Giáo án Bài tập cuối chương VI

Giúp HS nhớ lại điều kiện xác định của lũy thừa mũ thực và lôgarit, xác định được vấn đề cần ôn trong tiết học.

GV chiếu ba biểu thức: $a^{\sqrt{2}}$ với $a=-2$; $\log_{a}5$ với $a=1$; $\ln(x-2)$. HS trả lời nhanh các câu hỏi: (1) Biểu thức nào có nghĩa? (2) Vì sao $(-2)^{\sqrt{2}}$ không được xét? (3) Với $\ln(x-2)$, điều kiện của $x$ là gì? GV hỏi thêm: Điều kiện xác định có được bỏ qua khi biến đổi phương trình không?

HS nêu được: $(-2)^{\sqrt{2}}$ không xác định vì cơ số phải dương; $\log_{1}5$ không xác định vì cơ số phải khác 1; $\ln(x-2)$ xác định khi $x-2>0$, tức $x>2$. HS kết luận: biến đổi không được làm mất điều kiện xác định, nghiệm phải đối chiếu với điều kiện ban đầu.

HS hệ thống hoá điều kiện xác định, các tính chất lũy thừa và lôgarit thường dùng; biết chọn cách biến đổi tương đương đúng điều kiện.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 1, hoàn thành các ô trống:

• Điều kiện cơ số và đối số của $a^{x}$ và $\log_{a}b$.
• Các đẳng thức: $\log_{a}(bc)$, $\log_{a}\dfrac{b}{c}$, $\log_{a}b^{\alpha}$, $a^{m}\cdot a^{n}$, $(a^{m})^{n}$.
• Quan hệ mũ–lôgarit: $a^{\log_{a}b}$ và $\log_{a}(a^{x})$.
  Câu hỏi gợi mở: Khi gộp $\log_{a}b+\log_{a}c$ thành $\log_{a}(bc)$, điều kiện của $b,c$ có thay đổi không? Vì sao $\log_{3}(x^2)$ và $2\log_{3}x$ không hoàn toàn giống nhau?

HS hoàn thành phiếu và rút ra kiến thức: (1) $a>0$, $a\ne 1$ với $\log_{a}b$; $b>0$. (2) $\log_{a}(bc)=\log_{a}b+\log_{a}c$ với $b,c>0$; $\log_{a}\dfrac{b}{c}=\log_{a}b-\log_{a}c$ với $b,c>0$. (3) $\log_{a}b^{\alpha}=\alpha\log_{a}b$ với $b>0$. (4) $a^{\log_{a}b}=b$ với $b>0$. Kết luận: $\log_{3}(x^2)=2\log_{3}x$ chỉ đúng khi $x>0$, vì điều kiện của vế trái ($x\ne 0$) rộng hơn vế phải ($x>0$).

HS nắm được phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit dựa trên tính đơn điệu, đặt ẩn phụ với điều kiện $t>0$ và ghi đúng mốc, đơn vị, tỉ lệ trong mô hình.

GV trình bày ba ví dụ ngắn trên bảng, HS theo dõi và trả lời:
(a) Giải $3^{x}<\dfrac{1}{9}$: viết $\dfrac{1}{9}=3^{-2}$, cơ số $3>1$ nên $x<-2$.
(b) Giải $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x}<3$: cơ số $\dfrac{1}{3}<1$ nên bất phương trình đảo chiều khi so sánh số mũ.
(c) Giải $4^{x}-3\cdot 2^{x}+2=0$: đặt $t=2^{x}$, $t>0$, được $t^2-3t+2=0$, $t=1$ hoặc $t=2$, suy ra $x=0$ hoặc $x=1$.
Câu hỏi: Vì sao ở (c) phải loại nghiệm $t\le 0$? Trong mô hình tăng giảm, cần ghi những gì trước khi lập hàm số?

HS rút ra: (1) Cơ số $a>1$ thì $a^{f(x)}<a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)<g(x)$; cơ số $0<a<1$ thì chiều bất đẳng thức đảo lại. (2) Đặt ẩn phụ $t=2^{x}$ phải có $t>0$, do đó loại $t\le 0$; nghiệm: $x=0$ và $x=1$. (3) Mô hình $y=y_0\cdot r^{t}$: ghi rõ mốc $t=0$, đơn vị thời gian, tỉ lệ $r$ mỗi kì (ví dụ giảm 20% mỗi giờ thì $r=0{,}8$).

HS vận dụng nhanh tính chất lũy thừa, lôgarit và tính đơn điệu để chọn đáp án đúng, đồng thời giải thích lựa chọn của mình.

