Giáo án Bài 29. Công thức cộng xác suất

Giúp HS nhận ra việc cộng trực tiếp $P(A)+P(B)$ có thể đếm thừa phần giao, từ đó xác định vấn đề cần học.

Một lớp có 36 HS. Có 20 HS tham gia câu lạc bộ Bóng đá (biến cố A), 15 HS tham gia câu lạc bộ Cờ vua (biến cố B) và 6 HS tham gia cả hai câu lạc bộ. Chọn ngẫu nhiên một HS trong lớp.
Nhiệm vụ: (1) Có bao nhiêu HS tham gia ít nhất một câu lạc bộ? (2) Nếu lấy $20+15$ thì được bao nhiêu? Kết quả đó đúng hay sai? Vì sao?

Số HS tham gia ít nhất một câu lạc bộ là $20+15-6=29$ HS.
Nếu lấy $20+15=35$ thì sai, vì 6 HS tham gia cả hai câu lạc bộ đã được đếm hai lần.
Kết luận sơ bộ: khi cộng hai nhóm có phần chung, phải trừ phần chung một lần. Đây là ý tưởng của công thức cộng xác suất.

HS phát biểu và giải thích được công thức $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ bằng cách đếm trên không gian mẫu đồng khả năng và qua sơ đồ Ven.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 1 để tìm hiểu công thức cộng cho hai biến cố bất kì.
Ví dụ: Gieo một xúc xắc cân đối. Đặt $A=\{1;2;3\}$, $B=\{3;4\}$. Tính $P(A\cup B)$ theo hai cách: (a) đếm trực tiếp các kết quả thuộc $A\cup B$; (b) dùng công thức cộng.
Nhiệm vụ: Điền các giá trị $P(A)$, $P(B)$, $P(A\cap B)$ vào bảng rồi rút ra công thức tổng quát.

Không gian mẫu gồm 6 kết quả đồng khả năng: $\Omega=\{1;2;3;4;5;6\}$.
(a) $A\cup B=\{1;2;3;4\}$ nên $P(A\cup B)=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.
(b) $P(A)=\dfrac{3}{6}$, $P(B)=\dfrac{2}{6}$, $A\cap B=\{3\}$ nên $P(A\cap B)=\dfrac{1}{6}$. Khi đó $P(A\cup B)=\dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$. Hai cách cho cùng kết quả.
Kiến thức HS rút ra: Với hai biến cố bất kì, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$. Phần giao được cộng hai lần nên phải trừ một lần.

HS nêu được điều kiện để công thức cộng rút gọn thành $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ và công thức $P(\overline A)=1-P(A)$; biết kiểm tra điều kiện trước khi áp dụng.

GV tổ chức thảo luận lớp với 3 câu hỏi:
(1) Khi nào $P(A\cap B)=0$? Khi đó công thức cộng có dạng gì?
(2) Biến cố đối $\overline A$ là gì? Vì $A$ và $\overline A$ tạo thành toàn bộ không gian mẫu, hãy tính $P(A\cup\overline A)$ và suy ra $P(\overline A)$.
(3) Nếu đề bài cho hai biến cố xung khắc, có thể cộng luôn xác suất không? Vì sao phải kiểm tra điều kiện?

(1) Nếu A, B xung khắc thì $A\cap B=\varnothing$, $P(A\cap B)=0$ nên $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
(2) $A\cup\overline A=\Omega$ và $A\cap\overline A=\varnothing$ nên $1=P(A)+P(\overline A)$, suy ra $P(\overline A)=1-P(A)$.
(3) Không được cộng luôn nếu chưa biết $P(A\cap B)=0$. Ví dụ: nếu $P(A)=0,5$, $P(B)=0,4$, $P(A\cap B)=0,2$ thì không thể cộng trực tiếp để có $0,9$; đúng phải là $0,7$.
Kiến thức HS rút ra: Chỉ cộng $P(A)+P(B)$ khi A, B xung khắc; luôn kiểm tra điều kiện trước.

