Giáo án Bài tập cuối chương VII

Kích hoạt lại các khái niệm về đường thẳng vuông góc mặt phẳng, góc, khoảng cách và quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng; xác định nhiệm vụ học tập của tiết ôn tập.

HS đọc và trả lời 4 câu trắc nghiệm nhanh (đề bài 1 đến 4 trong phần Bài tập): (1) Đường d vuông góc hai đường cắt nhau trong (P) thì kết luận nào đúng? A. d nằm trong (P). B. d ⊥ (P). C. d ∥ (P). (2) Góc giữa đường a song song mặt (P) và (P) bằng bao nhiêu? A. 90°. B. 180°. C. 0°. (3) Khoảng cách hai đường chéo nhau là gì? A. Độ dài đoạn vuông góc chung. B. Khoảng cách hai điểm bất kì. C. Góc giữa hai đường. (4) Hai mặt phẳng vuông góc có buộc mọi đường ở mặt này vuông góc mặt kia không? A. Có, nếu hai mặt phân biệt. B. Không, giao tuyến là phản ví dụ. C. Có, theo định nghĩa.

Đáp án đúng: câu 1 là B (vì d vuông góc hai đường cắt nhau trong (P) thì d ⊥ (P)); câu 2 là C (đường song song hoặc nằm trong mặt phẳng có góc 0°); câu 3 là A (đoạn vuông góc chung có hai đầu nằm trên hai đường và vuông góc với cả hai); câu 4 là B (giao tuyến nằm trong mặt kia nên đường trong mặt này không tự động vuông góc mặt kia). HS nêu được lí do ngắn gọn cho từng đáp án.

HS hệ thống hoá được ba loại góc (đường–đường, đường–mặt, mặt–mặt), các khoảng cách cơ bản và điều kiện để chúng được xác định đầy đủ.

HS làm việc nhóm 4 theo kĩ thuật khăn trải bàn, hoàn thành Phiếu học tập số 1 và vẽ sơ đồ tư duy ở giữa khăn. Nhiệm vụ: điền bảng ba loại góc, nêu điều kiện mỗi góc và mỗi khoảng cách, nêu tiêu chuẩn đường thẳng vuông góc mặt phẳng và điều kiện hai mặt phẳng vuông góc.

Sơ đồ tư duy gồm các nội dung chính: (1) Góc đường–đường: góc giữa hai đường thẳng là góc giữa hai đường thẳng cùng phương với chúng và cắt nhau; cần hai đường cụ thể. (2) Góc đường–mặt: góc giữa đường d và (P) là góc giữa d và hình chiếu của d lên (P); bằng 0° khi d song song hoặc nằm trong (P), bằng 90° khi d ⊥ (P). (3) Góc mặt–mặt: góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm và nằm trong hai mặt. (4) Khoảng cách điểm–mặt là đoạn từ điểm đến chân đường vuông góc hạ trên mặt. (5) Khoảng cách hai đường chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung. (6) Tiêu chuẩn: d vuông góc hai đường cắt nhau cùng nằm trong (P) thì d ⊥ (P); mặt (Q) chứa đường vuông góc với (P) thì (Q) ⊥ (P).

HS nắm vững công thức thể tích khối chóp và lăng trụ đứng, nhận biết đúng diện tích đáy và chiều cao vuông góc, không thay bằng cạnh bên xiên.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 2, quan sát mô hình chóp và lăng trụ đứng để trả lời các câu hỏi: Chiều cao của hình chóp là đoạn nào? Với lăng trụ đứng, cạnh bên có phải là chiều cao không? Áp dụng vào đề bài 5 (chóp có diện tích đáy 18 cm², chiều cao 4 cm) và đề bài 6 (lăng trụ đứng đáy vuông cạnh 3 cm, cạnh bên 5 cm).

Công thức: $V_{\text{chóp}}=\dfrac{1}{3}Bh$, với $h$ là khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy; $V_{\text{lăng trụ đứng}}=Bh$, với $h$ là cạnh bên. Đề 5: $V=\dfrac{1}{3}\cdot 18\cdot 4=24\ \text{cm}^3$. Đề 6: $B=3^2=9\ \text{cm}^2$, $V=9\cdot 5=45\ \text{cm}^3$. Kết luận: chiều cao phải vuông góc với đáy, không lấy cạnh bên xiên của hình chóp làm chiều cao.

HS vận dụng công thức tính độ dài, góc và thể tích trong các bài tập 5 đến 8, viết lời giải có lập luận rõ ràng.

