Giáo án Bài tập cuối chương IX

HS nhắc lại nhanh công thức đạo hàm cơ bản và đạo hàm hàm hợp, nhận diện được nhiệm vụ ôn tập của tiết học.

HS làm 4 câu trắc nghiệm (bài 1 đến bài 4 trong đề ôn tập):

• Câu 1: Đạo hàm của $y=5x^2-3$ là gì? A. $5x$; B. $10x$; C. $10x-3$.
• Câu 2: Đạo hàm của $y=\cos(3x)$ là gì? A. $3\sin(3x)$; B. $-\sin(3x)$; C. $-3\sin(3x)$.
• Câu 3: Đạo hàm của $y=\log_2 x$ trên $x>0$ là gì? A. $\dfrac{1}{x\ln 2}$; B. $\dfrac{1}{x}$; C. $\dfrac{\ln 2}{x}$.
• Câu 4: Nếu $f(x)=e^{2x}$ thì $f''(x)$ là gì? A. $e^{4x}$; B. $4e^{2x}$; C. $2e^{2x}$.
  HS giơ thẻ A, B hoặc C, sau đó giải thích lựa chọn của mình.

Đáp án đúng: câu 1 chọn B ($10x$); câu 2 chọn C ($-3\sin(3x)$); câu 3 chọn A ($\dfrac{1}{x\ln 2}$); câu 4 chọn B ($4e^{2x}$).
HS nêu được: đạo hàm của hằng số bằng 0; đạo hàm của hàm hợp $\cos(3x)$ có thừa số $-3$ vì nhân với đạo hàm của $3x$; đạo hàm của logarit cơ số 2 có thêm $\ln 2$ ở mẫu; $f''$ là đạo hàm của $f'$, mỗi lần lấy đạo hàm $e^{2x}$ nhân thêm 2.

HS hệ thống lại các quy tắc tính đạo hàm và công thức đạo hàm của hàm số cơ bản, hàm hợp, lượng giác, mũ và logarit, kèm điều kiện xác định.

Kỹ thuật khăn trải bàn. Lớp chia 5 nhóm, mỗi nhóm nhận một góc của khăn trải bàn A0:

• Góc 1: quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương.
• Góc 2: đạo hàm của hàm hợp.
• Góc 3: đạo hàm của $\sin x$, $\cos x$ và hàm hợp của chúng.
• Góc 4: đạo hàm của $e^x$, $\ln x$, $\log_a x$ và hàm hợp của chúng.
• Góc 5: đạo hàm cấp hai và cách tính $f''(x)$.
  Nhiệm vụ: ghi công thức, nêu rõ điều kiện xác định (ví dụ $x>0$ với $\ln x$), lấy một ví dụ minh hoạ và kiểm tra lại bằng cách tính.

Khăn trải bàn gồm 5 góc với nội dung chính:

• Góc 1: $(u\pm v)'=u'\pm v'$; $(uv)'=u'v+uv'$; $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ với $v\ne 0$.
• Góc 2: $[f(u)]'=f'(u)\cdot u'$.
• Góc 3: $(\sin x)'=\cos x$; $(\cos x)'=-\sin x$; $(\sin u)'=u'\cos u$; $(\cos u)'=-u'\sin u$.
• Góc 4: $(e^x)'=e^x$; $(e^u)'=u'e^u$; $(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$ với $x>0$; $(\log_a x)'=\dfrac{1}{x\ln a}$ với $x>0$, $a>0$, $a\ne 1$.
• Góc 5: $f''(x)=[f'(x)]'$; ví dụ $f(x)=x^4$ có $f''(x)=12x^2$.

HS giải thích được ý nghĩa hình học và ý nghĩa vật lí của đạo hàm; phân biệt được vị trí, vận tốc, tốc độ, gia tốc và đạo hàm cấp hai.

HS hoàn thành Phiếu học tập số 1 theo cặp đôi, sau đó đối chiếu với cặp bên cạnh.
Nhiệm vụ trong phiếu: điền bảng khái niệm và trả lời câu hỏi về tiếp tuyến, chuyển động và đạo hàm cấp hai.

