Giáo án Bài 26. Khoảng cách

Huy động kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và xác định nhu cầu tìm khoảng cách ngắn nhất từ một điểm đến một mặt phẳng.

GV đưa hình ảnh cột cờ thẳng đứng trên sân phẳng, điểm $S$ là đỉnh cột và mặt sân là mặt phẳng $(P)$. HS trả lời câu hỏi: Nếu cần đo độ cao từ đỉnh cột đến mặt sân thì nên đo đoạn nào? Vì sao đoạn đó được chọn? Từ đó GV dẫn dắt vào khái niệm khoảng cách.

HS nêu được: độ cao cần đo là đoạn vuông góc hạ từ $S$ xuống $(P)$, vì đoạn này là đoạn ngắn nhất nối $S$ với mặt sân. Đây là ý dẫn đến định nghĩa khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là $MH$ với $H$ là chân đường vuông góc.

Nêu được định nghĩa khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng và đến một đường thẳng; nhận biết điều kiện chân đường vuông góc phải được chứng minh.

HS làm việc theo cặp với Phiếu học tập số 1: (1) Cho $SH\perp(P)$ với $H\in(P)$. Khoảng cách từ $S$ đến $(P)$ là đoạn nào? Vì sao không chọn đoạn $SA$ với $A$ bất kì thuộc $(P)$? (2) Cho điểm $M$ và đường thẳng $a$. Khoảng cách từ $M$ đến $a$ được xác định thế nào? (3) Nêu lý do vì sao khi chọn chân vuông góc phải chứng minh quan hệ vuông góc, không chỉ dựa vào hình vẽ đoạn trông ngắn nhất.

• Khoảng cách từ $S$ đến $(P)$ là $SH$, vì $SH$ là đoạn vuông góc hạ từ $S$ xuống $(P)$.
• Khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $a$ là độ dài đoạn vuông góc $MK$ với $K\in a$ và $MK\perp a$.
• Chân đường vuông góc phải chứng minh được quan hệ vuông góc bằng định lí và tính chất đã học; không được chọn theo cảm nhận trực quan.
• Khoảng cách điểm–mặt không âm và bằng $0$ khi điểm thuộc mặt phẳng.

Giải thích được khoảng cách từ đường thẳng song song với mặt phẳng đến mặt phẳng bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường đó; nêu được khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.

Theo kĩ thuật mảnh ghép, nhóm chuyên gia 1 nghiên cứu ví dụ: Đường $a\parallel(P)$, $M\in a$, biết $d(M,(P))=3$. Tìm $d(a,(P))$. Nhóm chuyên gia 2 nghiên cứu nội dung: Hai mặt phẳng song song có khoảng cách bằng đoạn vuông góc chung giữa chúng. Sau đó các chuyên gia ghép về nhóm gốc để giải thích cho nhau.

• Với $a\parallel(P)$, mọi điểm trên $a$ đều cách $(P)$ một khoảng bằng nhau, nên $d(a,(P))=d(M,(P))=3$.
• Lí do: đường $a$ không cắt $(P)$ và luôn giữ khoảng cách không đổi tới $(P)$.
• Hai mặt phẳng song song có khoảng cách bằng độ dài đoạn vuông góc chung giữa chúng.

Nêu được khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung; vận dụng phương pháp đưa một đường vào mặt phẳng song song với đường kia để tính khoảng cách.

GV tổ chức khăn trải bàn: Trung tâm khăn là bài toán: Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$. Các nhóm (mỗi nhóm 4 HS) viết ý kiến của mình vào 4 ô xung quanh: (1) Khoảng cách giữa $a$ và $b$ là gì? (2) Đoạn vuông góc chung phải có hai đầu nằm ở đâu? (3) Có thể đưa $b$ vào mặt phẳng $(P)$ song song với $a$ không, và khi đó $d(a,b)$ liên hệ thế nào với $d(a,(P))$? (4) Khi nào khoảng cách bằng $0$?

