Giáo án Một vài mô hình toán học sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit

Huy động kiến thức về hàm số mũ và lôgarit đã học; xác định vấn đề: các hiện tượng tăng hoặc giảm và các thang đo lôgarit đều có thể mô hình hóa bằng hàm số.

GV nêu tình huống giả định: một nhóm dữ liệu có mô hình $A(t)=100\times 2^{t}$ với $t$ tính bằng giờ. HS tính $A(2)$ và trả lời câu hỏi: “Vì sao $A(t)$ không tăng đều một lượng mỗi giờ mà tăng theo tỉ lệ?”. Tiếp theo, GV hỏi: “Nếu pH giảm từ 5 xuống 3 thì nồng độ $\mathrm{H^+}$ thay đổi thế nào?”.

$A(2)=100\times 2^{2}=400$. HS nhận ra: mô hình mũ có tốc độ thay đổi tỉ lệ với giá trị hiện tại, không cộng đều; pH là thang lôgarit nên chênh lệch 2 đơn vị ứng với nồng độ thay đổi 100 lần. Vấn đề bài học: nắm các mô hình mũ và lôgarit, biết điều kiện và giới hạn áp dụng.

Hình thành kiến thức về mô hình $A(t)=A_0e^{kt}$, ý nghĩa của dấu $k$, công thức $k=-\dfrac{\ln 2}{T}$ và cách ước tính $k$ từ hai số liệu dương.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 1. Các cặp đôi tìm hiểu: (1) Với $A(t)=A_0e^{kt}$, $A_0>0$, khi nào $A$ tăng, khi nào $A$ giảm? (2) Nếu sau $T$ kì còn một nửa, chứng minh $k=-\dfrac{\ln 2}{T}$. (3) Từ $A(0)$ và $A(t_1)$ dương, suy ra công thức ước tính $k$. Cuối hoạt động, HS dùng học liệu NeoEdu để kiểm tra bài tập tương tác về mô hình mũ.

• $k>0$: $A(t)=A_0e^{kt}$ tăng theo $t$ vì $e^{kt}>1$ khi $kt>0$; $k<0$: $A$ giảm.
• Sau $T$ kì còn một nửa: $A_0e^{kT}=\dfrac{A_0}{2}$, suy ra $e^{kT}=\dfrac{1}{2}$, $kT=-\ln 2$, nên $k=-\dfrac{\ln 2}{T}$.
• Từ $A(t_1)=A_0e^{kt_1}$ suy ra $k=\dfrac{\ln\left(A(t_1)/A(0)\right)}{t_1}$ với $t_1\neq 0$.
• Dạng tương đương: $A(t)=A_0\left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/T}$ khi $k=-\dfrac{\ln 2}{T}$.

Hình thành kiến thức về ba thang lôgarit trong bài; hiểu ý nghĩa của chênh lệch 1 đơn vị trên mỗi thang và điều kiện các đại lượng tham chiếu phải dương.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 2, hoàn thành bảng. Các nhóm xét: (1) Công thức $\mathrm{pH}=-\log_{10}[c/(1\,\mathrm{mol/L})]$, ví dụ pH tăng từ 3 lên 5, nồng độ $\mathrm{H^+}$ thay đổi thế nào? (2) Với $M=\log_{10}(A/A_{\mathrm{ref}})$ và cùng tham chiếu, $M_2-M_1=2$ thì $A_2/A_1$ bằng bao nhiêu? (3) Với $L=10\log_{10}(I/I_0)$ dB, chênh $10$ dB nghĩa là tỉ số cường độ bằng bao nhiêu? Lưu ý: không suy ra cảm giác âm to gấp bao nhiêu từ chênh dB.

Phiếu học tập số 2 hoàn thành như sau:

• Thang pH: $\mathrm{pH}=-\log_{10}(c/c_0)$, $c_0=1\,\mathrm{mol/L}$. Chênh 2 đơn vị: nồng độ đổi $100$ lần; pH 3 sang pH 5: $c_2/c_1=10^{-5}/10^{-3}=\dfrac{1}{100}$, nồng độ giảm 100 lần, không tăng 2 lần.
• Thang độ lớn: $M=\log_{10}(A/A_{\mathrm{ref}})$. Chênh $M=2$ thì $\dfrac{A_2}{A_1}=10^{2}=100$ về biên độ, không tự suy ra năng lượng gấp 100.
• Thang mức cường độ: $L=10\log_{10}(I/I_0)$ dB. Chênh $10$ dB thì $\dfrac{I_2}{I_1}=10^{10/10}=10$ về cường độ vật lí; không khẳng định cảm giác âm to gấp 10.
• Kết luận chung: các tham chiếu $c_0$, $A_{\mathrm{ref}}$, $I_0$ đều dương và giữ cố định khi so chênh lệch.

