Giáo án Bài 10. Tiên đề Euclid. Tính chất của hai đường thẳng song song

Huy động kiến thức nền về hai đường thẳng song song và tạo tình huống để HS nhận ra cần một quy tắc chắc chắn về số đường thẳng song song qua một điểm.

GV treo hình hai thanh ray song song và hỏi: “Hai thanh ray có cắt nhau không? Nếu có một điểm $M$ ở ngoài thanh ray thứ nhất, có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng qua $M$ song song với thanh ray đó?” HS dự đoán và giải thích bằng hình vẽ phác nhanh trên nháp.

Câu trả lời dự kiến: Hai thanh ray song song nên không cắt nhau. Có thể có nhiều đường thẳng qua $M$ song song với thanh ray (dự đoán sai) hoặc chỉ có một (dự đoán đúng). HS nhận ra cần kiểm chứng bằng cách vẽ và đưa ra kết luận thống nhất để làm cơ sở cho bài học.

Nêu được tiên đề Euclid và hiểu đây là điều được thừa nhận làm cơ sở lập luận, không phải kết luận từ đo đạc.

HS vẽ đường thẳng $a$ và điểm $M$ nằm ngoài $a$. Dùng êke và thước thẳng (trượt êke dọc theo thước) để vẽ đường thẳng qua $M$ song song với $a$. Sau đó HS thử vẽ thêm một đường thẳng khác qua $M$ và quan sát có còn song song với $a$ không. Câu hỏi GV đặt ra: (1) “Có vẽ được đường thẳng qua $M$ song song với $a$ không?” (2) “Có vẽ được hai đường thẳng khác nhau qua $M$ cùng song song với $a$ không? Vì sao?” (3) “Việc vẽ thử nhiều hình có đủ để khẳng định điều đó đúng với mọi hình không?”

Kết quả: Qua $M$ nằm ngoài $a$ vẽ được đường thẳng song song với $a$. Đường thẳng thứ hai qua $M$ luôn cắt $a$ (nếu có một đường song song thì đường kia không thể song song với $a$).
Kiến thức HS rút ra:

• Tiên đề Euclid: Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
• Tiên đề là điều được thừa nhận làm cơ sở lập luận; không chứng minh được bằng cách đo nhiều hình.
• Phải có điều kiện “điểm nằm ngoài đường thẳng”; không được hiểu là “ít nhất một” đường thẳng.

Giải thích được các cặp góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía khi $a \parallel b$ và phân biệt được chiều tính chất với chiều dấu hiệu.

HS vẽ hai đường thẳng $a$, $b$ song song (dùng đường song song vừa vẽ) và đường thẳng $c$ cắt cả hai. Đánh số 8 góc và đo bằng thước đo góc. HS điền kết quả vào Phiếu học tập số 1, sau đó đối chiếu với NeoEdu. Câu hỏi GV đặt ra: (1) “Các cặp góc so le trong có số đo quan hệ thế nào?” (2) “Các cặp góc đồng vị có số đo quan hệ thế nào?” (3) “Các cặp góc trong cùng phía có tổng bằng bao nhiêu?” (4) “Nếu biết hai góc so le trong bằng nhau thì có suy ra $a \parallel b$ không?”

Kết quả khi $a \parallel b$ và $c$ cắt cả hai:

• Hai góc so le trong bằng nhau.
• Hai góc đồng vị bằng nhau.
• Hai góc trong cùng phía bù nhau (tổng bằng $180°$).
  Kiến thức HS rút ra:
• Tính chất: Nếu $a \parallel b$ thì (so le trong) bằng nhau, (đồng vị) bằng nhau, (trong cùng phía) bù nhau.
• Dấu hiệu: Nếu một cặp so le trong (hoặc đồng vị) bằng nhau, hoặc một cặp trong cùng phía bù nhau, thì $a \parallel b$.
• Chú ý chiều suy luận: biết song song để tính góc là tính chất; biết góc để suy ra song song là dấu hiệu.

Vận dụng tính chất để tính số đo góc và chọn đúng khái niệm, quan hệ góc tương ứng.

