Giáo án Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc

Huy động kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng (cắt nhau, song song, chéo nhau) và tạo tình huống để HS nhận ra cần một cách đo góc không phụ thuộc việc hai đường có cắt nhau hay không.

GV đưa mô hình hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ và hỏi HS quan sát các cặp đường thẳng: AB và AD; AB và C′D′; AB và CC′. HS trả lời nhanh các câu hỏi: (1) AB và AD có cắt nhau không, có vuông góc không? (2) AB và C′D′ có song song không? (3) AB và CC′ có cắt nhau không? Liệu hai đường này có vuông góc không khi không cùng nằm trong một mặt phẳng?

• AB và AD cắt nhau tại A, là hai cạnh kề của mặt đáy, tạo góc $90^\circ$.
• AB ∥ C′D′ (cùng song song với DC), nên góc giữa chúng là $0^\circ$.
• AB và CC′ không cắt nhau (chéo nhau) vì không cùng nằm trong một mặt phẳng; tuy vậy có thể kết luận AB ⊥ CC′ do CC′ ∥ BB′ và AB ⊥ BB′.
• Kết luận nêu vấn đề: hai đường vuông góc có thể không cắt nhau; cần định nghĩa góc qua đường song song để đo được góc.

HS nêu được định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian bằng cách dựng hai đường thẳng song song qua một điểm, và nêu được khoảng giá trị của góc là $[0^\circ; 90^\circ]$.

HS hoạt động nhóm 4 hoàn thành Phiếu học tập số 1. Nhóm nhận hai đường thẳng chéo nhau a và b (ví dụ a = AB, b = CC′ hoặc a = AB, b = B′C′ trong hình lập phương). Các nhiệm vụ: (1) Qua một điểm O bất kì trong không gian, dựng a′ ∥ a và b′ ∥ b; nêu góc giữa a′ và b′ có phụ thuộc việc chọn O không. (2) Nếu hai đường song song với nhau thì góc giữa chúng bằng bao nhiêu? (3) Vì sao góc được chọn trong khoảng từ $0^\circ$ đến $90^\circ$ mà không lấy góc tù? Phiếu học tập số 1 được dùng trong hoạt động này.

• Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a′, b′ cùng đi qua một điểm O và lần lượt song song với a, b. Góc này là góc không tù, nằm trong $[0^\circ; 90^\circ]$.
• Góc không phụ thuộc vào việc chọn điểm O (vì đổi O không đổi phương của a′, b′).
• Nếu a ∥ b hoặc a trùng b thì góc giữa chúng bằng $0^\circ$.
• Nếu a ⊥ b thì góc giữa chúng bằng $90^\circ$; khi đó ta ký hiệu $a \perp b$. Hai đường vuông góc có thể chéo nhau.
• Ví dụ: góc giữa AB và CC′ trong hình lập phương bằng góc giữa AB và BB′, tức là $90^\circ$.

HS vận dụng được phương pháp thay một đường bằng đường song song để tính góc trong tam giác hoặc hình vuông, qua ví dụ trong hình lập phương; giải thích được vì sao phép thay này không làm đổi góc.

Cả lớp quan sát ví dụ: Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, tìm góc giữa AB và A′D′. Sau đó nhóm đôi giải tiếp: tìm góc giữa AB và B′D′. HS dùng học liệu số NeoEdu (bài giảng, ví dụ tương tác) để kiểm tra. Các câu hỏi GV đặt ra: (1) Vì sao A′D′ ∥ AD và góc giữa AB và A′D′ bằng góc giữa AB và AD? (2) Vì sao B′D′ ∥ BD và góc giữa AB và BD bằng $45^\circ$? (3) Thay một đường bằng đường song song có làm đổi góc không?

• Ví dụ: A′D′ ∥ AD, AB ⊥ AD nên góc giữa AB và A′D′ bằng $90^\circ$.
• Vì B′D′ ∥ BD, góc giữa AB và B′D′ bằng góc giữa AB và BD. Trong tam giác ABD vuông cân tại A, ta có $\widehat{ABD} = 45^\circ$. Vậy góc giữa AB và B′D′ bằng $45^\circ$.
• Kiến thức rút ra: Muốn tính góc giữa hai đường thẳng, ta đưa một đường (hoặc cả hai) về vị trí song song với đường khác qua một điểm, rồi tính góc trong tam giác/hình phẳng. Thay đường bằng đường song song không đổi góc.
• Lưu ý: không đo góc trực tiếp trên hình biểu diễn xiên.

