Giáo án Bài 27. Thể tích

Huy động kiến thức về diện tích đáy, chiều cao và đơn vị đo; xác định nhiệm vụ học tập là tính thể tích các khối hình không gian tổng quát.

GV đưa một hộp sữa dạng hình hộp chữ nhật có kích thước đáy $6\,\mathrm{cm} \times 4\,\mathrm{cm}$, chiều cao $10\,\mathrm{cm}$. Câu hỏi: (1) Thể tích hộp là bao nhiêu $\mathrm{cm^3}$? Đổi ra lít thế nào? (2) Nếu đáy hộp là tam giác vuông hoặc hộp có dạng hình chóp thì làm thế nào để tính thể tích? (3) Vì sao cần biết chiều cao vuông góc với đáy?

HS tính được $V = 6 \cdot 4 \cdot 10 = 240\,\mathrm{cm^3}$, đổi $240\,\mathrm{cm^3} = 0{,}24$ lít. HS nêu được: cần có công thức tổng quát theo diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ cho các khối lăng trụ và chóp; chiều cao phải là khoảng cách vuông góc. Nhiệm vụ của bài: thiết lập và vận dụng công thức thể tích khối đa diện.

Hình thành công thức $V = B\cdot h$ cho khối lăng trụ và $V = \dfrac{1}{3}B\cdot h$ cho khối chóp; nhận biết đúng chiều cao $h$ trong hình nghiêng.

Kỹ thuật khăn trải bàn: lớp chia 4 nhóm, mỗi nhóm nhận Phiếu học tập số 1. Nhóm làm việc 10 phút, sau đó ghi kết quả chung vào ô giữa khăn trải bàn. Các nhóm trả lời: (a) Trong lăng trụ nghiêng, $h$ là đoạn nào, có phải cạnh bên không? (b) Lăng trụ và chóp có cùng đáy và cùng chiều cao thì thể tích quan hệ thế nào? (c) Áp dụng: chóp có đáy tam giác vuông hai cạnh góc vuông $3$ và $4$, chiều cao $5$, tính $V$. Ghi chú: phiếu nằm trong phần worksheets.

Kiến thức HS rút ra:

• Khối lăng trụ: $V = B\cdot h$, $B$ là diện tích đáy, $h$ là khoảng cách vuông góc giữa hai đáy.
• Trong lăng trụ nghiêng, cạnh bên có thể dài hơn $h$; không dùng cạnh bên thay cho $h$.
• Khối chóp có cùng đáy và chiều cao với lăng trụ thì có thể tích bằng $\dfrac{1}{3}$ lăng trụ: $V = \dfrac{1}{3}B\cdot h$, $h$ là chiều cao từ đỉnh đến mặt đáy.
• Ví dụ: $B = \dfrac{3\cdot 4}{2} = 6$, $V = \dfrac{6\cdot 5}{3} = 10$ đơn vị lập phương.

Nêu và vận dụng được công thức thể tích khối chóp cụt đều; giải thích được tỉ số diện tích là $k^2$ và tỉ số thể tích là $k^3$ khi cắt chóp bởi mặt phẳng song song đáy.

Hoạt động theo cặp đôi kết hợp trình chiếu trang bài học số NeoEdu (phần ví dụ về khối chóp cụt). Mỗi cặp làm Phiếu học tập số 2: (a) Chỉ ra $B_1$, $B_2$, $h$ trên hình chóp cụt đều; phân biệt $h$ với trung đoạn mặt bên. (b) Tính $V$ của chóp cụt đều có đáy vuông cạnh $6\,\mathrm{cm}$ và $2\,\mathrm{cm}$, cao $3\,\mathrm{cm}$. (c) Chóp có tỉ số độ dài $k$ khi cắt bởi mặt phẳng song song đáy: tỉ số diện tích và tỉ số thể tích là bao nhiêu? Ví dụ: $k=\dfrac{1}{2}$ thì tỉ số thể tích là bao nhiêu?

Kiến thức HS rút ra:

• Khối chóp cụt đều có hai đáy song song, diện tích $B_1$, $B_2$, chiều cao $h$: $V = \dfrac{h\left(B_1 + B_2 + \sqrt{B_1B_2}\right)}{3}$.
• Phân biệt: $h$ là chiều cao (khoảng cách giữa hai đáy), không phải trung đoạn mặt bên.
• Đáp án câu (b): $B_1 = 36$, $B_2 = 4$, $\sqrt{B_1B_2} = 12$, $V = \dfrac{3(36 + 4 + 12)}{3} = 52\,\mathrm{cm^3}$.
• Tỉ số độ dài $k$ cho tỉ số diện tích $k^2$ và tỉ số thể tích $k^3$ (đồng dạng). Với $k = \dfrac{1}{2}$: tỉ số thể tích là $\dfrac{1}{8}$.

Củng cố nhanh công thức, điều kiện chiều cao và đổi đơn vị thông qua trắc nghiệm.

