Giáo án Bài 31. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Xác định vấn đề: từ vận tốc trung bình trên khoảng rất nhỏ, HS nhận ra cần xét giới hạn để tìm vận tốc tức thời tại một thời điểm.

Một vật chuyển động có phương trình $s(t)=t^2$ (đo bằng mét), $t$ đo bằng giây. HS làm việc cá nhân rồi cặp đôi:

• Tính vận tốc trung bình $\dfrac{s(2+h)-s(2)}{h}$ với $h=0{,}1$; $h=0{,}01$; $h=0{,}001$.
• Nhận xét giá trị khi $h$ càng nhỏ, càng gần đến $0$.
• Nêu câu hỏi: “Vận tốc của vật tại đúng thời điểm $t=2$ là bao nhiêu?”

Bảng kết quả:

• Với $h=0{,}1$: $\dfrac{s(2{,}1)-s(2)}{0{,}1}=\dfrac{4{,}41-4}{0{,}1}=4{,}1$ m/s.
• Với $h=0{,}01$: $4{,}01$ m/s.
• Với $h=0{,}001$: $4{,}001$ m/s.
  Nhận xét: khi $h$ tiến dần về $0$ thì vận tốc trung bình tiến dần về $4$ m/s. Vận tốc tức thời tại $t=2$ là 4 m/s. Đây là cơ sở để hình thành định nghĩa đạo hàm bằng giới hạn.

Hình thành định nghĩa $f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ và cách tính đạo hàm bằng định nghĩa cho hàm $f(x)=x^2$ và $f(x)=3x+2$.

HS hoạt động theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1, thực hiện:

• Viết thương sai phân $\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ với $h\neq 0$.
• Tính đạo hàm của $f(x)=x^2$ tại $x=a$ bất kì, sau đó tại $x=3$.
• Tính đạo hàm của $f(x)=3x+2$ tại $x=a$ bất kì.
• Giải thích vì sao không được thay $h=0$ trực tiếp vào thương.
  Câu hỏi GV đặt ra: “Vì sao phải giữ điều kiện $h\neq 0$ khi rút gọn thương? Sau khi rút gọn, điều gì xảy ra với $h$?”

Kết quả trên Phiếu học tập số 1:

• Thương sai phân: $\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$, với $h\neq 0$.
• Với $f(x)=x^2$: $\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}=\dfrac{2ah+h^2}{h}=2a+h$ (với $h\neq 0$). Khi $h\to 0$ thì $2a+h\to 2a$, nên $f'(a)=2a$. Tại $x=3$: $f'(3)=6$.
• Với $f(x)=3x+2$: $\dfrac{3(a+h)+2-(3a+2)}{h}=3$ (với $h\neq 0$), nên $f'(a)=3$ với mọi $a$.
• Lí do không thay $h=0$ trực tiếp: lúc đó mẫu bằng $0$ nên thương không xác định; ta phải rút gọn thương trước khi lấy giới hạn.
  Kiến thức HS rút ra: đạo hàm tại $x_0$ là giới hạn hữu hạn của thương sai phân, khi giới hạn đó tồn tại.

Giải thích được đạo hàm là hệ số góc tiếp tuyến và là vận tốc tức thời; viết được phương trình tiếp tuyến tại một điểm.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 1 (phần ý nghĩa) và xem đồ thị $y=x^2$ trên máy chiếu. Nhiệm vụ:

• Nêu ý nghĩa của $f'(x_0)$ với đồ thị hàm số tại điểm $(x_0,f(x_0))$.
• Viết phương trình tiếp tuyến $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ của $y=x^2$ tại $x_0=2$.
• Với $s(t)$ là vị trí, giải thích vì sao $v=s'(t)$ và nêu đơn vị của $v$ khi $s$ đo bằng km, $t$ đo bằng giờ.
  Câu hỏi GV đặt ra: “Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0$ chính là giá trị nào?”

Kết quả:

• $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại điểm $(x_0,f(x_0))$. Đáp án trắc nghiệm: B. $f'(x_0)$ (đạo hàm là giới hạn hệ số góc của cát tuyến).
• Với $y=x^2$ tại $x_0=2$: $f(2)=4$, $f'(2)=4$, phương trình tiếp tuyến $y-4=4(x-2)$, tức $y=4x-4$. Tiếp tuyến đi qua điểm $(2;4)$.
• Vận tốc tức thời $v(t)=s'(t)$. Nếu $s$ tính bằng km, $t$ tính bằng giờ thì $v$ có đơn vị km/giờ.
  Kiến thức HS rút ra: đạo hàm là hệ số góc tiếp tuyến; đạo hàm của vị trí theo thời gian là vận tốc tức thời.

Giải thích được “có đạo hàm $\Rightarrow$ liên tục”, nhưng liên tục chưa đủ để có đạo hàm; nhận biết hàm $y=|x|$ không có đạo hàm tại $0$.