• $d(a,b)$ là độ dài đoạn vuông góc chung của $a$ và $b$, có hai đầu lần lượt thuộc $a$ và $b$, đồng thời vuông góc với cả hai đường.
• Có thể dựng mặt phẳng $(P)$ chứa $b$ và song song với $a$; khi đó $d(a,b)=d(a,(P))$.
• Nếu hai đường (hoặc đường và mặt, hai mặt) cắt nhau thì khoảng cách bằng $0$; không dùng công thức của hai mặt song song cho hai mặt cắt nhau.

Củng cố nhận biết khoảng cách, vận dụng quan hệ vuông góc để xác định chân đường vuông góc và tính khoảng cách; kiểm tra tính đúng sai của các phát biểu.

HS làm việc theo nhóm 4 người, luân phiên 4 trạm với Phiếu học tập số 2. Trạm 1: câu 1, 2, 8 (trắc nghiệm). Trạm 2: câu 3, 4 (tính độ dài). Trạm 3: câu 5 (đánh giá đúng sai). Trạm 4: câu 6, 7 (chứng minh quan hệ vuông góc rồi tính khoảng cách). Mỗi trạm 4 phút; nhóm ghi kết quả vào phiếu và kiểm tra chéo bằng học liệu số NeoEdu khi cần.

• Câu 1: B (đoạn $SH$ là khoảng cách từ $S$ đến $(P)$).
• Câu 2: C (độ dài đoạn vuông góc chung).
• Câu 3: $5$ cm (chân vuông góc là $A$, nên $d=SA=5$ cm).
• Câu 4: $4$ cm (cạnh đứng là đoạn vuông góc chung của hai mặt đáy).
• Câu 5: a) Đ; b) Đ; c) S; d) Đ. Giải thích: đoạn nối bất kì thường dài hơn đoạn vuông góc chung; điểm trên $a\parallel(P)$ có khoảng cách không đổi.
• Câu 6: $d(B,(SAD))=3$. Lập luận: $AB\perp AD$ và $AB\perp SA$ nên $AB\perp(SAD)$; $A\in(SAD)$ nên $d(B,(SAD))=BA=3$.
• Câu 7: $d(AB,CC')=2$. Lập luận: $BC$ nối $B\in AB$ với $C\in CC'$; $BC\perp AB$ (đáy là hình vuông), $BC\perp CC'$ (cạnh đứng vuông góc đáy); vậy $BC$ là đoạn vuông góc chung và $BC=2$.
• Câu 8: C (chọn một điểm trên giao tuyến, khoảng cách bằng $0$).

Vận dụng khái niệm và quan hệ vuông góc để tính khoảng cách trong mô hình thực tế; rèn kĩ năng đo đạc và lập luận khi giải quyết vấn đề.

Nhóm 4 HS dùng mô hình hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ (đo bằng thước dây, lấy $AA'=4$ cm, $AB=3$ cm, $AD=5$ cm) để trả lời ba câu hỏi: (1) Tính $d(A',(ABCD))$. (2) Tính $d(A,(BCC'B'))$ và giải thích vì $AB\perp(BCC'B')$. (3) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy $(ABCD)$ và $(A'B'C'D')$. Sau đó, nhóm kiểm chứng số đo bằng thước trên mô hình thật.

• (1) $d(A',(ABCD))=AA'=4$ cm, vì $AA'\perp(ABCD)$ với chân $A$ thuộc $(ABCD)$.
• (2) $AB\perp BC$ và $AB\perp BB'$ nên $AB\perp(BCC'B')$; $B\in(BCC'B')$ nên $d(A,(BCC'B'))=AB=3$ cm.
• (3) Hai mặt đáy song song, khoảng cách bằng đoạn vuông góc chung $AA'=4$ cm.
• Kết quả đo trên mô hình xác nhận các đáp số $4$ cm và $3$ cm.