HS củng cố định nghĩa góc giữa hai đường thẳng, điều kiện vuông góc, khoảng giá trị của góc; đánh giá đúng sai các khẳng định và lựa chọn đáp án có lập luận.

HS làm việc cá nhân rồi đối chiếu theo cặp với Phiếu học tập số 2. Bài tập gồm: (1) Hai đường chéo nhau có thể vuông góc không? A. Mọi cặp chéo nhau đều vuông góc; B. Có, nếu góc giữa hai phương bằng $90^\circ$; C. Không, vì vuông góc bắt buộc cắt nhau. (2) Góc giữa hai đường thẳng được chọn trong khoảng nào? A. $[0^\circ; 180^\circ]$; B. $(90^\circ; 180^\circ]$; C. $[0^\circ; 90^\circ]$. (3) Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, góc giữa AB và AD là bao nhiêu độ? (4) Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, góc giữa AB và B′D′ bằng bao nhiêu độ? (5) Đánh giá đúng (Đ) hoặc sai (S): a) a ∥ b thì góc giữa a, b bằng $0^\circ$; b) a ⊥ b và b ∥ c thì a ⊥ c; c) Hai đường vuông góc phải cùng nằm trong một mặt phẳng; d) Hai đường cùng vuông góc một đường thì luôn song song. (6) Trong hình vuông ABCD, góc giữa AC và BD là gì? A. $45^\circ$; B. $0^\circ$; C. $90^\circ$.

Đáp án và lí do:

• Câu 1: B. Định nghĩa góc dựa trên đường song song qua một điểm, không cần hai đường cắt nhau.
• Câu 2: C. Góc giữa hai đường là góc không tù, nằm trong $[0^\circ; 90^\circ]$.
• Câu 3: $90^\circ$. AB và AD là hai cạnh kề của hình vuông đáy.
• Câu 4: $45^\circ$. B′D′ ∥ BD; đường chéo BD của hình vuông tạo với cạnh AB góc nhọn $45^\circ$.
• Câu 5: a) Đ (góc $0^\circ$ khi song song). b) Đ (góc giữa a và c bằng góc giữa a và b, bằng $90^\circ$). c) S (hai đường vuông góc có thể chéo nhau, không cùng mặt phẳng). d) S (trong không gian, nhiều đường cùng vuông góc một đường nhưng không song song với nhau).
• Câu 6: C. Hai đường chéo của hình vuông vuông góc tại tâm.

HS vận dụng định nghĩa và phương pháp đưa về đường song song để chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong hình lập phương, đồng thời dựng phản ví dụ để bác bỏ một khẳng định, gắn với mô hình khung giá sách.

Nhóm 4 hoàn thành hai nhiệm vụ: (1) Trong hình lập phương ABCD.A′B′C′D′, chứng minh AB ⊥ CC′ theo định nghĩa góc giữa hai đường thẳng. Gợi ý: chọn đường song song với CC′ qua điểm thích hợp. (2) Hai đường a và b cùng vuông góc với đường c. Hãy chỉ ra một ví dụ cụ thể trong hình hộp chữ nhật để chứng tỏ a và b chưa chắc song song. Tình huống thực tế: khung giá sách hình hộp chữ nhật có các thanh đứng, thanh ngang và thanh chéo; nhóm xác định hai thanh nào vuông góc với nhau nhưng không song song và không cắt nhau.

• Nhiệm vụ 1: CC′ ∥ AA′ (cùng là cạnh bên). AB ⊥ AA′ vì AB và AA′ là hai cạnh kề của mặt bên ABB′A′ là hình vuông/chữ nhật. Suy ra góc giữa AB và CC′ bằng góc giữa AB và AA′, tức là $90^\circ$. Vậy AB ⊥ CC′, và AB, CC′ chéo nhau.
• Nhiệm vụ 2: Chọn a = AB, b = AD, c = AA′ trong hình hộp chữ nhật. Ta có AB ⊥ AA′ và AD ⊥ AA′, nhưng AB và AD cắt nhau tại A và không song song. Vậy “hai đường cùng vuông góc với một đường” chưa đủ để kết luận song song.
• Ứng dụng: Các thanh đứng và thanh ngang trên khung giá sách có thể vuông góc và chéo nhau trong không gian; kiểm tra bằng định nghĩa góc, không chỉ bằng nhìn trực quan.