Giáo án Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Tạo tình huống gợi vấn đề, giúp HS nhận ra cần đủ những điều kiện nào để khẳng định một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

GV đưa hình ảnh cột cờ đứng trên sân trường. HS làm việc cá nhân trong 2 phút để trả lời câu hỏi: "Khi chỉ được đặt thước lên mặt sân, làm thế nào để biết cột cờ vuông góc với mặt sân? Chỉ kiểm tra một đường thẳng trên sân có đủ không?"

HS nêu được: một đường thẳng trên sân chưa đủ vì cột có thể nghiêng về phía khác; cần kiểm tra ít nhất hai đường thẳng cắt nhau trên sân. Đây là vấn đề dẫn đến tiêu chuẩn đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Nêu được định nghĩa; phát hiện và giải thích được tiêu chuẩn $d\perp(P)$ khi $d$ vuông góc hai đường thẳng cắt nhau trong $(P)$.

Nhóm 4 HS dùng Phiếu học tập số 1 và mô hình hình chóp $S.ABC$ để thực hiện: (1) Nếu $SA$ vuông góc với $AB$ và $AC$ thì có kết luận gì về $SA$ với mặt phẳng $(ABC)$? (2) Nếu $SA$ chỉ vuông góc với $AB$, mô hình có cho thấy $SA$ không vuông góc $(ABC)$ không? (3) Nếu $SA$ vuông góc hai đường song song cùng nằm trong $(ABC)$ thì có đủ kết luận không? (4) Phát biểu định nghĩa và tiêu chuẩn bằng lời của nhóm.

Định nghĩa: đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$.
Tiêu chuẩn: nếu $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$, $b$ cùng nằm trong $(P)$ thì $d\perp(P)$.
Chưa đủ: chỉ vuông góc một đường, hoặc vuông góc hai đường song song trong $(P)$, vì hai đường song song chỉ cho một phương, không bảo đảm vuông góc mọi phương trong mặt.
Ví dụ: $SA\perp AB$ và $SA\perp AC$, $AB$ và $AC$ cắt nhau và cùng thuộc $(ABC)$ nên $SA\perp(ABC)$.

Nêu được và giải thích các tính chất cơ bản về quan hệ song song và vuông góc liên quan đến đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Nhóm dùng Phiếu học tập số 2 và mô hình, lần lượt xét năm nhận định: (a) Qua một điểm có duy nhất một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước. (b) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì quan hệ thế nào? (c) Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì quan hệ thế nào? (d) Nếu $a\parallel b$ và $a\perp(P)$ thì điều gì xảy ra với $b$? (e) Nếu $d\perp(P)$ và $a\subset(P)$ thì $d$ và $a$ có quan hệ gì?

(a) Qua một điểm cho trước có duy nhất một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước.
(b) Hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song hoặc trùng nhau.
(c) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
(d) Nếu $a\parallel b$ và $a\perp(P)$ thì $b\perp(P)$.
(e) Nếu $d\perp(P)$ và $a\subset(P)$ thì $d\perp a$.

Nêu được định nghĩa mặt phẳng trung trực và giải thích được tính chất các điểm thuộc mặt này cách đều hai đầu mút đoạn thẳng.

Cho đoạn thẳng $AB$ với trung điểm $O$. Lấy điểm $M$ bất kì sao cho $MA=MB$ và $M\neq O$. HS làm việc cặp đôi để trả lời: (1) Vì sao $MO\perp AB$? (2) Tập hợp các điểm $M$ như vậy trong không gian tạo thành hình gì? (3) Vì sao mọi điểm thuộc hình đó đều cách đều $A$ và $B$?

(1) Tam giác $MAB$ cân tại $M$, đường trung tuyến $MO$ đồng thời là đường cao nên $MO\perp AB$.
(2) Các điểm $M$ tạo thành mặt phẳng đi qua $O$ và vuông góc với $AB$, gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$.
(3) Với $M$ thuộc mặt này, theo định lí Pythagore: $MA^2=MO^2+OA^2=MO^2+OB^2=MB^2$, suy ra $MA=MB$.
Kết luận: mặt phẳng trung trực của $AB$ là tập hợp các điểm cách đều $A$ và $B$.

Vận dụng tiêu chuẩn và tính chất để xét tính đúng sai của nhận định, chọn đáp án và chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Chia lớp thành 3 nhóm theo kĩ thuật mảnh ghép, mỗi nhóm làm một nhiệm vụ rồi trình bày. Nhóm 1 làm Bài 5 (xét đúng sai bốn nhận định về quan hệ vuông góc và song song). Nhóm 2 làm Bài 8 (chọn đáp án đúng trong ba phương án). Nhóm 3 làm Bài 6 (chứng minh $BC\perp(SAB)$ với hình chóp $SABCD$ có đáy là hình chữ nhật và $SA\perp(ABCD)$). Có thể dùng bài tập tương tác trên học liệu số NeoEdu để kiểm tra đáp án.
Bài 5: a) $d\perp(P)$, $a\subset(P)$ thì $d\perp a$. b) $d\perp a$ và $d\perp b$ với $a\parallel b$ cùng nằm trong $(P)$ thì $d\perp(P)$. c) Điểm thuộc mặt phẳng trung trực của $AB$ cách đều $A$, $B$. d) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với $d$ thì song song.
Bài 8: Một đường thẳng $d$ vuông góc với $AB$ và $AC$, với $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng. Kết luận nào đúng? A. Chỉ $d\parallel(ABC)$. B. Chưa đủ vì $AB$ và $AC$ khác độ dài. C. $d\perp(ABC)$.

Bài 5: a) Đúng. b) Sai, vì hai đường song song trong $(P)$ chỉ cho một phương, chưa đủ. c) Đúng. d) Đúng, vì cùng vuông góc với một đường thì hai mặt phẳng song song.
Bài 8: Đáp án C. Vì $AB$ và $AC$ cắt nhau tại $A$ và cùng nằm trong $(ABC)$ nên $d\perp(ABC)$; không cần $AB=AC$.
Bài 6: Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp(ABCD)$ và $BC\subset(ABCD)$ nên $BC\perp SA$. Hai đường $AB$ và $SA$ cắt nhau tại $A$, cùng nằm trong $(SAB)$, do đó $BC\perp(SAB)$.

Vận dụng tiêu chuẩn đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để kiểm tra độ thẳng đứng của vật thể so với sàn trong tình huống thực tế.

Nhóm dùng dây dọi, thước và êke để kiểm tra một cột hoặc mép khung cửa vuông góc với sàn lớp học. Các bước: xác định chân cột $O$ trên sàn; chọn hai đường thẳng $a$, $b$ cắt nhau tại $O$ nằm trên sàn; kiểm tra cột có vuông góc với $a$ và $b$ không; kết luận. Nhiệm vụ về nhà: kiểm tra khung cửa sổ ở nhà và viết lập luận bằng ba câu.

Quy trình đúng: (1) Xác định chân cột $O$ trên sàn. (2) Chọn hai đường thẳng $a$, $b$ cắt nhau tại $O$ trên sàn. (3) Dùng êke hoặc dây dọi kiểm tra cột vuông góc với $a$ và $b$. (4) Kết luận: cột vuông góc với sàn vì vuông góc hai đường thẳng cắt nhau nằm trên sàn.