Giáo án Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

Huy động hiểu biết trực quan của HS về hai mặt phẳng cắt nhau và góc tạo bởi chúng; dẫn dắt vào khái niệm góc giữa hai mặt phẳng.

GV đưa hình ảnh một mái nhà hai phía và góc gấp của tấm bìa cứng. HS quan sát, trả lời câu hỏi: “Hai mặt phẳng của mái nhà cắt nhau theo đường nào? Góc giữa hai mặt đó có thể là bao nhiêu độ? Khi nào hai mặt được gọi là vuông góc?” Sau đó HS gấp tấm bìa thành góc và quan sát.

HS nêu được: hai mặt phẳng cắt nhau theo một giao tuyến là một đường thẳng; góc tạo bởi hai nửa mặt là một góc có số đo từ $0^\circ$ đến $180^\circ$; hai mặt được gọi là vuông góc khi góc giữa chúng bằng $90^\circ$. Đây là nhiệm vụ mở đầu để HS nhận ra cần xác định một góc “đo được” đại diện cho sự nghiêng giữa hai mặt.

HS nêu được định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau, phân biệt góc nhị diện với góc không tù giữa hai mặt phẳng, và xác định được góc đó trong hình cụ thể.

Nhóm 4 HS dùng khăn trải bàn, thực hiện Phiếu học tập số 1, phần 1: Cho $(P)\cap(Q)=c$. Lấy điểm $I\in c$, trong $(P)$ kẻ $a\perp c$ tại $I$, trong $(Q)$ kẻ $b\perp c$ tại $I$. Hãy so sánh góc $(a,b)$ với các cách đo khác tại các điểm khác của $c$. Từ đó nêu định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng. Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$, xác định góc giữa $(ABCD)$ và $(ABB'A')$.

Định nghĩa được ghi vào vở: Cho hai mặt phẳng $(P)$, $(Q)$ cắt nhau theo giao tuyến $c$. Lấy $I\in c$, kẻ $a\subset(P)$, $b\subset(Q)$ cùng vuông góc với $c$ tại $I$. Góc không tù tạo bởi $a$ và $b$ gọi là góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$, kí hiệu $0^\circ<\varphi\le 90^\circ$. Ví dụ đã làm: Trong hình hộp chữ nhật, $AA'\perp(ABCD)$ và $AA'\subset(ABB'A')$ nên góc giữa $(ABCD)$ và $(ABB'A')$ là $90^\circ$. Ghi chú: góc nhị diện có số đo từ $0^\circ$ đến $180^\circ$, còn góc giữa hai mặt phẳng luôn lấy góc không tù.

HS phát biểu và giải thích được điều kiện đủ để hai mặt phẳng vuông góc; vận dụng điều kiện này để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong hình cụ thể.

Trên mô hình hình hộp chữ nhật, nhóm xác định mặt $(AA'B'B)$ chứa cạnh đứng $AA'$. Thực hiện Phiếu học tập số 1, phần 3: “Mặt $(P)$ chứa đường $d$ với $d\perp(Q)$. Hãy chứng minh $(P)\perp(Q)$. Trong hình hộp chữ nhật, mặt chứa cạnh đứng $AA'$ có vuông góc đáy không?” Sau đó HS làm ví dụ: Trong hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$, chứng minh $(ABB'A')\perp(ABCD)$.

Kiến thức rút ra: Nếu $(P)$ chứa một đường thẳng $d$ mà $d\perp(Q)$ thì $(P)\perp(Q)$. Lập luận mẫu: $AA'\subset(ABB'A')$ và $AA'\perp(ABCD)$ nên $(ABB'A')\perp(ABCD)$. Ví dụ hình lập phương: cạnh bên $AA'\perp(ABCD)$ và $AA'\subset(ABB'A')$, suy ra $(ABB'A')\perp(ABCD)$. Kết luận: Có, mặt chứa cạnh đứng vuông góc với đáy.

HS giải thích được tính chất: nếu hai mặt vuông góc, đường thẳng trong mặt này vuông góc giao tuyến thì vuông góc mặt kia; nhận ra không phải mọi đường trong mặt đều vuông góc mặt kia.

Thực hiện Phiếu học tập số 1, phần 4: Cho $(P)\perp(Q)$, giao tuyến $c$. Lấy $a\subset(P)$ với $a\perp c$. Hãy chứng minh $a\perp(Q)$ bằng cách dùng mô hình gấp bìa: dựng trong $(Q)$ đường vuông góc $c$ tại điểm $I$ và so sánh với $a$. Sau đó kiểm tra: trong mặt $(P)$, đường $c$ có vuông góc $(Q)$ không?