Các đội chơi trò 'Chọn đúng – giải thích nhanh'. GV chiếu bốn câu trắc nghiệm trên học liệu số NeoEdu (bài tập tương tác) hoặc trên bảng:

1. $27^{2/3}$ bằng gì? A. $18$; B. $9$; C. $6$.
2. $\log_{5}\left(\dfrac{1}{25}\right)$ bằng gì? A. $2$; B. $-\dfrac{1}{2}$; C. $-2$.
3. Miền xác định của $y=\ln(4-x)$ là gì? A. $(-\infty;4)$; B. $(-\infty;4]$; C. $(4;+\infty)$.
4. Giải $3^{x}<\dfrac{1}{9}$. A. $x<2$; B. $x<-2$; C. $x>-2$.
   Mỗi đội giơ thẻ A, B, C và một bạn giải thích ngắn.

Đáp án và lời giải:

1. Đáp án B: $27^{2/3}=(\sqrt[3]{27})^2=3^2=9$.
2. Đáp án C: $5^{-2}=\dfrac{1}{25}$ nên $\log_{5}\dfrac{1}{25}=-2$.
3. Đáp án A: $4-x>0$ nên $x<4$, miền là $(-\infty;4)$.
4. Đáp án B: $\dfrac{1}{9}=3^{-2}$, cơ số $3>1$ giữ nguyên chiều nên $x<-2$.

HS giải các bài tập tự luận về lôgarit, phương trình và bất phương trình mũ, lôgarit, kiểm tra điều kiện và chấp nhận các cách giải tương đương đúng.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 2, giải các bài:
5. Tính $\log_{3}2+\log_{3}\dfrac{27}{2}$.
6. Giải $\log_{3}(x+2)=2$.
7. Giải $5^{2x-1}=125$.
8. Mô hình lượng chất ban đầu 160 g, còn một nửa mỗi 2 giờ. Sau 6 giờ còn bao nhiêu gam?
9. Giải $\ln(x-2)+\ln x=\ln 3$.
10. Giải $\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x^2-1}\le\dfrac{1}{9}$.
Yêu cầu: Ghi điều kiện trước khi biến đổi, kiểm tra nghiệm với điều kiện.

Đáp án và lời giải:
5. $\log_{3}2+\log_{3}\dfrac{27}{2}=\log_{3}27=3$.
6. Điều kiện $x+2>0$; $x+2=9$ nên $x=7$ (thỏa mãn).
7. $2x-1=3$ nên $x=2$.
8. Sau 6 giờ tức 3 chu kì: $160\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}=20$ g.
9. Điều kiện $x>2$; $\ln[x(x-2)]=\ln 3$ nên $x^2-2x-3=0$, $x=3$ hoặc $x=-1$; chỉ $x=3$ thỏa điều kiện. Đáp số $x=3$.
10. $\dfrac{1}{9}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}$, cơ số $\dfrac{1}{3}<1$ nên đảo chiều: $x^2-1\ge 2$, tức $x^2\ge 3$. Tập nghiệm $x\le -\sqrt{3}$ hoặc $x\ge \sqrt{3}$.

HS vận dụng mô hình hàm số mũ giảm theo tỉ lệ mỗi kì để giải bài toán thực tế và giải thích kết quả bằng điều kiện của bất phương trình.

Đề bài: Sau khi uống một liều thuốc, lượng thuốc trong máu của bệnh nhân là $500$ mg lúc $t=0$ (lúc uống thuốc). Mỗi giờ, lượng thuốc còn lại bằng $0{,}8$ lượng thuốc của giờ trước (giảm 20% mỗi giờ). Gọi $y$ (mg) là lượng thuốc còn lại sau $t$ giờ.
a) Viết công thức $y$ theo $t$.
b) Sau bao nhiêu giờ thì lượng thuốc còn lại không vượt quá $100$ mg? Lấy số giờ nguyên.
c) Giải thích vì sao phải dùng bất phương trình thay vì tính một giá trị cố định.

a) $y=500\cdot 0{,}8^{t}$ với $t\ge 0$, đơn vị $t$ là giờ.
b) Cần $500\cdot 0{,}8^{t}\le 100$, tức $0{,}8^{t}\le 0{,}2$. Vì cơ số $0{,}8<1$ nên $t\ge \log_{0{,}8}0{,}2=\dfrac{\ln 0{,}2}{\ln 0{,}8}\approx 7{,}2$. Kiểm tra: sau 7 giờ $y\approx 104{,}9$ mg (chưa đạt), sau 8 giờ $y\approx 83{,}9$ mg (đạt). Vậy sau 8 giờ.
c) Bất phương trình cho biết khoảng thời gian (mọi thời điểm từ mốc đó trở đi) để lượng thuốc đạt ngưỡng an toàn, chứ không chỉ một thời điểm.