HS vận dụng công thức cộng và công thức biến cố đối để tính xác suất, đồng thời kiểm tra tính hợp lí của dữ kiện.

Làm việc theo cặp đôi các bài sau (đề và đáp án ghi trong phần sản phẩm):
Bài 1: $P(A)=0,5$, $P(B)=0,4$, $P(A\cap B)=0,2$. Tính $P(A\cup B)$.
Bài 2: $P(A\cup B)=0,9$, $P(A)=0,6$, $P(B)=0,5$. Tính $P(A\cap B)$.
Bài 3: Một biến cố có xác suất $0,35$. Tính xác suất biến cố đối.
Bài 4: Cho $P(A)=0,6$, $P(B)=0,5$, $P(A\cap B)=0,3$. Xét tính đúng sai: a) $P(A\cup B)=0,8$; b) A, B xung khắc; c) xác suất cả A và B đều không xảy ra bằng $0,2$; d) xác suất đúng một trong A, B xảy ra bằng $0,5$.
Bài 5: Một bạn cho $P(A)=0,8$, $P(B)=0,7$ và nói A, B xung khắc. Chứng minh dữ kiện không nhất quán.

Bài 1: $P(A\cup B)=0,5+0,4-0,2=\mathbf{0,7}$.
Bài 2: $P(A\cap B)=0,6+0,5-0,9=\mathbf{0,2}$.
Bài 3: $P(\overline A)=1-0,35=\mathbf{0,65}$.
Bài 4: a) Đúng, $P(A\cup B)=0,6+0,5-0,3=0,8$. b) Sai, vì $P(A\cap B)=0,3\ne 0$. c) Đúng, $P(\overline{A\cup B})=1-0,8=0,2$. d) Đúng, $P(\text{đúng một})=P(A\cup B)-P(A\cap B)=0,8-0,3=0,5$, hoặc $0,6+0,5-2\times0,3=0,5$.
Bài 5: Nếu xung khắc thì $P(A\cup B)=0,8+0,7=1,5>1$, vô lí. Thực ra $P(A\cap B)\ge 0,8+0,7-1=0,5$. Vậy dữ kiện không nhất quán, không thể có hai biến cố xung khắc với các xác suất này.
Kiến thức HS rút ra: Kiểm tra kết quả luôn nằm trong $[0;1]$; số liệu hợp và giao phải phù hợp với nhau.

HS vận dụng công thức cộng để giải bài toán “ít nhất một” và “đúng một” trong tình huống thực tế, đồng thời rèn tính trung thực khi thu thập số liệu.

Tình huống: Trường tổ chức khảo sát 40 HS khối 11 về hai hoạt động ngoại khoá: đọc sách (biến cố A) và chơi cờ (biến cố B). Kết quả: 22 HS thích đọc sách, 18 HS thích chơi cờ, 8 HS thích cả hai. Chọn ngẫu nhiên một HS.
Nhiệm vụ: (1) Tính xác suất HS được chọn thích ít nhất một hoạt động. (2) Tính xác suất HS được chọn chỉ thích đúng một hoạt động. (3) Về nhà: thực hiện khảo sát tương tự với 30 bạn trong lớp hoặc gia đình, ghi số liệu trung thực và tính hai xác suất trên.

(1) Số HS thích ít nhất một hoạt động: $22+18-8=32$. Xác suất $P=\dfrac{32}{40}=\mathbf{0,8}$.
(2) Số HS thích đúng một hoạt động: $32-8=24$, hoặc $22+18-2\times 8=24$. Xác suất $P=\dfrac{24}{40}=\mathbf{0,6}$.
Kiểm tra: $0,6\le 0,8\le 1$, hợp lí.
Kiến thức HS rút ra: Trong bài toán thực tế, dùng công thức cộng và kiểm tra số liệu nhất quán trước khi kết luận.