HS làm việc theo cặp, giải bốn bài sau: Bài 5: Chóp có diện tích đáy 18 cm² và chiều cao 4 cm, tính thể tích. Bài 6: Lăng trụ đứng đáy vuông cạnh 3 cm, cạnh bên 5 cm, tính thể tích. Bài 7: Cho H, A thuộc mặt đáy (P), SH ⊥ (P), SH = 4 và AH = 3 (cùng đơn vị), tính SA. Bài 8: Chóp đều có O là tâm đáy, SO ⊥ đáy và SO = OM > 0, với M là trung điểm một cạnh đáy; tính góc giữa mặt bên chứa cạnh đó và đáy.

Bài 5: $V=24\ \text{cm}^3$. Bài 6: $V=45\ \text{cm}^3$. Bài 7: tam giác SHA vuông tại H, $SA=\sqrt{4^2+3^2}=5$. Bài 8: SO ⊥ đáy và OM ⊥ BC, suy ra SM ⊥ BC; góc giữa (SBC) và đáy là góc SMO. Tam giác SOM vuông tại O có SO = OM nên vuông cân, $\widehat{SMO}=45^\circ$. Đáp số: bài 8 là $45^\circ$.

HS giải được bài toán khoảng cách có chứng minh chân đường vuông góc và bài toán tính góc, thể tích trong hình chóp, biết chấp nhận các cách giải và biểu thức tương đương đúng điều kiện.

Theo mảnh ghép: nhóm 1 làm bài 9, nhóm 2 làm bài 10, mỗi nhóm có 4 HS. Bài 9: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = 4, AD = 3, SA = 5, SA ⊥ đáy. Tính khoảng cách từ D đến (SAB) và giải thích chân đường vuông góc. Bài 10: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2, SA ⊥ đáy, SA = 2. Tính góc giữa SC và đáy và thể tích khối chóp. Sau đó HS đổi nhóm, mỗi HS trình bày lại bài của nhóm mình cho nhóm mới.

Bài 9: AD ⊥ AB vì đáy là hình chữ nhật; AD ⊥ SA vì SA ⊥ đáy; AB và SA cắt nhau cùng nằm trong (SAB) nên AD ⊥ (SAB). Chân đường vuông góc là A, vì A thuộc (SAB). Vậy $d(D,(SAB))=DA=3$. Bài 10: hình chiếu của SC lên đáy là AC, với $AC=2\sqrt{2}$; góc giữa SC và đáy là $\widehat{SCA}$ với $\tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$, tức khoảng $35{,}26^\circ$. Thể tích $V=\dfrac{1}{3}\cdot 2^2\cdot 2=\dfrac{8}{3}$. Hướng chấm gợi ý: khoảng 50% cho chứng minh hai quan hệ vuông góc, 30% cho chỉ đúng chân A, 20% cho kết quả 3 (bài 9); khoảng 35% cho hình chiếu và tỉ số, 30% cho góc, 35% cho thể tích kèm đơn vị (bài 10). Chấp nhận mọi cách giải và biểu thức tương đương đúng điều kiện, không yêu cầu khớp nguyên văn; không nhầm góc SCA với góc ASC.

HS vận dụng công thức thể tích và quan hệ vuông góc để giải quyết tình huống thực tế về mái nhà hình chóp và khối lăng trụ đứng, rèn năng lực mô hình hoá toán học.

Tình huống: Một mái nhà có dạng hình chóp tứ giác đều, đáy là hình vuông cạnh 6 m, chiều cao từ đỉnh đến tâm đáy là 2 m. Một bể chứa nước có dạng lăng trụ đứng đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 3 m và 4 m, chiều cao bể 2,5 m. Nhiệm vụ: (1) Tính thể tích không gian bên trong khối chóp mái nhà. (2) Tính thể tích nước tối đa của bể. (3) Nêu lí do chọn chiều cao trong mỗi trường hợp.

(1) $V=\dfrac{1}{3}\cdot 6^2\cdot 2=24\ \text{m}^3$; chiều cao là khoảng cách từ đỉnh đến mặt đáy, vuông góc với đáy, không dùng cạnh bên xiên. (2) Diện tích đáy $B=\dfrac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6\ \text{m}^2$, $V=6\cdot 2{,}5=15\ \text{m}^3$; chiều cao là cạnh bên vuông góc với đáy. Đáp số: khoảng $24\ \text{m}^3$ và $15\ \text{m}^3$.