Kết quả điền Phiếu học tập số 1:

• Vị trí $s(t)$: quãng đường hoặc toạ độ của vật tại thời điểm $t$.
• Vận tốc $v(t)=s'(t)$: tốc độ thay đổi vị trí theo thời gian, có dấu cho biết chiều chuyển động.
• Tốc độ: giá trị tuyệt đối của vận tốc, luôn không âm.
• Gia tốc $a(t)=v'(t)=s''(t)$: tốc độ thay đổi của vận tốc.
• Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị $y=f(x)$ tại $x_0$ là $f'(x_0)$; phương trình tiếp tuyến là $y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$, đi qua tiếp điểm $(x_0;f(x_0))$.
• Đạo hàm cấp hai $f''(x)$ là đạo hàm của $f'(x)$, không phải $[f'(x)]^2$.

HS vận dụng công thức để tính đạo hàm, đạo hàm cấp hai và giá trị đạo hàm tại điểm; biết kiểm tra đơn vị và kết quả.

HS làm các bài 5 đến 8 theo hình thức Think-Pair-Share: làm cá nhân trước, sau đó trao đổi với bạn cùng bàn và kiểm tra chéo.

• Bài 5: $f(x)=x^3-4x$. Tính $f'(2)$.
• Bài 6: $f(x)=x^4$. Tính $f''(1)$.
• Bài 7: Vật chuyển động có quãng đường $s(t)=2t^2+3t+1$ (m), $t$ tính bằng giây. Tính vận tốc tại thời điểm $t=2$ s, đơn vị m/s.
• Bài 8: $f(x)=\sin x$. Tính $f'(0)$.

Đề và đáp án:

• Bài 5: $f'(x)=3x^2-4$, $f'(2)=3\cdot 4-4=8$.
• Bài 6: $f'(x)=4x^3$, $f''(x)=12x^2$, $f''(1)=12$.
• Bài 7: $v(t)=s'(t)=4t+3$, $v(2)=11$ (m/s).
• Bài 8: $f'(x)=\cos x$, $f'(0)=\cos 0=1$.
  HS nêu được cách kiểm tra: đối chiếu đơn vị m/s ở bài 7; kiểm tra lại đạo hàm bằng cách thay giá trị vào biểu thức đạo hàm đã rút gọn.

HS vận dụng đạo hàm của thương để tính $y'$ kèm miền xác định, và viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại một điểm cho trước.

HS hoạt động nhóm 4 với Phiếu học tập số 2:

• Bài 9: Tính đạo hàm của $y=\dfrac{2x+1}{x+2}$, nêu miền xác định rồi tính $y'(0)$.
• Bài 10: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $y=x^3$ tại điểm có hoành độ $x=1$.
  Tiêu chí chấm gợi ý: bài 9 gồm nêu đúng miền (30%), biến đổi và rút gọn đúng (45%), kết quả cuối cùng đúng (25%); bài 10 gồm xác định đúng tiếp điểm, hệ số góc và phương trình. GV chấp nhận mọi cách giải và biểu thức tương đương đúng điều kiện.

Đáp án:

• Bài 9: Miền xác định $x\ne -2$. $y'=\dfrac{2(x+2)-(2x+1)}{(x+2)^2}=\dfrac{3}{(x+2)^2}$. Tại $x=0$: $y'(0)=\dfrac{3}{4}$.
• Bài 10: Tiếp điểm $(1;1)$ vì $f(1)=1$; hệ số góc $f'(1)=3$; phương trình $y-1=3(x-1)$, hay $y=3x-2$.
  HS nêu được: đạo hàm của thương cần mẫu khác 0, tức $x\ne -2$; phương trình tiếp tuyến phải đi qua tiếp điểm $(1;1)$.

HS mô hình hoá tình huống tăng trưởng bằng hàm mũ, dùng đạo hàm để tính tốc độ tăng trưởng tại một thời điểm và diễn giải kết quả theo đơn vị thực tế.

Trong một phòng thí nghiệm, số lượng vi khuẩn sau $t$ giờ được mô tả bởi hàm số $N(t)=1000e^{0{,}2t}$, $t\ge 0$.
Nhiệm vụ: a) Tính $N'(t)$. b) Tính $N'(5)$ và nêu ý nghĩa của kết quả. c) Vì sao $N'(t)$ luôn dương?

a) $N'(t)=200e^{0{,}2t}$.
b) $N'(5)=200e\approx 543{,}7$; tại thời điểm 5 giờ, số lượng vi khuẩn đang tăng khoảng 544 con mỗi giờ.
c) Vì $e^{0{,}2t}>0$ với mọi $t$ nên $N'(t)>0$: số lượng vi khuẩn luôn tăng theo thời gian.