Giáo án Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm

HS nhớ lại ý nghĩa của đạo hàm và nhận ra rằng việc tính đạo hàm theo định nghĩa cho mỗi hàm số là tốn thời gian, từ đó cần các quy tắc chung.

GV đưa ra câu hỏi: Hãy dự đoán đạo hàm của $y=x^2$, $y=x^3$, $y=x^4$. Từ đó, nếu $y=x^n$ với $n$ nguyên dương thì đạo hàm là gì?
GV tiếp tục nêu tình huống: Làm sao tính nhanh đạo hàm của $y=x^3-2x+5$ hoặc $y=x\ln x$ mà không phải dùng định nghĩa mỗi lần?

• Dự đoán đúng: $(x^2)'=2x$, $(x^3)'=3x^2$, $(x^4)'=4x^3$; suy ra $(x^n)'=nx^{n-1}$ với $n$ nguyên dương.
• Nhận thức được cần có quy tắc tổng quát để tính đạo hàm của tổng, tích, thương và các hàm đặc biệt; mục tiêu của tiết học là nắm các quy tắc đó và điều kiện áp dụng.

HS nêu được và vận dụng được quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương; giải thích điều kiện $v\ne 0$ khi lấy đạo hàm của thương.

HS hoạt động nhóm 4 theo kĩ thuật khăn trải bàn. Mỗi HS nhận một phần của Phiếu học tập số 1: nhóm 1 xét tổng và hiệu, nhóm 2 xét tích, nhóm 3 xét thương, nhóm 4 xét đạo hàm hằng số và hàm lũy thừa. Mỗi nhóm kiểm tra quy tắc bằng ví dụ cụ thể rồi ghi kết quả vào ô trung tâm khăn.
Câu hỏi GV đặt ra: Vì sao đạo hàm của tích không bằng tích các đạo hàm? Vì sao mẫu $v$ phải khác 0 khi dùng công thức thương?

Kết quả HS ghi vào khăn trải bàn và kết luận:

• $(c)'=0$ với $c$ là hằng số; $(x^n)'=nx^{n-1}$ với $n$ nguyên dương.
• $(u\pm v)'=u'\pm v'$.
• $(uv)'=u'v+uv'$. Ví dụ kiểm tra: $u=x$, $v=x^2$ thì $(x^3)'=1\cdot x^2+x\cdot 2x=3x^2$, đúng với kết quả đã biết.
• $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ với $v\ne 0$. Giải thích: mẫu $v^2$ không được bằng 0, nên tại điểm $v=0$ công thức không cho đạo hàm hữu hạn.
  Ví dụ áp dụng: $y=x^3-2x+5$ có $y'=3x^2-2$.

HS nêu được quy tắc đạo hàm hàm hợp và công thức $(u^\alpha)'$; vận dụng được quy tắc này và giải thích điều kiện $u>0$ với số mũ thực.

GV dẫn dắt từ ví dụ $y=(2x+1)^3$: đặt $u=2x+1$ thì $y=u^3$. HS thảo luận theo cặp: Tính $y'$ bằng cách khai triển đa thức rồi so sánh với cách dùng quy tắc hàm hợp.
Câu hỏi GV đặt ra: Vì sao phải nhân thêm $u'(x)$? Với số mũ thực $\alpha$ bất kì, miền $u>0$ có vai trò gì?

• Quy tắc hàm hợp: $(f(u(x)))'=f'(u(x))\,u'(x)$.
• Ví dụ: $y=(2x+1)^3$ có $y'=3(2x+1)^2\cdot 2=6(2x+1)^2$. Khai triển: $y=8x^3+12x^2+6x+1$, $y'=24x^2+24x+6=6(4x^2+4x+1)=6(2x+1)^2$, khớp kết quả.
• Với số mũ thực $\alpha$: $(u^\alpha)'=\alpha u^{\alpha-1}u'$ dùng trên miền $u>0$ hoặc miền rộng hơn khi số mũ cho phép.

HS nêu được công thức đạo hàm của các hàm lượng giác, mũ và logarit; vận dụng được với hàm hợp và giải thích điều kiện xác định.

HS làm việc theo nhóm trạm (3 trạm), mỗi trạm một nhóm hàm: trạm 1 hàm lượng giác, trạm 2 hàm mũ, trạm 3 hàm logarit. Mỗi trạm có một ví dụ mẫu và một câu hỏi kiểm tra. Ví dụ tham khảo: $y=x\ln x$ với $x>0$, lập luận dùng quy tắc tích để có $y'=\ln x+1$.
Câu hỏi GV đặt ra: Vì sao $(\tan u)'=\dfrac{u'}{\cos^2 u}$ cần $\cos u\ne 0$? Vì sao $(\ln u)'$ chỉ xét khi $u>0$?

