Giáo án Bài 28. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

HS nhận ra cần có khái niệm và kí hiệu mới để mô tả các biến cố được tạo từ các biến cố đã biết, thông qua cụm từ “hoặc” và “vừa … vừa …”.

GV gieo một xúc xắc cân đối và xác định hai biến cố: A là “số chấm xuất hiện là số chẵn”, B là “số chấm xuất hiện lớn hơn 3”. HS trả lời các câu hỏi: (1) Viết A và B dưới dạng tập hợp kết quả. (2) Biến cố “số chấm chẵn hoặc lớn hơn 3” gồm những kết quả nào? (3) Biến cố “số chấm vừa chẵn vừa lớn hơn 3” gồm những kết quả nào? (4) Hai biến cố ở câu (2) và (3) được gọi tên và kí hiệu thế nào?

A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6}. Kết quả thuộc “chẵn hoặc lớn hơn 3” là {2, 4, 5, 6}. Kết quả thuộc “vừa chẵn vừa lớn hơn 3” là {4, 6}. Hai biến cố này là biến cố hợp $A\cup B$ và biến cố giao $A\cap B$. HS nhận ra cần học các khái niệm này để mô tả chính xác các tình huống có cụm “ít nhất một” và “cả hai”.

HS nêu được định nghĩa và kí hiệu của biến cố hợp, giao, đối và xung khắc; xác định được các biến cố này từ tập kết quả và vận dụng công thức cộng xác suất.

HS làm việc nhóm 4 với Phiếu học tập số 1, dùng kết quả của hoạt động mở đầu (A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6}, không gian mẫu {1, 2, 3, 4, 5, 6}). HS tìm $A\cup B$, $A\cap B$, $\overline{A}$; kiểm tra $A\cap\overline{A}$; xét C = {1, 3} và xác định C có xung khắc với A không; đọc công thức $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ và tính minh hoạ với $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$, $P(A\cap B)=0{,}2$.

Kết quả HS ghi được: $A\cup B=\{2,4,5,6\}$; $A\cap B=\{4,6\}$; $\overline{A}=\{1,3,5\}$; $A\cap\overline{A}=\varnothing$; $A\cap C=\varnothing$ nên A và C xung khắc. Kiến thức HS rút ra: (1) $A\cup B$: ít nhất một trong A, B xảy ra. (2) $A\cap B$: cả hai cùng xảy ra. (3) $\overline{A}$: A không xảy ra. (4) Hai biến cố xung khắc khi $A\cap B=\varnothing$. (5) $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$; với $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$, $P(A\cap B)=0{,}2$ thì $P(A\cup B)=0{,}7$.

HS nêu được điều kiện hai biến cố độc lập, biết kiểm tra $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ và giải thích được ý nghĩa “biết một biến cố xảy ra không làm đổi xác suất biến cố kia”.

HS làm Phiếu học tập số 2: tung hai đồng xu cân đối, không gian mẫu gồm NN, NS, SN, SS (N: ngửa, S: sấp). Gọi A là “đồng xu thứ nhất ngửa”, B là “đồng xu thứ hai ngửa”. HS tính P(A), P(B), P(A∩B) và so sánh P(A∩B) với P(A)P(B). Sau đó HS trả lời: nếu biết đồng xu thứ nhất ngửa thì xác suất đồng xu thứ hai ngửa có đổi không?

A = {NN, NS}, B = {NN, SN}, A∩B = {NN}. $P(A)=\dfrac{1}{2}$, $P(B)=\dfrac{1}{2}$, $P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}=P(A)P(B)$ nên A và B độc lập. Kiến thức HS rút ra: hai biến cố độc lập khi $P(A\cap B)=P(A)P(B)$; khi đó biết A xảy ra không làm đổi xác suất của B (vẫn là $\dfrac{1}{2}$). Lưu ý: nếu hai biến cố xung khắc và có xác suất dương thì $P(A\cap B)=0\neq P(A)P(B)$, nên không độc lập.

HS vận dụng đúng định nghĩa biến cố hợp, giao, đối, xung khắc để đọc hiểu cụm từ trong đề bài và xác định biến cố tương ứng.

Bài 1: Cụm “ít nhất một trong A, B” ứng với biến cố nào? A. $\overline{A\cup B}$; B. $A\cup B$; C. $A\cap B$.
Bài 2: Hai biến cố xung khắc có xác suất đều dương có độc lập không? A. Có, vì không liên quan nhau; B. Luôn có xác suất hợp bằng 0; C. Không.
Bài 5: Kiểm tra ngôn ngữ biến cố (ghi Đ hoặc S): a) $A\cap B$ đòi cả hai xảy ra; b) $A\cup B$ loại trường hợp cả hai xảy ra; c) $A\cap\overline{A}=\varnothing$; d) Hai lần lấy không hoàn lại luôn độc lập.
Bài 8: Tung hai đồng xu độc lập. Biến cố “đúng một ngửa” có tập kết quả: A. {NN}; B. {NN, NS, SN}; C. {NS, SN}.