Củng cố cách tính với hàm mũ và lôgarit; rèn kĩ năng giải thích từng bước và phân biệt các đại lượng không đồng nhất.

HS làm việc theo kĩ thuật trạm, 3 trạm, mỗi trạm 2 bài. Trạm 1: Bài 2 và Bài 3 (chọn đáp án và tính $A(2)$ của mô hình $A(t)=100\times 2^{t}$). Trạm 2: Bài 4 và Bài 5 (mô hình nửa chu kì và tính pH từ nồng độ $10^{-4}\,\mathrm{mol/L}$). Trạm 3: Bài 6 và Bài 7 (tính mức dB và chênh lệch $M$ khi $A_2/A_1=100$). Đề bài và đáp án cụ thể:

• Bài 2: Trong $A(t)=A_0e^{kt}$, $k<0$, $A_0>0$, mô hình mô tả: A. $A(t)$ trở thành âm sau đủ lâu; B. Suy giảm theo mô hình mũ; C. Tăng đều một lượng mỗi kì. Đáp án: B, vì $e^{kt}>0$ và giảm khi $k<0$.
• Bài 3: $A(2)=100\times 2^{2}=400$ đơn vị.
• Bài 4: Mô hình 160 g, còn một nửa sau mỗi 3 giờ; sau 6 giờ còn $160\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=40$ g.
• Bài 5: $\mathrm{pH}=-\log_{10}(10^{-4})=4$.
• Bài 6: $L=10\log_{10}(10^{5})=50$ dB.
• Bài 7: $\Delta M=\log_{10}(100)=2$; đây là tỉ số biên độ, không phải năng lượng.

Đáp án các bài luyện tập:

• Bài 2: B.
• Bài 3: $400$.
• Bài 4: $40$ g.
• Bài 5: pH $=4$.
• Bài 6: $50$ dB.
• Bài 7: $M_2-M_1=2$.
  HS ghi lại mỗi bài kèm một câu giải thích ngắn (ví dụ: “vì $e^{kt}>0$ nên $A$ không thể âm”).

Vận dụng mô hình mũ để dự đoán trên dữ liệu giả định và sử dụng thang lôgarit để sửa một báo cáo sai; nêu được giới hạn của mô hình.

Nhiệm vụ 1 (mô hình mũ): Dữ liệu giả định $A(0)=200$, $A(2)=300$, thời gian tính bằng giờ. Tìm $k$ của $A(t)=200e^{kt}$, dự đoán $A(4)$ và nêu giới hạn.
Nhiệm vụ 2 (lôgarit): Một báo cáo nói: “Mức âm tăng 10 dB thì âm nghe to gấp 10 và năng lượng mọi trận động đất cũng gấp 10.” Hãy sửa bằng hai công thức thang log và nêu dữ kiện còn thiếu.

• Nhiệm vụ 1: $e^{2k}=\dfrac{300}{200}=1{,}5$, nên $k=\dfrac{\ln 1{,}5}{2}\approx 0{,}203$ mỗi giờ. $A(4)=200\left(e^{2k}\right)^{2}=200\times 2{,}25=450$. Giới hạn: đây chỉ là dự đoán khi tốc độ tăng tương đối giữ cố định; hai điểm dữ liệu chưa chứng minh quá trình thật luôn theo hàm mũ.
• Nhiệm vụ 2: Từ $L=10\log_{10}(I/I_0)$ cùng tham chiếu, $L_2-L_1=10$ dB cho $\dfrac{I_2}{I_1}=10$ về cường độ vật lí, không xác định trực tiếp cảm giác âm to gấp 10. Với $M=\log_{10}(A/A_{\mathrm{ref}})$, chênh $M=1$ cho $\dfrac{A_2}{A_1}=10$ về biên độ, không tự suy năng lượng gấp 10 nếu thiếu quan hệ vật lí. Dữ kiện còn thiếu: đại lượng đo, tham chiếu, điều kiện đo và quan hệ vật lí giữa biên độ và năng lượng.