Kiến thức rút ra: Nếu $(P)\perp(Q)$ theo giao tuyến $c$, $a\subset(P)$, $a\perp c$ thì $a\perp(Q)$. Ghi chú phản ví dụ: đường giao tuyến $c$ thuộc cả $(P)$ và $(Q)$, nằm trong $(Q)$, nên không vuông góc $(Q)$. Kết luận: không phải mọi đường trong $(P)$ đều vuông góc $(Q)$, chỉ những đường vuông góc giao tuyến mới có tính chất này.

HS vận dụng điều kiện, tính chất và định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng để trả lời các câu hỏi trắc nghiệm, đánh giá mệnh đề và tính góc trong chóp đều.

HS làm Phiếu học tập số 2 gồm: (1) Tiêu chuẩn đủ để hai mặt $(P)$, $(Q)$ vuông góc là gì? A. Hai mặt có một điểm chung. B. $(P)$ chứa một đường vuông góc $(Q)$. C. $(P)$ chứa một đường song song $(Q)$. (2) Nếu $(P)\perp(Q)$ theo giao tuyến $c$, đường $a\subset(P)$ vuông góc $c$ thì sao? A. $a\parallel(Q)$ trong mọi trường hợp. B. $a$ trùng $c$. C. $a\perp(Q)$. (3) Trong hình lập phương, góc giữa mặt đáy $(ABCD)$ và mặt bên $(ABB'A')$ bằng bao nhiêu độ? (4) Chóp đều $S.ABCD$ có đáy vuông tâm $O$, $M$ là trung điểm $AB$, $SO=OM>0$. Tính góc nhị diện giữa $(SAB)$ và đáy. (5) Đánh giá đúng/sai: a) Hai mặt vuông góc thì mọi đường trong mặt thứ nhất đều vuông góc mặt thứ hai; b) Một mặt chứa đường vuông góc đáy thì vuông góc đáy; c) Góc giữa hai mặt phẳng lấy không tù; d) Góc nhị diện có thể là $120^\circ$. (6) Hai mặt $(P)$, $(Q)$ vuông góc, giao tuyến $c$. Đường $c$ so với $(Q)$ thế nào? A. Vuông góc $(Q)$. B. Song song $(Q)$. C. Nằm trong $(Q)$, không vuông góc $(Q)$.

Đáp án: (1) B; (2) C; (3) $90^\circ$ vì mặt bên chứa $AA'\perp(ABCD)$; (4) $45^\circ$ vì $SO\perp OM$, $SO=OM$ nên tam giác $SOM$ vuông cân tại $O$, góc $SMO=45^\circ$ (lập luận: $OM\perp AB$, $SM\perp AB$ nên góc giữa hai mặt là $\widehat{SMO}$); (5) a) S (chỉ đường vuông góc giao tuyến mới vuông góc mặt kia); b) Đ; c) Đ; d) Đ (góc nhị diện có thể tù, nhưng góc giữa hai mặt phẳng luôn không tù); (6) C (giao tuyến thuộc $(Q)$ nên không vuông góc $(Q)$).

HS mô hình hoá tình huống thực tế về mái nhà hình chóp đều và tường, nền nhà; chứng minh hai mặt vuông góc và tính góc giữa hai mặt phẳng.

Bối cảnh: Một mái nhà có dạng chóp đều $S.ABCD$ với đáy là hình vuông cạnh $a>0$, đỉnh $S$ có chiều cao $SO=\dfrac{a}{2}$, $O$ là tâm đáy. Yêu cầu 1: Tính góc giữa mặt bên $(SAB)$ và mặt đáy. Yêu cầu 2 (về nhà): Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA\perp(ABCD)$. Chứng minh $(SAB)\perp(ABCD)$ và $(SAD)\perp(ABCD)$.

Yêu cầu 1: Gọi $M$ là trung điểm $AB$, ta có $OM=\dfrac{a}{2}$ và $OM\perp AB$; tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $SM\perp AB$. Góc giữa $(SAB)$ và đáy là $\widehat{SMO}$. Trong tam giác vuông $SOM$ có $SO=OM=\dfrac{a}{2}$ nên $\widehat{SMO}=45^\circ$. Yêu cầu 2 (gợi ý lập luận): $SA\subset(SAB)$ và $SA\perp(ABCD)$ nên $(SAB)\perp(ABCD)$; tương tự $SA\subset(SAD)$ nên $(SAD)\perp(ABCD)$. Chấp nhận mọi cách giải và biểu thức tương đương đúng điều kiện.