Giáo án Bài 21. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Huy động kiến thức lũy thừa và lôgarit đã học, giúp HS nhận ra nhu cầu phải có điều kiện xác định khi giải phương trình chứa mũ và lôgarit.

GV đưa ra hai câu hỏi trên máy chiếu:

• Câu 1: Tìm $x$ sao cho $2^x=8$.
• Câu 2: Biểu thức $\log_2(x-1)$ có nghĩa khi nào?
  HS suy nghĩ cá nhân trong khoảng 1 phút, sau đó trả lời miệng.

Câu 1: $x=3$ vì $2^3=8$.
Câu 2: $\log_2(x-1)$ có nghĩa khi $x-1>0$, tức $x>1$.
Kết luận sơ bộ: khi giải phương trình lôgarit phải đặt điều kiện trước, sau đó kiểm tra nghiệm với điều kiện đó.

HS nêu và giải thích được cách giải phương trình $a^{f(x)}=a^{g(x)}$ và $a^{f(x)}=b$ với $b>0$.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1, phần A. Nhiệm vụ:

• Giải phương trình $3^{x-1}=9$ bằng cách đưa về cùng cơ số 3.
• Giải phương trình $2^{2x}=16$ bằng cách đưa 16 về lũy thừa của 2.
• Trả lời: Vì sao có thể kết luận $f(x)=g(x)$ khi $a^{f(x)}=a^{g(x)}$, với $a>0$, $a\ne 1$?
• Với phương trình $a^{f(x)}=b$, vì sao phải có $b>0$? Nêu cách giải bằng lôgarit.
  GV dùng kĩ thuật “Phòng tranh”: nhóm ghi kết quả lên bảng nhóm để đối chiếu.

Kết quả: $3^{x-1}=9=3^2$ nên $x-1=2$, $x=3$. $2^{2x}=16=2^4$ nên $2x=4$, $x=2$.
Kiến thức rút ra:

• Với $a>0$, $a\ne 1$: $a^{f(x)}=a^{g(x)}\Leftrightarrow f(x)=g(x)$ (trong miền xác định).
• Với $a>0$, $a\ne 1$: $a^{f(x)}=b$ có nghiệm khi và chỉ khi $b>0$; khi đó $f(x)=\log_a b$.
  Ví dụ minh họa: $3^x=5$ có nghiệm $x=\log_3 5$ vì $5>0$.

HS nêu được điều kiện xác định và giải thích được cách giải phương trình $\log_a f(x)=b$, $\log_a f(x)+\log_a g(x)=b$ bằng biến đổi tương đương.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 1, phần B:

• Giải phương trình $\log_2(x-1)=3$. Nêu điều kiện trước khi giải và kiểm tra nghiệm.
• Với $\log_a f(x)=b$, nêu điều kiện và dạng tương đương.
• Nhận xét vì sao khi gộp $\log_2(x-1)+\log_2(x+1)$ thành $\log_2[(x-1)(x+1)]$ phải xét điều kiện cả hai đối số dương.

Lời giải: điều kiện $x-1>0$, tức $x>1$. Ta có $\log_2(x-1)=3\Leftrightarrow x-1=2^3=8$, suy ra $x=9$; $x=9>1$ thỏa mãn.
Kiến thức rút ra:

• Với $\log_a f(x)=b$: điều kiện $f(x)>0$, và $\log_a f(x)=b\Leftrightarrow f(x)=a^b$.
• Khi gộp hai lôgarit cùng cơ số, cần $f(x)>0$ và $g(x)>0$ trước khi biến đổi.
• Luôn kiểm tra nghiệm với điều kiện của biểu thức gốc.

HS giải thích được quy tắc đổi chiều bất phương trình theo cơ số $a>1$ hoặc $0<a<1$, và vận dụng được phương pháp đặt ẩn phụ $t=a^x>0$.

GV tổ chức kĩ thuật “Khăn trải bàn”: mỗi nhóm 4 HS, khăn chia 4 ô (ô giữa là kết luận chung). Mỗi HS ghi lời giải một đề vào ô của mình:

• Ví dụ: Giải $5^{x+1}\le 25$.
• Giải $(1/2)^x>4$.
• Giải $\log_{1/2}(x-1)\ge -1$.
• Giải $4^x-5\cdot 2^x+4=0$ bằng cách đặt $t=2^x$.
  Sau đó, HS so sánh lời giải của các ô và viết kết luận chung vào ô giữa.