GV chiếu lần lượt các câu hỏi trên trang bài học số NeoEdu (phần bài tập tương tác) hoặc trên máy chiếu. HS giơ thẻ A, B, C hoặc viết đáp số ra bảng con. Câu hỏi: (1) Khối chóp có diện tích đáy $B$, chiều cao $h$ có thể tích là: A. $B/h$; B. $Bh/3$; C. $Bh$. (2) Trong lăng trụ nghiêng, $h$ trong $V = Bh$ là: A. Mọi cạnh bên; B. Chu vi đáy; C. Khoảng cách vuông góc hai đáy. (3) Lăng trụ có $B = 12\,\mathrm{cm^2}$, $h = 5\,\mathrm{cm}$, thể tích là bao nhiêu $\mathrm{cm^3}$? (4) Chóp đáy vuông cạnh $6\,\mathrm{cm}$, cao $4\,\mathrm{cm}$: thể tích bao nhiêu $\mathrm{cm^3}$? (5) Một khối lăng trụ có thể tích $2{,}5\,\mathrm{dm^3}$ tương ứng bao nhiêu lít? A. 2500 lít; B. 0,0025 lít; C. 2,5 lít.

Đáp án: (1) B; (2) C; (3) $V = 12\cdot 5 = 60\,\mathrm{cm^3}$; (4) $B = 36\,\mathrm{cm^2}$, $V = \dfrac{36\cdot 4}{3} = 48\,\mathrm{cm^3}$; (5) C, vì $1\,\mathrm{dm^3} = 1$ lít nên $2{,}5\,\mathrm{dm^3} = 2{,}5$ lít.

Vận dụng công thức để giải bài tập tổng hợp: nhận định đúng sai, tính thể tích chóp có trung điểm cạnh, tính thể tích chóp cụt đều.

Lớp chia 3 nhóm, mỗi nhóm đi lần lượt qua 3 trạm, mỗi trạm 5 phút. Trạm 1: Bài 5 (xét đúng sai các mệnh đề về công thức và đơn vị). Trạm 2: Bài 6: Chóp $SABCD$ có đáy vuông cạnh $4$, $SA \perp$ đáy, $SA = 6$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB$, $SC$, $SD$. Tính thể tích chóp nhỏ $SMNPQ$ và phần còn lại. Trạm 3: Bài 7: Chóp cụt đều có đáy vuông cạnh $6\,\mathrm{cm}$ và $2\,\mathrm{cm}$, chiều cao $3\,\mathrm{cm}$. Tính thể tích.

Trạm 1 (bài 5): a) Đúng (gấp đôi kích thước thì thể tích gấp $2^3 = 8$ lần); b) Đúng ($1\,\mathrm{m^3} = 1000$ lít); c) Sai (chóp bằng $\dfrac{1}{3}$ lăng trụ cùng đáy, chiều cao); d) Đúng (công thức chóp cụt đều với hai đáy song song).
Trạm 2 (bài 6): Chóp lớn $V = \dfrac{4^2\cdot 6}{3} = 32$. Chóp nhỏ $SMNPQ$ đồng dạng với $SABCD$ theo tỉ số $k = \dfrac{1}{2}$ nên $V_{\text{nhỏ}} = 32\cdot \dfrac{1}{8} = 4$. Phần còn lại $32 - 4 = 28$ đơn vị lập phương. Chấp nhận mọi cách giải đúng.
Trạm 3 (bài 7): $B_1 = 36$, $B_2 = 4$, $\sqrt{B_1B_2} = 12$, $V = \dfrac{3(36+4+12)}{3} = 52\,\mathrm{cm^3}$. Không thay chiều cao bằng độ dài cạnh xiên. Chấp nhận mọi cách giải và biểu thức tương đương đúng điều kiện.

Mô hình hoá một đồ vật thực tế có dạng chóp cụt đều; tính thể tích và đổi sang lít để dự đoán lượng chứa được.

Tình huống: Một thùng đựng hạt giống có dạng khối chóp cụt đều, đáy lớn là hình vuông cạnh $30\,\mathrm{cm}$, đáy nhỏ là hình vuông cạnh $10\,\mathrm{cm}$, chiều cao $20\,\mathrm{cm}$ (đo khoảng cách vuông góc giữa hai đáy, không đo trung đoạn mặt bên). Nhiệm vụ: (1) Mô hình hoá thùng bằng khối chóp cụt đều, xác định $B_1$, $B_2$, $h$. (2) Tính thể tích thùng theo $\mathrm{cm^3}$ và đổi ra lít. (3) Nếu người thợ lấy nhầm trung đoạn mặt bên làm chiều cao thì kết quả thay đổi thế nào về mặt phương pháp?

(1) $B_1 = 30^2 = 900\,\mathrm{cm^2}$, $B_2 = 10^2 = 100\,\mathrm{cm^2}$, $\sqrt{B_1B_2} = 300$, $h = 20\,\mathrm{cm}$.
(2) $V = \dfrac{20\,(900 + 100 + 300)}{3} = \dfrac{26000}{3} \approx 8666{,}7\,\mathrm{cm^3} \approx 8{,}67$ lít.
(3) Phải dùng khoảng cách vuông góc giữa hai đáy; trung đoạn mặt bên lớn hơn chiều cao nên sẽ đánh giá sai thể tích.