Giáo án Bài 20. Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Huy động kinh nghiệm về lũy thừa và logarit để HS nhận ra nhu cầu xây dựng hàm số mũ và hàm số lôgarit; xác định vấn đề cần giải quyết trong bài học.

GV nêu tình huống: một nhóm vi khuẩn cứ sau mỗi giờ thì số lượng nhân đôi; ban đầu có 1 con. Gọi $x$ là số giờ, $y$ là số vi khuẩn, ta có $y=2^x$.
GV đặt câu hỏi:

• Sau 0 giờ, 1 giờ, 2 giờ, 3 giờ có bao nhiêu con? Điền vào bảng $x\in\{0;1;2;3\}$.
• Có thể có $x$ âm không? Vì sao?
• Muốn số vi khuẩn đạt 8 con thì cần bao nhiêu giờ? Số $x$ đó được viết như thế nào bằng kí hiệu toán học?
• Nếu biết số vi khuẩn là 5 con thì tìm $x$ bằng cách nào? Có tìm được không bằng phép tính đơn giản?

Bảng giá trị: $x=0$ thì $y=1$; $x=1$ thì $y=2$; $x=2$ thì $y=4$; $x=3$ thì $y=8$.
Kết luận sơ bộ: $y=2^x$ luôn dương với mọi $x$ được xét; $2^x=8$ có nghiệm $x=3$ vì $8=2^3$.
Nhận định mở đầu: để giải $2^x=5$ ta cần một phép toán ngược của lũy thừa, đó là lôgarit $x=\log_2 5$. Đây là lí do cần học hàm số mũ và hàm số lôgarit.

Nêu được tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu, điểm đi qua và tiệm cận của hàm số mũ $y=a^x$ với $a>0,\ a\ne1$; phân biệt trường hợp đồng biến và nghịch biến.

Nhóm 4 HS làm việc trên khăn trải bàn theo kĩ thuật khăn trải bàn, hoàn thành Phiếu học tập số 1.
Nhiệm vụ: lập bảng giá trị của $y=2^x$ và $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$ với $x\in\{-2;-1;0;1;2\}$; nhận xét tính đơn điệu, điểm đi qua, dấu của $y$, tiệm cận ngang.
GV chốt công thức tổng quát $a>0$, $a\ne1$ sau khi HS hoàn thành.

Bảng giá trị:

• $y=2^x$: $(-2;\dfrac{1}{4})$, $(-1;\dfrac{1}{2})$, $(0;1)$, $(1;2)$, $(2;4)$.
• $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$: $(-2;4)$, $(-1;2)$, $(0;1)$, $(1;\dfrac{1}{2})$, $(2;\dfrac{1}{4})$.
  Kiến thức HS rút ra: với $a>0,\ a\ne1$, hàm $y=a^x$ có tập xác định $\mathbb{R}$, tập giá trị $(0;+\infty)$, luôn đi qua $(0;1)$, đồng biến khi $a>1$ (ví dụ $y=2^x$), nghịch biến khi $0<a<1$ (ví dụ $y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x$). Đồ thị không cắt trục hoành và có tiệm cận ngang $y=0$.

Nêu được tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu, điểm đi qua và tiệm cận đứng của hàm số $y=\log_a x$; giải thích được quan hệ đối xứng với hàm mũ qua $y=x$ và tìm được miền xác định của hàm có đối số là biểu thức.

Nhóm 4 HS làm Phiếu học tập số 2 theo kĩ thuật khăn trải bàn (hoặc mảnh ghép: mỗi HS nhận một nhiệm vụ rồi về nhóm báo cáo).
Nhiệm vụ 1: lập bảng giá trị của $y=\log_2 x$ với $x\in\left\{\dfrac{1}{2};1;2;4;8\right\}$.
Nhiệm vụ 2: nêu miền xác định, tập giá trị, điểm đi qua, tiệm cận đứng.
Nhiệm vụ 3: so sánh đồ thị $y=2^x$ và $y=\log_2 x$ trên cùng một hệ trục tỉ lệ; giải thích vì sao đối xứng qua $y=x$.
Nhiệm vụ 4: tìm miền xác định của $y=\log_2(x-3)$.

