Giáo án Bài 24. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Huy động hiểu biết thực tế về bóng và góc nghiêng; dẫn dắt HS tới khái niệm hình chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng với mặt phẳng.

GV đặt tình huống: một cột đèn thẳng đứng và một thanh xiên tựa trên mặt đất, ánh sáng mặt trời chiếu từ trên cao. HS quan sát hình minh hoạ trên máy chiếu và trả lời hai câu hỏi: (1) Bóng của cột đèn trên mặt đất có dạng gì? (2) Bóng của thanh xiên là đoạn thẳng nối hai điểm nào? Góc giữa thanh xiên và bóng của nó có đặc điểm gì?

HS nhận ra: bóng của cột đèn thẳng đứng trên mặt đất chỉ là một điểm (chân cột); bóng của thanh xiên là đoạn nối chân thanh với chân vuông góc hạ từ đầu trên của thanh xuống mặt đất; góc giữa thanh xiên và bóng nằm trong khoảng từ $0^\circ$ đến $90^\circ$. GV ghi lên bảng: “Bóng của đường thẳng vuông góc mặt phẳng là một điểm, bóng của đường xiên là hình chiếu của nó.”

HS nêu được định nghĩa phép chiếu vuông góc; xác định được hình chiếu của điểm và đoạn thẳng; giải thích được ảnh của đường vuông góc mặt phẳng là một điểm.

Hoạt động cặp đôi. Cho mặt phẳng $(P)$, điểm $S$ ngoài $(P)$ và $SH\perp(P)$ với $H\in(P)$. Lấy $A\in(P)$, $A\ne H$. Hỏi: (1) Hình chiếu của $S$ lên $(P)$ là điểm nào? (2) Hình chiếu của $A$ là điểm nào? Vì sao? (3) Hình chiếu của đoạn $SA$ là đoạn nào? (4) Tại sao hình chiếu của đường thẳng $SH$ là một điểm? GV hướng dẫn HS phát biểu định nghĩa phép chiếu vuông góc: phép chiếu song song theo phương vuông góc với mặt phẳng chiếu.

Kết luận HS viết vào vở: (a) Phép chiếu vuông góc lên $(P)$ là phép chiếu song song theo phương vuông góc với $(P)$. (b) $S\mapsto H$ vì $SH\perp(P)$; $A\mapsto A$ vì $A\in(P)$. (c) Hình chiếu của đoạn $SA$ là đoạn $AH$, nối hai chân vuông góc của hai đầu đoạn. (d) Đường thẳng $SH$ vuông góc $(P)$ nên hình chiếu của nó là điểm $H$. Kết luận chung: ảnh của đoạn là đoạn nối các hình chiếu của hai đầu đoạn; ảnh của đường vuông góc mặt phẳng là một điểm.

HS nêu được định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; nhận biết ba trường hợp góc $90^\circ$, $0^\circ$ và góc nằm trong khoảng $(0^\circ;90^\circ)$; xác định đúng góc (không lấy góc tại đỉnh $S$) và tính được trong ví dụ.

Hoạt động nhóm 4 người, dùng Phiếu học tập số 1. Các nhóm nghiên cứu định nghĩa góc giữa đường thẳng $d$ không vuông góc với $(P)$ và hình chiếu $d'$ của nó; xét ba trường hợp: đường vuông góc mặt, đường song song hoặc nằm trong mặt, đường xiên. Ví dụ: cho $H,A\in(P)$, $SH\perp(P)$ và $SH=AH>0$. Tìm góc giữa $SA$ và $(P)$. Sau đó các nhóm kiểm tra nhanh các câu trắc nghiệm trên trang bài học NeoEdu.

Kết luận HS ghi vào vở: (1) Góc giữa đường $d$ và $(P)$ là góc giữa $d$ và hình chiếu $d'$ của nó trên $(P)$. (2) Nếu $d\perp(P)$ thì góc bằng $90^\circ$; nếu $d$ song song hoặc nằm trong $(P)$ thì góc bằng $0^\circ$; nếu $d$ xiên thì góc nằm trong khoảng $(0^\circ;90^\circ)$. (3) Ví dụ: tam giác $SHA$ vuông cân tại $H$ nên $\angle SAH=45^\circ$, tức góc giữa $SA$ và $(P)$ bằng $45^\circ$. (4) Góc tại đỉnh $S$ (góc $ASH$) là góc giữa $SA$ và đường vuông góc $(P)$, không phải góc cần tìm.

HS vận dụng định nghĩa để tính góc và độ dài trong tam giác vuông; xác định đúng hình chiếu; chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng định lí ba đường vuông góc.

Hoạt động cặp đôi kết hợp làm việc nhóm. Phần A (cặp đôi, 8 phút): hoàn thành các câu trắc nghiệm 4, 5, 7 và câu đúng sai 8 trong Phiếu học tập số 2. Phần B (nhóm 4 người, 17 phút): giải bài 1 (mô hình $SH=3$, $HA=4$, $SA=5$), bài 9 (hình chóp $SABCD$ đáy vuông cạnh $a$, $SA=a\sqrt{2}$) và bài 10 (hình chóp $SABC$, $SA\perp(ABC)$, $AB\perp BC$, chứng minh $SB\perp BC$). Các câu đề đã ghi trong Phiếu học tập số 2.

Đáp án và lời giải tóm tắt HS cần đạt: Câu 4: B (hình chiếu của $SA$ là $AH$). Câu 5: C (góc $SAH$). Câu 7: $90^\circ$. Câu 8: a) Đúng; b) Sai, $\sin\angle SAH=SH/SA$; c) Đúng; d) Sai, góc giữa $SA$ và $(P)$ là $\angle SAH$. Bài 1: $\sin\alpha=SH/SA=3/5$, $5\sin\alpha=3$; $\cos\alpha=HA/SA=4/5$; góc $ASH$ không phải góc giữa $SA$ và $(P)$ vì nằm tại $S$ và bằng $90^\circ-\alpha$. Bài 9: $AC=a\sqrt{2}$ là hình chiếu của $SC$; tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$ nên $\angle SCA=45^\circ$. Bài 10: $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên đáy; $BC\perp AB$ và $BC$ nằm trong đáy nên theo định lí ba đường vuông góc $BC\perp SB$.

HS vận dụng kiến thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để giải quyết tình huống thực tế; rèn kĩ năng mô hình hoá và kiểm tra tính hợp lí của kết quả.

Tình huống: một cột cờ thẳng đứng cao $4$ m, vuông góc với mặt sân. Từ đỉnh cột kéo một sợi dây căng xuống điểm $A$ trên sân, cách chân cột $4$ m. Yêu cầu: (1) Vẽ hình và mô tả hình chiếu của dây trên mặt sân. (2) Tính góc giữa dây và mặt sân. (3) Tính độ dài sợi dây. (4) Nếu dời điểm $A$ ra xa hơn, góc giữa dây và sân thay đổi thế nào? Giải thích. Các nhóm trình bày nhanh trên bảng nhóm.

HS rút ra: (1) Hình chiếu của dây trên sân là đoạn nối chân cột $H$ với $A$. (2) Tam giác $SHA$ vuông cân tại $H$ vì $SH=HA=4$ m nên góc giữa dây và sân bằng $45^\circ$. (3) $SA=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$ m. (4) Khi $A$ ra xa hơn với $SH$ cố định, góc giữa dây và sân giảm dần vì $\tan\alpha=SH/AH$ giảm. Kiến thức chốt: góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc tại chân đường xiên trong tam giác vuông tạo bởi đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu.