Giáo án Bài 23. Mở rộng phân số. Phân số bằng nhau

Huy động kiến thức về phân số đã học ở tiểu học; tạo tình huống xuất hiện nhu cầu viết cùng một lượng dưới nhiều dạng phân số khác nhau.

GV chiếu hai chiếc bánh có cùng kích thước. Bánh thứ nhất chia thành 2 phần bằng nhau, Bình ăn 1 phần. Bánh thứ hai chia thành 4 phần bằng nhau, An ăn 2 phần. HS trả lời: Ai ăn nhiều hơn? Phần bánh Bình ăn và phần bánh An ăn được viết dưới dạng phân số là gì? Hai phân số $\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{2}{4}$ có bằng nhau không? Vì sao?

HS nhận ra $\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{2}{4}$ cùng chỉ một lượng bánh, nên hai phân số này bằng nhau: $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}$. HS nêu được nhận xét ban đầu: số phần bánh tăng gấp đôi thì số phần bằng nhau cũng tăng gấp đôi, từ đó dự đoán cần có quy tắc để kiểm tra và tìm phân số bằng nhau.

Giải thích được vì sao nhân hoặc chia cả tử và mẫu với cùng một số khác 0 thì được phân số bằng phân số đã cho; vận dụng để mở rộng và rút gọn phân số về dạng tối giản.

Nhóm HS hoàn thành Phiếu học tập số 1: (1) Viết $\dfrac{3}{4}$ thành phân số có mẫu 12, mẫu 8, mẫu -8. (2) Rút gọn $\dfrac{12}{20}$ và giải thích từng bước. (3) Rút gọn $-\dfrac{18}{30}$ bằng cách tìm ƯCLN(18, 30). (4) Giải thích vì sao không được chỉ đổi tử hoặc chỉ đổi mẫu. Sau đó đọc ví dụ trong SGK hoặc trên NeoEdu để đối chiếu.

• Mở rộng: $\dfrac{3}{4} = \dfrac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \dfrac{9}{12}$; $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{8}$; $\dfrac{3}{4} = \dfrac{-6}{-8}$.
• Rút gọn: $\dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$ (chia cả tử và mẫu cho ƯCLN = 4).
• Ví dụ: ƯCLN(18, 30) = 6, nên $-\dfrac{18}{30} = -\dfrac{3}{5}$; vì 3 và 5 nguyên tố cùng nhau nên phân số đã tối giản.
• Kết luận HS rút ra: Nhân hoặc chia cả tử và mẫu với cùng một số nguyên khác 0 (ước chung khác 0) thì được phân số bằng phân số đã cho. Không được xóa chữ số hay chỉ đổi một trong hai số.

Nêu được điều kiện $ad = bc$ để hai phân số bằng nhau; vận dụng được quy tắc nhân chéo để kiểm tra cặp phân số và tìm số chưa biết.

Nhóm HS hoàn thành Phiếu học tập số 2: (1) Kiểm tra $\dfrac{2}{3}$ và $\dfrac{4}{6}$ bằng cách nhân chéo: tính $2 \cdot 6$ và $3 \cdot 4$. (2) Kiểm tra $\dfrac{1}{2}$ và $\dfrac{2}{3}$ có bằng nhau không. (3) Viết $\dfrac{3}{-5}$ dưới dạng có mẫu dương. (4) Tìm $x$ biết $\dfrac{x}{15} = \dfrac{2}{5}$. Nhóm nêu kết luận chung về điều kiện để hai phân số bằng nhau.

• (1) $2 \cdot 6 = 12$ và $3 \cdot 4 = 12$, bằng nhau nên $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$.
• (2) $1 \cdot 3 = 3$ và $2 \cdot 2 = 4$, khác nhau nên $\dfrac{1}{2} \ne \dfrac{2}{3}$.
• (3) $\dfrac{3}{-5} = \dfrac{-3}{5}$ (chuyển dấu âm lên tử để mẫu dương).
• (4) $x \cdot 5 = 15 \cdot 2$, suy ra $x = 6$.
• Kết luận HS rút ra: Hai phân số $\dfrac{a}{b}$ và $\dfrac{c}{d}$ (với $b, d \ne 0$) bằng nhau khi và chỉ khi $ad = bc$. Có thể kiểm tra bằng nhân chéo hoặc bằng cách cùng nhân/chia tử và mẫu.