Đáp án: Bài 1: B ($A\cup B$ gồm A riêng, B riêng và cả hai). Bài 2: C (giao bằng 0 nhưng tích hai xác suất dương nên không độc lập). Bài 5: a) Đ; b) S (hợp bao gồm cả trường hợp cả hai xảy ra); c) Đ; d) S (không hoàn lại thường làm thay đổi xác suất ở lần sau). Bài 8: C ({NS, SN}, vì NN có hai ngửa và SS không có ngửa nào). Kiến thức HS rút ra: đọc đúng từ “hoặc”, “và”, “không” để chọn biến cố hợp, giao, đối.

HS tính được xác suất của giao hai biến cố và kiểm tra tính độc lập bằng cách so sánh $P(A\cap B)$ với $P(A)P(B)$, trình bày đầy đủ các bước suy luận.

Bài 3: Gieo một xúc xắc cân đối. A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6}. Tính P(A∩B).
Bài 4: Hai lần tung đồng xu cân đối độc lập. Tính xác suất cả hai lần ngửa.
Bài 6: Gieo xúc xắc cân đối. A là số chẵn, B là số lớn hơn 3. Kiểm tra A và B có độc lập không.
Bài 7: Hộp có 1 bi đỏ, 1 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 lần, không hoàn lại. A là lần đầu đỏ, B là lần sau đỏ. Vì sao A và B xung khắc và không độc lập?
Khăn trải bàn: mỗi thành viên nhận một bài, viết lời giải vào ô của mình; sau đó cả nhóm thống nhất đáp án và chuẩn bị giải thích cho lớp.

Đáp án: Bài 3: $P(A\cap B)=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333333$ (giao là {4, 6}). Bài 4: $\dfrac{1}{4}=0{,}25$ (chỉ NN thuận lợi trong {NN, NS, SN, SS}). Bài 6: $P(A)=\dfrac{1}{2}$, $P(B)=\dfrac{1}{2}$, $P(A\cap B)=\dfrac{1}{3}\neq\dfrac{1}{4}=P(A)P(B)$ nên A và B không độc lập. Bài 7: không thể cả hai lần đều đỏ vì chỉ có 1 bi đỏ nên $A\cap B=\varnothing$, xung khắc; $P(A)=P(B)=\dfrac{1}{2}$, $P(A\cap B)=0\neq\dfrac{1}{4}$ nên không độc lập. Kiến thức HS rút ra: quy trình kiểm tra độc lập gồm tính P(A), P(B), P(A∩B) rồi so sánh; xung khắc không suy ra độc lập.

HS vận dụng biến cố hợp, giao, đối và điều kiện độc lập để tính xác suất trong tình huống thực tế, đồng thời nhận ra giả thiết độc lập cần được kiểm chứng.

Một nhà máy có hai máy hoạt động độc lập trong một ngày. Gọi A là “máy 1 hỏng trong ngày”, B là “máy 2 hỏng trong ngày”, với $P(A)=0{,}1$ và $P(B)=0{,}2$ (giả thiết hai máy độc lập). Yêu cầu nhóm: (1) Tính xác suất cả hai máy cùng hỏng. (2) Tính xác suất ít nhất một máy hỏng. (3) Tính xác suất cả hai máy đều không hỏng. (4) Thảo luận: nếu hai máy dùng chung một nguồn điện thì giả thiết độc lập có còn hợp lí không? Nhóm có thể làm thêm bài tập tương tác trên học liệu NeoEdu.

Kết quả: (1) $P(A\cap B)=P(A)P(B)=0{,}1\times 0{,}2=0{,}02$. (2) $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}1+0{,}2-0{,}02=0{,}28$. (3) $P(\overline{A}\cap\overline{B})=P(\overline{A})P(\overline{B})=0{,}9\times 0{,}8=0{,}72$, trùng với $1-0{,}28=0{,}72$. (4) Dự kiến kết luận: nếu chung nguồn điện thì hai máy có thể cùng bị ảnh hưởng, giả thiết độc lập cần được xem xét lại. Kiến thức HS rút ra: độc lập là giả thiết phải kiểm tra trong thực tế, không suy ra chỉ từ việc hai đối tượng khác nhau.