Giáo án Bài tập cuối chương VIII

Nhắc lại ý nghĩa các biến cố hợp, giao, đối và phát hiện hiểu nhầm phổ biến giữa xung khắc và độc lập; từ đó xác định nhiệm vụ của bài ôn tập.

HS xét ba nhận định sau và cho biết đúng hay sai, giải thích ngắn gọn:
(a) Với hai biến cố bất kỳ, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
(b) Hai biến cố xung khắc thì độc lập.
(c) $P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-P(A)-P(B)$ với mọi biến cố $A$, $B$.

Đáp án dự kiến:

• (a) Sai: Chỉ đúng khi $P(A\cap B)=0$ (xung khắc). Tổng quát $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.
• (b) Sai: Xung khắc nghĩa là $A\cap B=\varnothing$; nếu $P(A)>0$ và $P(B)>0$ thì $P(A)P(B)>0=P(A\cap B)$ nên không độc lập.
• (c) Sai: $\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}$, do đó $P(\overline{A}\cap\overline{B})=1-P(A\cup B)=1-P(A)-P(B)+P(A\cap B)$.
  Kết luận rút ra: Cần kiểm tra điều kiện trước khi áp dụng công thức.

Hệ thống hoá các khái niệm hợp, giao, đối và các công thức cộng, nhân, biến cố đối; biết khi nào dùng công thức nào.

Nhóm 4 HS hoàn thành khăn trải bàn theo Phiếu học tập số 1: mỗi thành viên ghi vào một ô (hợp, giao, đối, cộng xác suất, nhân xác suất, xung khắc, độc lập, biến cố đối) và vẽ thêm ví dụ minh hoạ bằng sơ đồ Ven. Sau đó nhóm thống nhất nội dung ở ô trung tâm.

Sơ đồ hệ thống kiến thức trên khăn trải bàn gồm:

• Hợp $A\cup B$: ít nhất một trong hai biến cố xảy ra.
• Giao $A\cap B$: cả hai biến cố cùng xảy ra.
• Đối $\overline{A}$: $A$ không xảy ra; $P(\overline{A})=1-P(A)$.
• Công thức cộng: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$; nếu xung khắc thì $P(A\cap B)=0$.
• Công thức nhân: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ khi và chỉ khi $A$, $B$ độc lập (điều kiện cần kiểm tra).
• Xác suất “ít nhất một”: $P=1-P(\text{không có biến cố nào})$.
• Kiểm tra: mọi xác suất thuộc $[0;1]$.

Giải thích được vì sao hai biến cố xung khắc không nhất thiết độc lập và ngược lại; biết kiểm tra độc lập bằng công thức.

HS làm việc theo cặp đôi, xét hai tình huống:
(1) Tung một xúc xắc cân đối; $A=\{1;2\}$, $B=\{2;3;4\}$. Hỏi $A$, $B$ có xung khắc không? Có độc lập không?
(2) Tung hai đồng xu cân đối; $A$: “lần 1 ngửa”, $B$: “lần 2 ngửa”. Hỏi $A$, $B$ có xung khắc không? Có độc lập không?
Sau đó HS giải thích tại sao xung khắc và độc lập là hai khái niệm khác nhau.

Đáp án dự kiến:

• Tình huống (1): $A\cap B=\{2\}\ne\varnothing$ nên không xung khắc. $P(A)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$, $P(B)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$, $P(A\cap B)=\dfrac{1}{6}=P(A)P(B)$ nên độc lập.
• Tình huống (2): $A\cap B$ là “cả hai lần đều ngửa” có xác suất $\dfrac{1}{4}>0$ nên không xung khắc; $P(A)=P(B)=\dfrac{1}{2}$, $P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}=P(A)P(B)$ nên độc lập.
• Kết luận: Hai biến cố không xung khắc vẫn có thể độc lập; hai biến cố xung khắc (có $P(A),P(B)>0$) thì không độc lập.

