Giáo án Bài 30. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Tạo tình huống mở đầu để HS nhận ra xác suất của hai sự kiện không ảnh hưởng nhau có thể tính bằng tích các xác suất riêng lẻ, từ đó xác định nhiệm vụ học tập của bài.

GV tung đồng xu một lần và tung xúc xắc một lần. HS được yêu cầu: (1) nêu xác suất đồng xu xuất hiện mặt ngửa; (2) nêu xác suất xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm; (3) dự đoán xác suất cả hai sự kiện cùng xảy ra và giải thích lí do. Câu hỏi GV đặt ra: “Kết quả tung xúc xắc có phụ thuộc vào kết quả tung đồng xu không? Vì sao?”

HS nêu được: xác suất đồng xu ngửa là $\dfrac{1}{2}$; xác suất xúc xắc ra 6 chấm là $\dfrac{1}{6}$; dự đoán xác suất cả hai cùng xảy ra là $\dfrac{1}{12}$ vì hai lần tung không ảnh hưởng nhau. HS rút ra nhiệm vụ học tập: khi nào được nhân hai xác suất và công thức đó đúng với điều kiện nào.

HS nêu được định nghĩa, công thức $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ cho hai biến cố độc lập, và giải thích được tính chất biến cố đối đi kèm.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1. Nhiệm vụ: (a) Đọc phần kiến thức, nêu lại định nghĩa: A và B độc lập khi việc xảy ra hay không xảy ra của A không làm thay đổi xác suất của B. (b) Với $P(A)=0{,}3$, $P(B)=0{,}4$ và A, B độc lập, tính $P(A\cap B)$. (c) Giải thích vì sao từ A, B độc lập suy ra A và $\overline{B}$ cũng độc lập; từ đó tính $P(A\cap\overline{B})$ khi biết $P(A)=0{,}3$, $P(B)=0{,}4$. (d) Nhận xét: hai biến cố có cùng xác suất có chắc chắn độc lập không?

Kiến thức HS rút ra: Nếu A, B độc lập thì $P(A\cap B)=P(A)P(B)$. Với (b): $P(A\cap B)=0{,}3\times 0{,}4=0{,}12$. Với (c): $P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=0{,}3-0{,}12=0{,}18=P(A)P(\overline{B})$ với $P(\overline{B})=0{,}6$, nên A và $\overline{B}$ độc lập; tương tự có thể suy ra cho hai biến cố đối của A và B. Với (d): không; cùng xác suất không đủ để kết luận độc lập, cần kiểm tra điều kiện $P(A\cap B)=P(A)P(B)$.

HS vận dụng được công thức nhân cho nhiều phép thử độc lập và tính xác suất ít nhất một thành công bằng cách dùng biến cố đối.

GV tổ chức trò chơi “Hệ báo động” theo cặp đôi. Đề: Hai hệ báo động hoạt động độc lập, xác suất mỗi hệ không báo khi có sự cố là 0,1 và 0,2. Nhiệm vụ: (a) Tính xác suất cả hai hệ đều không báo. (b) Tính xác suất có ít nhất một hệ báo, bằng cách lập luận qua biến cố đối. (c) So sánh với cách cộng trực tiếp các trường hợp, nêu ưu điểm của biến cố đối. Đối với phần (c), GV yêu cầu HS nhận xét khi nào nên dùng biến cố đối.

Kết quả: (a) $0{,}1\times 0{,}2=0{,}02$. (b) Biến cố đối của “ít nhất một hệ báo” là “cả hai hệ đều không báo”, nên $P=1-0{,}1\times 0{,}2=0{,}98$. (c) Kiến thức rút ra: với “ít nhất một thành công” trong nhiều lần độc lập, dùng $1-$ tích xác suất thất bại là ngắn gọn; dùng cộng trực tiếp phải liệt kê nhiều trường hợp hơn.

HS tính được xác suất đúng một trong hai lần thử bằng cách cộng hai trường hợp xung khắc và nhận biết tình huống không được dùng công thức nhân trực tiếp.

GV dùng hoạt động mảnh ghép theo nhóm 3. Mỗi nhóm nhận một đề: Đề 1: hai lần thử độc lập có xác suất thành công 0,7 và 0,5, tính xác suất đúng một lần thành công. Đề 2: hộp có 3 bi đỏ và 2 bi xanh, lấy ngẫu nhiên 2 bi không hoàn lại, tính xác suất cả hai bi đỏ. GV hỏi: “Với đề 2, có thể dùng $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2$ không? Vì sao?”