Bảng giá trị $y=\log_2 x$: $x=\dfrac{1}{2}$ thì $y=-1$; $x=1$ thì $y=0$; $x=2$ thì $y=1$; $x=4$ thì $y=2$; $x=8$ thì $y=3$.
Kiến thức HS rút ra: với $a>0,\ a\ne1$, hàm $y=\log_a x$ có tập xác định $(0;+\infty)$, tập giá trị $\mathbb{R}$, đi qua $(1;0)$, đồng biến khi $a>1$ và nghịch biến khi $0<a<1$; đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$.
Hai hàm $y=a^x$ và $y=\log_a x$ là hai hàm ngược nhau nên đồ thị đối xứng qua đường thẳng $y=x$; điểm $(0;1)$ của hàm mũ đổi thành $(1;0)$ của hàm lôgarit.
Với $y=\log_2(x-3)$: điều kiện $x-3>0$, tức $x>3$, miền xác định là $(3;+\infty)$.

Vận dụng được tính chất đơn điệu, điểm đi qua, miền xác định của hàm mũ và hàm lôgarit để trả lời các câu hỏi trắc nghiệm và đánh giá khẳng định đúng sai; giải thích được lập luận.

Cặp đôi làm các bài sau, dùng thẻ A, B, C, D để giơ đáp án và giải thích ngắn.
Bài 1: Hàm nào nghịch biến trên toàn miền của nó? A. $y=3^x$; B. $y=\log_3 x$; C. $y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$.
Bài 2: Miền xác định của $y=\log_2(x-3)$ là gì? A. $\mathbb{R}$; B. $(3;+\infty)$; C. $[3;+\infty)$.
Bài 3: Đồ thị $y=2^x$ có tung độ bằng 8 tại hoành độ nào?
Bài 4: Đồ thị $y=\log_3 x$ có tung độ bằng 2 tại hoành độ nào?
Bài 5: Đồ thị $y=\log_5 x$ đi qua điểm nào? A. $(0;1)$; B. $(5;0)$; C. $(1;0)$.
Bài 6: Xét các hàm cùng cơ số $a>0,\ a\ne1$, đánh giá Đúng (Đ) hoặc Sai (S): a) $a^x>0$ với mọi $x$; b) $\log_a x$ được xác định tại $x=0$; c) $a^x$ và $\log_a x$ có đồ thị đối xứng qua $y=x$; d) với $0<a<1$, $\log_a x$ đồng biến.

Đáp án và lí do:

• Bài 1: C. Cơ số $\dfrac{1}{3}\in(0;1)$ nên $y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$; hai hàm cơ số 3 đều đồng biến.
• Bài 2: B. Điều kiện $x-3>0$ suy ra $x>3$.
• Bài 3: $x=3$ vì $2^x=8=2^3$.
• Bài 4: $x=9$ vì $\log_3 x=2$ tương đương $x=3^2=9>0$.
• Bài 5: C. $\log_5 1=0$ nên đi qua $(1;0)$; điểm $(0;1)$ không thuộc miền xác định.
• Bài 6: a) Đ; b) S (lôgarit chỉ xác định khi $x>0$); c) Đ (hai hàm ngược nhau); d) S (với $0<a<1$ thì nghịch biến).
  GV yêu cầu HS nêu một câu giải thích cho mỗi đáp án trước khi công bố.

Vận dụng được tập xác định, tập giá trị và tiệm cận của hàm $y=a^{x-h}+k$ để mô tả và giải thích một tình huống thực tế; kiểm tra tính hợp lí của kết quả.

Tình huống: số lượng một loại vi sinh trong bể sau $x$ giờ được mô tả bằng $y=2^{x-1}+3$ (đơn vị: nghìn con), với $x\ge0$ là số giờ kể từ lúc bắt đầu theo dõi.
Nhiệm vụ nhóm (2 HS một cặp, làm trong 8 phút, trình bày 4 phút):

1. Tìm miền xác định và tập giá trị của hàm số.
2. Giải thích vì sao số lượng vi sinh không bao giờ nhỏ hơn 3 nghìn con.
3. Nêu cách đồ thị $y=2^{x-1}+3$ thu được từ đồ thị $y=2^x$ và phương trình tiệm cận ngang.
4. Nêu hạn chế của mô hình khi $x$ rất lớn (có ý kiến thực tế, không cần tính toán thêm).

Miền xác định: $\mathbb{R}$ (với hàm số đã cho); tập giá trị: $(3;+\infty)$ vì $2^{x-1}>0$ với mọi $x$ và nhận mọi giá trị dương, nên $y=2^{x-1}+3>3$.
Giải thích: số lượng luôn lớn hơn 3 nghìn, không đạt đúng 3 nghìn; tiệm cận ngang là đường thẳng $y=3$.
Đồ thị: dịch đồ thị $y=2^x$ sang phải 1 đơn vị rồi lên trên 3 đơn vị.
Kiểm tra hợp lí: mô hình chỉ phù hợp trong khoảng thời gian dự đoán, không dùng cho $x$ rất lớn nếu không có dữ liệu bổ sung.