Lời giải:

• $5^{x+1}\le 25=5^2$; vì $5>1$ nên $x+1\le 2$, tức $x\le 1$.
• $(1/2)^x>4=(1/2)^{-2}$; vì $0<\dfrac{1}{2}<1$ nên đổi chiều: $x<-2$.
• $\log_{1/2}(x-1)\ge -1$, điều kiện $x>1$; vì cơ số $\dfrac{1}{2}<1$ nên $x-1\le \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-1}=2$, suy ra $1<x\le 3$.
• Đặt $t=2^x>0$, $4^x=t^2$: $t^2-5t+4=0\Leftrightarrow (t-1)(t-4)=0$, cả hai nghiệm $t=1$ và $t=4$ đều dương; suy ra $x=0$ hoặc $x=2$.
  Kết luận chung: với $a>1$ giữ chiều bất phương trình; với $0<a<1$ đổi chiều; khi đặt ẩn phụ $t=a^x$ phải có $t>0$.

HS củng cố kiến thức qua các câu trắc nghiệm và đánh giá đúng sai các bước giải.

HS làm Phiếu học tập số 2, phần A (bài 1 đến bài 5) theo nhóm 4 đi qua 3 trạm trong lớp: Trạm 1 (trắc nghiệm bài 1, 2); Trạm 2 (điền nghiệm bài 3, 4); Trạm 3 (đánh giá đúng sai bài 5). Mỗi trạm 4 phút, nhóm luân chuyển khi GV báo hiệu.

Đề và đáp án:

1. Nghiệm của $3^{x-1}=9$ là $x=3$. Đáp án B.
2. Giải $(1/2)^x>4$ được $x<-2$. Đáp án C.
3. Giải $\log_2(x-1)=3$: nghiệm $x=9$ (thỏa $x-1>0$).
4. Giải $2^{2x}=16$: nghiệm $x=2$.
5. Đánh giá:
   a) $\log_2(x-1)$ cần $x>1$: Đúng.
   b) Với $0<a<1$, $a^u<a^v\Leftrightarrow u>v$: Đúng.
   c) Đặt $t=3^x$ có thể nhận $t=-1$: Sai, vì $t=3^x>0$.
   d) $\log_2 x=\log_2(x+1)$ có nghiệm thực: Sai, vì đồng nhất đối số cho $x=x+1$ vô lí nên phương trình vô nghiệm.

HS vận dụng linh hoạt điều kiện xác định, gộp lôgarit, đặt ẩn phụ và đổi chiều bất phương trình để giải các bài tập tổng hợp.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 2, phần B (bài 6, 7, 8). Mỗi HS giải một bài, các HS còn lại kiểm tra và góp ý. Nhóm thống nhất lời giải để trình bày trên bảng nhóm.

• Bài 6: Giải $\log_2(x-1)+\log_2(x+1)=3$.
• Bài 7: Giải $4^x-5\cdot 2^x+4=0$.
• Bài 8: Giải $\log_{1/2}(x-1)\ge -1$. Chọn đáp án đúng trong các phương án A: $x\ge 3$; B: $x\le 3$; C: $1<x\le 3$.

Đáp án và lời giải:

• Bài 6: Điều kiện $x>1$. Ta có $\log_2[(x-1)(x+1)]=3$, suy ra $x^2-1=8$, $x=\pm 3$. Chỉ $x=3$ thỏa mãn điều kiện; loại $x=-3$. Đáp số: $x=3$.
• Bài 7: Đặt $t=2^x>0$, $4^x=t^2$, phương trình trở thành $t^2-5t+4=0$, $t=1$ hoặc $t=4$, đều thỏa mãn $t>0$. Suy ra $x=0$ hoặc $x=2$.
• Bài 8: Đáp án C. Điều kiện $x>1$; cơ số $\dfrac{1}{2}<1$ nên $x-1\le 2$, suy ra $1<x\le 3$.
  Kiến thức rút ra: kiểm tra điều kiện từng đối số, đổi chiều bất phương trình với cơ số nhỏ hơn 1, loại nghiệm không thỏa mãn điều kiện đặt ẩn.

HS chuyển bài toán thực tế về phương trình mũ, giải và kiểm tra tính hợp lí của kết quả trong bối cảnh.

GV nêu tình huống: Số lượng vi khuẩn trong một mẫu nuôi cấy sau $t$ giờ được mô tả bởi công thức $N(t)=50\cdot 2^t$, với $t\ge 0$.
Câu hỏi:

• Sau bao nhiêu giờ thì số vi khuẩn đạt 1600 con?
• Vì sao không thể có $t<0$ trong bối cảnh này?
  HS làm việc theo cặp đôi, sau đó đối chiếu kết quả trên học liệu NeoEdu (phần bài tập tương tác của bài 21) nếu lớp có thiết bị.

Lời giải: $50\cdot 2^t=1600\Leftrightarrow 2^t=32=2^5\Leftrightarrow t=5$.
Kết luận: sau 5 giờ số vi khuẩn đạt 1600 con.
Kiểm tra tính hợp lí: $t=5\ge 0$ phù hợp với ý nghĩa thời gian; $t<0$ không có ý nghĩa thực tế.