Vận dụng đúng công thức cộng, nhân, biến cố đối và kiểm tra điều kiện độc lập, xung khắc trong các bài tập ngắn.

GV đọc lần lượt các bài 1 đến 8 (đề như trong sách). HS giơ thẻ A, B, C hoặc viết đáp án ra bảng con, sau đó giải thích ngắn gọn cách làm. Với bài 5 đến 8, HS tính trên giấy nháp, bài 8 yêu cầu ghi kết quả dạng phân số hoặc số thập phân làm tròn sáu chữ số.

Đáp án và lập luận:

1. Đáp án B ($0{,}5$): xung khắc nên $P(A\cup B)=0{,}2+0{,}3=0{,}5$.
2. Đáp án C ($0{,}06$): độc lập nên $P(A\cap B)=0{,}2\times0{,}3=0{,}06$.
3. Đáp án A $\overline{A\cup B}$: đối của “ít nhất một”.
4. Đáp án B: Hai biến cố độc lập có thể cùng xảy ra (ví dụ hai lần tung đồng xu đều ngửa).
5. $P(A\cup B)=0{,}4+0{,}5-0{,}1=0{,}8$.
6. $P=0{,}8^2=0{,}64$.
7. $P=1-0{,}3^2=1-0{,}09=0{,}91$.
8. Giao $A\cap B=\{2\}$, $P=\dfrac{1}{6}\approx0{,}166667$.

Vận dụng biến cố hợp, giao, đối và kiểm tra tính độc lập để giải các bài toán có dữ liệu thực tế (bài 9 và bài 10).

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 2 (bài 9 và bài 10). Sau 8 phút, mỗi nhóm kiểm tra chéo bài của nhóm khác bằng cách đối chiếu từng bước. Có thể dùng học liệu NeoEdu để kiểm tra đáp án nhanh.

Đáp án chi tiết:
Bài 9: Gọi $A$ là “học Anh”, $B$ là “học Pháp”, $P(A\cup B)=\dfrac{30+20-12}{50}=\dfrac{38}{50}=0{,}76$.

• Không học ngôn ngữ nào: $P(\overline{A\cup B})=1-0{,}76=\dfrac{12}{50}=0{,}24$.
• Đúng một ngôn ngữ: $\dfrac{38-12}{50}=\dfrac{26}{50}=0{,}52$.
  Bài 10: $P(A)P(B)=0{,}5\times0{,}6=0{,}3=P(A\cap B)$ nên $A$, $B$ độc lập.
• Chỉ $A$ xảy ra: $P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=0{,}5-0{,}3=0{,}2$; cũng bằng $P(A)P(\overline{B})=0{,}5\times0{,}4=0{,}2$.

Mô hình hoá tình huống thực tế bằng hai biến cố độc lập và tính các xác suất hợp, giao, đối; trình bày kết quả bằng lời văn toán học.

Bạn An và bạn Bình làm hai bài kiểm tra độc lập với nhau. Xác suất An đạt yêu cầu là $0{,}8$; xác suất Bình đạt là $0{,}7$. Tính:
a) Xác suất ít nhất một bạn đạt yêu cầu.
b) Xác suất đúng một bạn đạt yêu cầu.
c) Xác suất cả hai bạn đều không đạt.
GV khuyến khích HS giải bằng hai cách (trực tiếp và qua biến cố đối) và kiểm tra kết quả trong $[0;1]$.

Đáp án:
a) $P=1-P(\overline{A})P(\overline{B})=1-0{,}2\times0{,}3=1-0{,}06=0{,}94$.
b) $P=0{,}8\times0{,}3+0{,}2\times0{,}7=0{,}24+0{,}14=0{,}38$.
c) $P=0{,}2\times0{,}3=0{,}06$.
Kiểm tra: $0{,}94+0{,}06=1$ đúng; $0{,}38$ hợp lí vì nằm giữa $0$ và $1$.