HS làm các bài tập sau (dùng bài tập tương tác trên NeoEdu để kiểm tra):

1. Hai đường thẳng phân biệt $a$, $b$ cùng vuông góc với $c$. Khi đó: A. $a$ cắt $b$; B. $a \parallel b$; C. $a$ trùng $b$; D. Chưa thể kết luận.
2. $a \parallel b$, $c$ cắt cả hai. Một cặp góc đồng vị là $40°$ và $x$. Tính $x$.
3. $a \parallel b$; hai góc trong cùng phía là $40°$ và $x$. Tính $x$.
4. Biết $a \parallel b$ rồi suy ra góc đồng vị bằng nhau là dùng: A. Dấu hiệu nhận biết; B. Định nghĩa trung điểm; C. Tính chất đường song song; D. Quy tắc chuyển vế.
5. Cát tuyến tạo hai góc trong cùng phía $40°$ và $140°$. Tổng hai góc bằng bao nhiêu độ?
   GV yêu cầu HS làm cá nhân 4 phút, sau đó đổi chéo kiểm tra trong cặp.

Đáp án:

1. B (hai góc đồng vị đều $90°$ nên $a \parallel b$).
2. $x = 40$ (hai góc đồng vị bằng nhau).
3. $x = 180 - 40 = 140$ (hai góc trong cùng phía bù nhau).
4. C (đi từ song song tới quan hệ góc là tính chất).
5. $40 + 140 = 180$; tổng bằng $180°$, đủ dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.

Đánh giá đúng điều kiện của tiên đề và dấu hiệu, lập luận được hai đường thẳng song song hoặc không song song.

HS làm các bài tập sau theo nhóm 4 người:
4. Đánh giá điều kiện: a) Một cặp góc so le trong bằng nhau đủ suy ra song song. b) Hai góc bất kì bằng nhau đủ suy ra song song. c) Qua điểm ngoài $a$ chỉ có một đường thẳng song song với $a$.
7. Cho $a \parallel b$ và $b \parallel c$; ba đường thẳng phân biệt. Vì sao $a \parallel c$?
8. Cát tuyến tạo một cặp so le trong $40°$ và $41°$. Có thể kết luận hai đường thẳng song song không?
Nhóm thảo luận 8 phút, sau đó cử đại diện trình bày.

Đáp án và lập luận mẫu:
4. a) Đ (phải đúng vị trí góc so le trong). b) S (hai góc bất kì bằng nhau không đảm bảo vị trí góc đúng). c) Đ (đây là nội dung tiên đề Euclid).
7. Giả sử $a$ và $c$ cắt nhau tại $M$. Khi đó qua $M$ có hai đường thẳng phân biệt $a$, $c$ cùng song song với $b$, trái với tính duy nhất của tiên đề Euclid. Vậy $a$ không cắt $c$, suy ra $a \parallel c$.
8. Không kết luận song song. Nếu $a \parallel b$ thì hai góc so le trong phải bằng nhau, nhưng $40 \neq 41$. Vậy hai đường thẳng không song song.
Quan niệm sai cần tránh: nhầm “một và chỉ một” với “ít nhất một”; bỏ điều kiện điểm nằm ngoài đường thẳng.

Mô hình hoá tình huống thực tế bằng hình vẽ hai đường thẳng và một cát tuyến, vận dụng dấu hiệu và tính chất để kết luận.

Tình huống: Hai thanh ray song song của một cổng trượt được nối bởi thanh chống nghiêng cắt cả hai thanh ray. Người thợ đo được hai góc đồng vị bằng $105°$ và $105°$. Câu hỏi: (1) Hai thanh ray có song song không? Vì sao? (2) Nếu người thợ đo được góc trong cùng phía là $70°$ và góc còn lại là $x$ thì $x$ bằng bao nhiêu để hai thanh ray song song? (3) Vì sao không cần đo hết mọi cặp góc vẫn đủ kết luận?
HS làm việc theo nhóm 3–4 người, vẽ hình minh hoạ và trình bày.

Đáp án mẫu:
(1) Có. Hai góc đồng vị bằng nhau ($105° = 105°$) nên theo dấu hiệu nhận biết, hai thanh ray song song.
(2) $x = 180 - 70 = 110$; khi đó hai góc trong cùng phía bù nhau nên hai thanh ray song song.
(3) Một cặp góc thoả dấu hiệu là đủ kết luận song song; không cần đo tất cả các cặp góc.
Kiến thức vận dụng: mô hình hoá tình huống bằng hai đường thẳng và một cát tuyến; chọn đúng tính chất hoặc dấu hiệu.