• $(\sin u)'=u'\cos u$; $(\cos u)'=-u'\sin u$; $(\tan u)'=\dfrac{u'}{\cos^2 u}$ với $\cos u\ne 0$; $(\cot u)'=-\dfrac{u'}{\sin^2 u}$ với $\sin u\ne 0$.
• $(e^u)'=u'e^u$; $(a^u)'=u'a^u\ln a$ với $a>0$, $a\ne 1$. Ví dụ: $(e^{3x})'=3e^{3x}$; $(2^x)'=2^x\ln 2$.
• $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$ với $u>0$; $(\log_a u)'=\dfrac{u'}{u\ln a}$. Ví dụ: $(\ln(x^2+1))'=\dfrac{2x}{x^2+1}$.
• Ví dụ $y=x\ln x$ ($x>0$): $y'=\ln x+x\cdot\dfrac{1}{x}=\ln x+1$.

HS vận dụng linh hoạt các quy tắc để tính đạo hàm, kiểm tra đúng sai theo điều kiện và trình bày lập luận có kiểm tra miền xác định.

HS làm Phiếu học tập số 2 theo cặp đôi, sau đó chấm chéo. Phần cuối, HS dùng học liệu NeoEdu để làm thêm một số câu trắc nghiệm tương tác.
Bài 1 đến 5 và 8 là câu hỏi nhanh; bài 6 và 7 là bài tự luận có kiểm tra miền xác định.

Đề và đáp án:

• Bài 1: $y=x^3-2x+5$, đạo hàm là $3x^2-2$ (đáp án B).
• Bài 2: $y=\sin(2x)$, đạo hàm là $2\cos(2x)$ (đáp án C).
• Bài 3: $f(x)=x^3+x$, $f'(2)=13$.
• Bài 4: $f(x)=\ln x$, $f'(2)=\dfrac{1}{2}=0{,}5$ với $x>0$.
• Bài 5: a) Đúng; b) Sai, vì $(\dfrac{u}{v})'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, không phải $\dfrac{u'}{v'}$; c) Đúng; d) Sai, vì $(\cos x)'=-\sin x$.
• Bài 6: $y=\dfrac{x^2+1}{x-1}$ có miền $x\ne 1$; $y'=\dfrac{2x(x-1)-(x^2+1)}{(x-1)^2}=\dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$ với $x\ne 1$. Chấp nhận mọi cách biến đổi tương đương đúng điều kiện.
• Bài 7: $y=\sqrt{3x+1}$ có miền $x\ge -\dfrac{1}{3}$; trên khoảng $x>-\dfrac{1}{3}$ thì $y'=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+1}}$; tại $x=1$ thì $y'=\dfrac{3}{4}$. Tại $x=-\dfrac{1}{3}$ mẫu bằng 0 nên công thức không cho đạo hàm hữu hạn.
• Bài 8: $y=2^x$ có $y'=2^x\ln 2$ (đáp án C).

HS vận dụng quy tắc tính đạo hàm để giải bài toán thực tế về tốc độ thay đổi của một đại lượng, qua đó phát triển năng lực mô hình hoá toán học.

Một vật chuyển động có quãng đường $s(t)=2t^2+3t$ (mét), với $t$ là thời gian (giây), $t\ge 0$. Trong bài này, đạo hàm $s'(t)$ được dùng để mô tả tốc độ thay đổi của quãng đường theo thời gian.
Yêu cầu nhóm: a) Tính $s'(t)$. b) Tính $s'(4)$ và nêu ý nghĩa của kết quả. c) Tìm thời điểm $t\ge 0$ mà $s'(t)=15$. d) Nêu một tình huống thực tế khác có thể dùng đạo hàm để mô tả tốc độ thay đổi.

• a) $s'(t)=4t+3$ với $t\ge 0$.
• b) $s'(4)=4\cdot 4+3=19$; ý nghĩa: tại thời điểm 4 giây, quãng đường đang thay đổi với tốc độ 19 mét trên giây.
• c) $4t+3=15$ suy ra $t=3$ (giây).
• d) Ví dụ: tốc độ tăng trưởng của một đại lượng như số lượng sản phẩm bán ra theo thời gian, lượng nước chảy vào bể theo thời gian.