Giáo án Bài 33. Đạo hàm cấp hai

Gợi nhớ đạo hàm cấp một, từ đó nêu vấn đề: lấy đạo hàm của đạo hàm thì được gì và được gọi là gì.

HS tính đạo hàm của $f(x)=x^3$ rồi trả lời các câu hỏi: (1) $f'(x)$ bằng bao nhiêu? (2) $f'(x)$ có đạo hàm không? Nếu có thì tính thế nào? (3) Đạo hàm của $f'$ có tên gọi gì?

• $f'(x)=3x^2$.
• $f'$ là đa thức nên có đạo hàm: $(3x^2)'=6x$.
• Đạo hàm của $f'$ là đạo hàm cấp hai, ký hiệu $f''$. Vậy $f''(x)=6x$.
• Nhiệm vụ của tiết học: tìm hiểu định nghĩa, cách tính và ý nghĩa của đạo hàm cấp hai.

Hình thành định nghĩa $f''=(f')'$, nắm nguyên tắc tính lần lượt và nhận biết miền của $f''$ có thể hẹp hơn miền của $f$.

HS làm việc theo cặp: (1) Tính $y''$ của $y=\sin x$. (2) Trả lời: “Có phải $f''=(f')^2$ không?” (3) Tính $f''$ của $f(x)=\ln x$ và nêu miền của $f$ và của $f''$. GV nhấn mạnh: phải tính $f'$ trước, rồi lấy đạo hàm của $f'$.

• Định nghĩa: Nếu $f'$ có đạo hàm thì đạo hàm của $f'$ được gọi là đạo hàm cấp hai của $f$, ký hiệu $f''=(f')'$. Tính lần lượt, không bình phương $f'$.
• Ví dụ $y=\sin x$: $y'=\cos x$, $y''=-\sin x$, đúng với mọi $x$ (tính theo radian).
• $f''\neq(f')^2$: ví dụ với $f=x^3$, $(f')^2=9x^4$ còn $f''=6x$.
• Ví dụ $f(x)=\ln x$: miền $x>0$; $f'(x)=\dfrac{1}{x}$; $f''(x)=-\dfrac{1}{x^2}$ với $x>0$. Miền của $f''$ là $x>0$, cùng miền với $f$; biểu thức $-\dfrac{1}{x^2}$ có nghĩa với $x<0$ nhưng không thuộc miền của $\ln x$ nên không mở rộng.

Nhận biết $v=s'$, $a=v'=s''$; giải $v=0$ trong miền thời gian để tìm thời điểm đứng yên; xác định tốc độ tăng hay giảm dựa vào dấu của $v$ và $a$.

HS làm việc nhóm 4 với Phiếu học tập số 1 để nghiên cứu chuyển động $s(t)=t^3-6t^2+9t$, $t\ge 0$ ($s$ tính bằng mét, $t$ tính bằng giây). Nhóm lần lượt tính $v(t)$, giải $v(t)=0$, tính $a(t)$ và điền bảng về dấu của $v$, $a$ và xu hướng của tốc độ. Lưu ý: tìm thời điểm đứng yên bằng cách giải $v=0$, không giải $s=0$.

• $v(t)=s'(t)=3t^2-12t+9=3(t-1)(t-3)$.
• $v(t)=0$ với $t\ge 0$ khi $t=1$ s hoặc $t=3$ s: vật đứng yên tức thời tại hai thời điểm này.
• $a(t)=v'(t)=6t-12$ (m/s²); $a(1)=-6$ m/s²; $a(3)=6$ m/s².
• Bảng xét dấu: với $0\le t<1$, $v>0$, $a<0$: $|v|$ giảm. Với $1<t<3$, $v<0$, $a<0$ (khi $t<2$): $|v|$ tăng; với $2<t<3$, $v<0$, $a>0$: $|v|$ giảm.
• Kết luận: khi $v$ và $a$ cùng dấu thì tốc độ tăng; khi trái dấu thì tốc độ giảm. Gia tốc dương không luôn có nghĩa tốc độ tăng.

Củng cố cách tính $f''$ lần lượt, nhận biết nhận định đúng sai về đạo hàm cấp hai và chuyển động.

Nhóm cặp đôi làm các bài sau: (1) Nếu $f(x)=x^3$ thì $f''(x)$ bằng gì? A. $3x^2$; B. $6x$; C. $9x^4$. (2) Đơn vị gia tốc khi vị trí tính bằng mét, thời gian tính bằng giây là gì? A. m/s; B. m²/s; C. m/s². (3) Tính $f''(1)$ với $f(x)=2x^4-x^2$. (4) $s(t)=t^3-3t^2+2$, $t$ tính bằng giây, $s$ tính bằng mét. Tính gia tốc tại $t=2$ theo m/s². (5) Đúng hay sai: a) $f''=(f')'$; b) $f''=(f')^2$ theo định nghĩa; c) Vật đứng yên tức thời khi $v=0$; d) Khi $v<0$, $a>0$ thì tốc độ đang tăng.

• Đề (1): B. $6x$ (vì $f'=3x^2$, $f''=6x$).
• Đề (2): C. m/s² (đạo hàm vận tốc theo thời gian, thêm một lần chia giây).
• Đề (3): $f'=8x^3-2x$, $f''=24x^2-2$, $f''(1)=22$.
• Đề (4): $v=3t^2-6t$, $a=6t-6$, $a(2)=6$ m/s².
• Đề (5): a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai (vì $v<0$, $a>0$ trái dấu nên $|v|$ giảm).

Vận dụng đạo hàm cấp hai để mô tả chuyển động của một vật trên đường thẳng trong mô hình giả định và đưa ra nhận định có căn cứ.

Một vật chuyển động thẳng theo quy luật $s(t)=t^3-6t^2+9t$, $t\ge 0$ (mô hình giả định). HS trả lời: (1) Vật đứng yên tại những thời điểm nào? (2) Gia tốc tại $t=3$ s bằng bao nhiêu, có dương không? (3) Tại $t=0$, vật có tốc độ tăng hay giảm? Giải thích bằng dấu của $v$ và $a$ (lưu ý: $v(0)=9$, $a(0)=-12$ m/s²).

• (1) Vật đứng yên tại $t=1$ s và $t=3$ s.
• (2) $a(3)=6$ m/s² > 0.
• (3) Tại $t=0$: $v=9>0$, $a=-12<0$, trái dấu nên tốc độ đang giảm.
• Kết luận: đạo hàm cấp hai cho phép xét dấu gia tốc và so sánh với vận tốc để nhận định xu hướng tốc độ; mô hình này chỉ dùng để luyện tập toán học, không dùng đánh giá an toàn của phương tiện thật.