Đề 1: hai trường hợp xung khắc: lần 1 thành, lần 2 bại: $0{,}7\times 0{,}5=0{,}35$; lần 1 bại, lần 2 thành: $0{,}3\times 0{,}5=0{,}15$; tổng $0{,}35+0{,}15=0{,}5$. Đề 2: không dùng $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2$ vì lấy không hoàn lại làm lần sau phụ thuộc lần đầu. Đếm cặp đồng khả năng: $C_5^2=10$ cặp, $C_3^2=3$ cặp đỏ, nên $P=\dfrac{3}{10}$ (hoặc $\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{10}$). Kiến thức rút ra: đúng một lần dùng tổng hai tích xung khắc; không hoàn lại không dùng tích xác suất ban đầu như độc lập.

HS củng cố công thức nhân, công thức ít nhất một thành công và nhận biết khẳng định đúng sai về điều kiện độc lập.

HS làm các bài tập 1, 2, 3, 4, 5 và 8 trong bài học. Đề và đáp án: (1) A, B độc lập, $P(A)=0{,}3$, $P(B)=0{,}4$; $P(A\cap B)$ là: A. 0,1; B. 0,12; C. 0,7. (2) Hai lần bắn độc lập, xác suất trượt mỗi lần 0,2; xác suất trượt cả hai: A. 0,4; B. 0,8; C. 0,04. (3) Hai thiết bị độc lập có xác suất hoạt động 0,9 và 0,8; xác suất cả hai hoạt động. (4) Hai lần thử độc lập, mỗi lần thành công 0,6; xác suất ít nhất một thành công. (5) Đánh giá: a) Phải có giả thiết hoặc chứng minh độc lập; b) Với A, B độc lập thì $P(A\cup B)=P(A)P(B)$; c) Với hai lần độc lập, xác suất cả hai thất bại là tích xác suất thất bại; d) Hai biến cố có cùng xác suất thì chắc chắn độc lập. (8) Ba đồng xu cân đối độc lập đều ngửa: A. 1/3; B. 3/2; C. 1/8.

Đáp án: (1) B, $0{,}3\times 0{,}4=0{,}12$. (2) C, $0{,}2^2=0{,}04$. (3) $0{,}9\times 0{,}8=0{,}72$. (4) $1-0{,}4^2=0{,}84$. (5) a) Đúng; b) Sai, vì $P(A\cup B)$ không bằng tích; c) Đúng; d) Sai, cùng xác suất không đủ để kết luận độc lập. (8) C, $\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{8}$.

HS vận dụng linh hoạt công thức nhân, công thức đúng một lần và cách đếm trực tiếp để giải các bài toán có hoặc không có giả thiết độc lập.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 2, gồm bài 6 và bài 7 trong bài học. Bài 6: hai lần thử độc lập có xác suất thành công 0,7 và 0,5, tính xác suất đúng một lần thành công. Bài 7: hộp có 3 bi đỏ, 2 bi xanh; lấy ngẫu nhiên 2 bi không hoàn lại; một bạn tính xác suất cả hai đỏ là $\left(\dfrac{3}{5}\right)^2$; hãy sửa bằng cách đếm cặp đồng khả năng. Chấp nhận mọi cách giải đúng và biểu thức tương đương đúng điều kiện.

Bài 6: $0{,}7\times 0{,}5+0{,}3\times 0{,}5=0{,}5$. Bài 7: số cặp đồng khả năng $C_5^2=10$; số cặp hai bi đỏ $C_3^2=3$; xác suất $\dfrac{3}{10}=0{,}3$, khác $\dfrac{9}{25}$ của bạn; lí do: lấy không hoàn lại làm kết quả lần sau phụ thuộc lần đầu nên không được nhân như độc lập.

HS mô hình hoá tình huống thực tế bằng hai biến cố độc lập và sử dụng công thức nhân cùng biến cố đối để đưa ra kết luận có căn cứ.

Tình huống: Một trạm bơm có hai máy bơm A và B hoạt động độc lập. Xác suất máy A hoạt động tốt khi có yêu cầu là 0,95; xác suất máy B hoạt động tốt là 0,9. Nhiệm vụ: (a) Tính xác suất cả hai máy cùng hoạt động tốt. (b) Tính xác suất ít nhất một máy hoạt động tốt. (c) Nêu một nhận xét về tính hợp lí của giả thiết độc lập trong thực tế (ví dụ hai máy cùng dùng chung một nguồn điện).

(a) $0{,}95\times 0{,}9=0{,}855$. (b) $1-0{,}05\times 0{,}1=0{,}995$. (c) HS nhận ra: nếu hai máy dùng chung nguồn điện thì sự cố có thể liên quan, khi đó giả thiết độc lập không còn đúng và không được dùng công thức nhân trực tiếp.