HS làm việc nhóm 4 với Phiếu học tập số 2:

• Chứng minh nếu $f$ có đạo hàm tại $x_0$ thì $f(x_0+h)-f(x_0)=h\cdot\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ tiến về $0$ khi $h\to 0$.
• Tính $\lim_{h\to 0^+}\dfrac{|0+h|-|0|}{h}$ và $\lim_{h\to 0^-}\dfrac{|0+h|-|0|}{h}$.
• Kết luận hàm $y=|x|$ có đạo hàm tại $0$ hay không.
  Câu hỏi GV đặt ra: “Hai giới hạn một bên có bằng nhau không? Điều đó nói lên điều gì về đạo hàm tại $0$?”

Kết quả trên Phiếu học tập số 2:

• Nếu có đạo hàm tại $x_0$ thì $f(x_0+h)-f(x_0)=h\cdot\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\to 0\cdot f'(x_0)=0$ khi $h\to 0$, tức là $f$ liên tục tại $x_0$.
• Với $h>0$: $\dfrac{|h|}{h}=1$, giới hạn bằng $1$. Với $h<0$: $\dfrac{|h|}{h}=-1$, giới hạn bằng $-1$.
• Hai giới hạn một bên khác nhau nên $y=|x|$ không có đạo hàm tại $0$, dù hàm liên tục tại $0$.
  Kiến thức HS rút ra: có đạo hàm tại một điểm thì liên tục tại điểm đó; chiều ngược lại không đúng.

Vận dụng định nghĩa, ý nghĩa hình học, ý nghĩa vật lí và điều kiện liên tục để trả lời nhanh các câu hỏi trắc nghiệm và đúng sai.

HS làm việc cá nhân rồi kiểm tra chéo theo cặp với các bài tập:

1. Hệ số góc tiếp tuyến tại hoành độ $x_0$ là gì? A. $x_0$; B. $f'(x_0)$; C. $f(x_0)$.
2. Mệnh đề nào đúng? A. Liên tục tại $a$ thì luôn có đạo hàm tại $a$; B. Có giá trị $f(a)$ thì đủ để có đạo hàm tại $a$; C. Có đạo hàm tại $a$ thì liên tục tại $a$.
3. Từ định nghĩa, tính đạo hàm của $f(x)=x^2$ tại $x=3$.
4. Vị trí $s(t)=t^2$ (m), $t$ (giây). Vận tốc tại $t=4$ bằng bao nhiêu m/s?
5. Đúng hay sai: a) Trong thương sai phân cần $h\neq 0$; b) $f'(x_0)$ là tung độ tiếp điểm; c) Hàm $|x|$ không có đạo hàm tại $0$; d) Đơn vị đạo hàm là đơn vị hàm chia đơn vị biến.
6. Với $s(t)$ đo km, $t$ đo giờ, $s'(t)$ có đơn vị gì? A. km²; B. giờ/km; C. km/giờ.
   Câu hỏi GV đặt ra: “Vì sao câu 2 chọn C chứ không chọn C là chiều đảo?”

Đáp án và lời giải ngắn:

1. B. $f'(x_0)$ là hệ số góc tiếp tuyến.
2. C. Có đạo hàm tại $a$ thì liên tục tại $a$; chiều ngược lại sai với $|x|$ tại $0$.
3. $\dfrac{(3+h)^2-9}{h}=6+h\to 6$. Đáp số: $f'(3)=6$.
4. $s'(4)=2\cdot 4=8$. Đáp số: 8 m/s.
5. a) Đúng; b) Sai (tung độ tiếp điểm là $f(x_0)$, còn $f'(x_0)$ là hệ số góc); c) Đúng; d) Đúng.
6. C. km/giờ, vì đơn vị của thương là đơn vị quãng đường chia đơn vị thời gian.

Vận dụng định nghĩa đạo hàm để tính vận tốc tức thời của một chuyển động cụ thể và kiểm tra tính hợp lí của kết quả.

HS làm nhóm đôi, giải bài toán: Một vật chuyển động có quãng đường $s(t)=2t^2$ (m), $t$ (giây). Tính vận tốc tức thời của vật tại thời điểm $t=3$ s bằng định nghĩa. Sau đó so sánh với kết quả khi $t=3{,}001$ và $t=2{,}999$ để kiểm tra tính hợp lí. Câu hỏi GV đặt ra: “Vật đang nhanh dần hay chậm dần khi $t$ tăng? Vì sao có thể kiểm tra bằng giá trị gần $3$?”

Lời giải: $\dfrac{2(3+h)^2-2\cdot 3^2}{h}=\dfrac{12h+2h^2}{h}=12+2h$ với $h\neq 0$. Khi $h\to 0$ thì $v(3)=12$. Đáp số: 12 m/s.
Kiểm tra: với $h=0{,}001$ thương là $12{,}002$; với $h=-0{,}001$ thương là $11{,}998$, đều gần $12$ m/s, phù hợp với kết quả. Kiến thức HS rút ra: vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường theo thời gian, tính bằng giới hạn thương sai phân.