Giáo án Bài 17. Phép chia hết. Ước và bội của một số nguyên

Huy động kiến thức chia hết của số tự nhiên đã học; nhận ra cần mở rộng phép chia hết sang số nguyên âm.

GV đưa lên bảng: $12 : 4 = 3$ vì $12 = 4 \times 3$. HS trả lời nhanh các câu hỏi: a) $-12 : 4 = ?$ b) $12 : (-4) = ?$ c) $(-12) : (-4) = ?$ Nếu chưa có cách tính, HS dự đoán dấu của thương.

HS nêu được: $-12 : 4 = -3$ vì $(-3)\times 4 = -12$; $12 : (-4) = -3$ vì $(-3)\times(-4) = 12$; $(-12) : (-4) = 3$ vì $3 \times (-4) = -12$. Kết luận sơ bộ: khi chia số nguyên, thương có thể âm hoặc dương tùy dấu của hai số; cần định nghĩa chính xác để kiểm tra.

Hình thành định nghĩa phép chia hết trong $\mathbb{Z}$ với $b \ne 0$; rút ra quy tắc dấu của thương và nhận biết không được chia cho 0.

HS hoạt động nhóm 4 người, hoàn thành Phiếu học tập số 1 (điền bảng và trả lời câu hỏi). Các câu hỏi chính: (1) Với $a = -24$, $b = 6$, tìm $q$ sao cho $a = bq$. Có $q$ nguyên không? (2) Tìm $-24 : (-6)$ bằng cách tìm $q$ sao cho $(-6)\times q = -24$. (3) Vì sao không thể tìm $q$ cho $a : 0$? (4) Nêu quy tắc dấu của thương khi chia hai số nguyên khác dấu và cùng dấu.

Kiến thức HS rút ra: Với $b \ne 0$, $a$ chia hết cho $b$ khi và chỉ khi tồn tại $q \in \mathbb{Z}$ sao cho $a = bq$, khi đó $a : b = q$.

• $-24 : 6 = -4$ vì $6 \times (-4) = -24$ (khác dấu, thương âm).
• $-24 : (-6) = 4$ vì $(-6) \times 4 = -24$ (cùng dấu, thương dương).
• Không chia cho $0$, vì không có số $q$ nào thỏa mãn $0 \times q = a$ với $a \ne 0$.
  Quy tắc dấu: cùng dấu thì thương dương; khác dấu thì thương âm.

Hình thành khái niệm ước và bội của số nguyên; biết tìm ước của $a$ khác $0$ và bội của một số nguyên, nhận biết ước và bội có thể âm.

HS hoạt động theo nhóm, hoàn thành Phiếu học tập số 2. Nhiệm vụ: (1) Với $12 = (-3)\times(-4)$, kiểm tra $-3$ có là ước của $12$ không. (2) Liệt kê ước của $12$ bằng cách tìm ước dương rồi thêm số đối. (3) Liệt kê các bội của $-4$ từ $-8$ đến $8$. (4) Có thể tìm được bao nhiêu bội của $-4$? Vì sao $0$ luôn là bội của $-4$? Có nhận xét gì về ước của $12$ trong $\mathbb{Z}$ so với trong tập số tự nhiên đã học?

Kiến thức HS rút ra: Nếu $a = bq$ với $b \ne 0$, $q \in \mathbb{Z}$ thì $b$ là ước của $a$ và $a$ là bội của $b$.

• $\text{Ư}(12) = \{\pm 1; \pm 2; \pm 3; \pm 4; \pm 6; \pm 12\}$, gồm $12$ số nguyên (có cả ước âm).
• Bội của $-4$: $\ldots; -8; -4; 0; 4; 8; \ldots$; bội có thể âm, dương hoặc bằng $0$; $0$ luôn là bội của mọi số nguyên khác $0$ vì $0 = (-4)\times 0$.
• Cách tìm ước của $a \ne 0$: tìm ước dương của $|a|$ rồi lấy thêm số đối của chúng.
• Lưu ý: khác với số tự nhiên, ước của $12$ trong $\mathbb{Z}$ gồm cả số âm.

Củng cố quy tắc dấu, ước, bội và phương pháp tìm $x \in \mathbb{Z}$; rèn lập luận khi đánh giá khẳng định đúng sai.

HS làm việc theo nhóm 4 người theo kĩ thuật “Mảnh ghép”: mỗi nhóm nhận 8 bài tập (trong đó bài 1 đến 8 được chia thành 4 mảnh, mỗi thành viên nhận 2 bài). Thành viên có cùng mảnh họp lại 3 phút để thống nhất đáp án, sau đó quay về nhóm gốc để giảng lại cho bạn. Đề bài tập:

1. Tính $(-45) : 9$.
2. Tính $(-56) : (-8)$.
3. Số nào là ước của $-18$? A. $5$; B. $-4$; C. $-6$; D. $8$.
4. Đánh giá đúng (Đ) hay sai (S): a) $-3$ là ước của $12$; b) $0$ là ước của $12$; c) $0$ là bội của $-3$.
5. Điền số vào ô trống: $36 : \square = -9$; $\square : (-7) = -3$.
6. Số $-10$ có bao nhiêu ước nguyên?
7. Tìm $x \in \mathbb{Z}$: $7x + 14 = -21$.
8. Liệt kê các bội của $-6$ nằm trong đoạn từ $-15$ đến $15$.

Đáp án và lời giải:

1. $(-45):9=-5$ (khác dấu, thương âm; $45:9=5$).
2. $(-56):(-8)=7$ (cùng dấu, thương dương).
3. Đáp án C: $-18=(-6)\times 3$.
4. a) Đ vì $12=(-3)\times(-4)$; b) S vì không chia được cho $0$ nên $0$ không là ước của $12$ (đúng: $12 = 0 \times q$ vô lí); c) Đ vì $0=(-3)\times 0$.
5. $36:(-4)=-9$ nên ô trống là $-4$; $(-7)\times(-3)=21$ nên ô trống là $21$. Đáp án: $-4$ và $21$.
6. $\text{Ư}(-10)=\{\pm 1; \pm 2; \pm 5; \pm 10\}$: có $8$ ước nguyên.
7. $7x=-21-14=-35$ nên $x=-5$. Thử lại: $7\times(-5)+14=-21$. Đúng.
8. Các bội của $-6$ có dạng $-6k$ với $k\in\mathbb{Z}$; trong đoạn $[-15;15]$ là $-12; -6; 0; 6; 12$.

Vận dụng phép chia số nguyên để giải bài toán thực tế có dữ kiện; kiểm tra kết quả bằng phép nhân.

Nhiệt độ trong kho lạnh giảm đều trong 6 giờ, tổng cộng thay đổi $-24\,^\circ\mathrm{C}$. Hỏi mỗi giờ nhiệt độ thay đổi bao nhiêu độ? Hãy viết phép tính, kết luận và thử lại kết quả. Gợi ý thêm: nếu nhiệt độ tăng đều $36\,^\circ\mathrm{C}$ trong 9 giờ thì mỗi giờ tăng bao nhiêu?

Lời giải: mỗi giờ nhiệt độ thay đổi $(-24):6=-4\,^\circ\mathrm{C}$, tức là giảm $4\,^\circ\mathrm{C}$ mỗi giờ. Thử lại: $(-4)\times 6=-24$. Gợi ý thêm: $36:9=4$, mỗi giờ tăng $4\,^\circ\mathrm{C}$.