Củng cố kĩ năng mở rộng, rút gọn, đưa dấu âm về tử, nhân chéo và tìm số chưa biết; phát hiện và sửa sai lầm khi xóa chữ số.

Lớp chia thành ba trạm, mỗi trạm 2–3 nhóm luân phiên sau 6 phút.
Trạm 1 (nhận biết): Bài 1: Biểu thức nào là phân số hợp lệ? A. $\dfrac{3}{0}$; B. $\dfrac{-4}{7}$; C. $\dfrac{2{,}5}{3}$; D. $\dfrac{1{,}2}{0{,}5}$. Bài 4: Đánh giá đúng/sai: a) $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6}$; b) $\dfrac{-3}{5} = \dfrac{3}{-5}$; c) $\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{3}$.
Trạm 2 (rút gọn, mở rộng): Bài 2: Rút gọn $\dfrac{12}{20}$ về phân số tối giản. Bài 3: Điền số: $\dfrac{-2}{3} = \dfrac{?}{12}$ và $\dfrac{5}{-7} = \dfrac{?}{7}$. Bài 6: Ghép các phân số bằng nhau: $\dfrac{-6}{8}$, $\dfrac{9}{12}$, $\dfrac{-5}{-10}$ với $\dfrac{-3}{4}$, $\dfrac{3}{4}$, $\dfrac{1}{2}$.
Trạm 3 (tìm x, phản biện): Bài 5: Tìm $x$ biết $\dfrac{x}{15} = \dfrac{2}{5}$. Bài 7: Có bao nhiêu số nguyên $x$ để $\dfrac{x}{6} = \dfrac{-2}{3}$? Bài 8: Bạn An xóa chữ số 1 ở tử và mẫu của $\dfrac{12}{18}$ để được $\dfrac{2}{8}$. Hãy giải thích vì sao sai và rút gọn đúng $\dfrac{12}{18}$.

Đáp án:

• Bài 1: B ($\dfrac{-4}{7}$), vì tử và mẫu là số nguyên và mẫu khác 0; A có mẫu bằng 0, C và D có tử hoặc mẫu không là số nguyên.
• Bài 2: $\dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}$ (chia cả tử và mẫu cho 4).
• Bài 3: $\dfrac{-2}{3} = \dfrac{-8}{12}$ (nhân cả tử và mẫu với 4); $\dfrac{5}{-7} = \dfrac{-5}{7}$.
• Bài 4: a) Đúng (nhân chéo $2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$); b) Đúng ($\dfrac{3}{-5} = \dfrac{-3}{5}$); c) Sai ($1 \cdot 3 \ne 2 \cdot 2$).
• Bài 5: $x = 6$ (vì $x \cdot 5 = 2 \cdot 15 = 30$, $x = 6$, hoặc nhân cả tử và mẫu của $\dfrac{2}{5}$ với 3).
• Bài 6: $\dfrac{-6}{8} = \dfrac{-3}{4}$; $\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$; $\dfrac{-5}{-10} = \dfrac{1}{2}$.
• Bài 7: 1 số nguyên, $x = -4$ (vì $3x = -12$).
• Bài 8: Sai vì xóa chữ số không phải là chia cả tử và mẫu cho cùng một số; $\dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4} \ne \dfrac{2}{3}$. Rút gọn đúng: chia cả tử và mẫu cho 6, được $\dfrac{2}{3}$.

Mô hình hoá tình huống chia phần bằng phân số; vận dụng phân số bằng nhau để tìm số miếng cần chia và kiểm tra kết quả bằng lập luận.

Tình huống: Pizza thứ nhất được chia thành 8 miếng bằng nhau, bạn An ăn 6 miếng. Pizza thứ hai được chia thành 4 miếng bằng nhau. Bạn Bình muốn ăn một phần bằng đúng phần An đã ăn. Hỏi Bình cần ăn bao nhiêu miếng pizza thứ hai? Kiểm tra kết quả bằng cách nhân chéo. HS tự làm thêm một tình huống tương tự ở nhà.

• Phần An ăn: $\dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$ (rút gọn bằng cách chia cả tử và mẫu cho 2).
• Gọi số miếng Bình ăn là $x$ (trên pizza có 4 miếng), ta có $\dfrac{x}{4} = \dfrac{3}{4}$, suy ra $x = 3$.
• Kiểm tra: $3 \cdot 4 = 4 \cdot 3$, đúng.
• Kết luận: Bình cần ăn 3 miếng pizza thứ hai.