc với thanh ngang. Nhiệm vụ: Hãy viết lập luận chứng minh hai thanh ray song song, nêu rõ giả thiết, kết luận và các bước suy luận. Nhóm giải thích vì sao việc đo bằng êke chỉ là kiểm tra, chưa phải căn cứ chứng minh.
Giao về nhà: Mỗi HS hoàn thiện lập luận thành đoạn văn ngắn 5–7 câu.

Giả thiết: hai thanh ray cùng vuông góc với thanh ngang. Kết luận: hai thanh ray song song. Lập luận: thanh ngang là cát tuyến tạo hai góc đồng vị đều $90^\circ$, nên theo dấu hiệu hai góc đồng vị bằng nhau, hai thanh ray song song. Việc đo bằng êke giúp kiểm tra giả thiết nhưng không thay thế bước suy luận.