Giáo án Bài 19. Lôgarit

Huy động kiến thức lũy thừa đã học để HS nhận ra cần một kí hiệu mới khi số mũ chưa là số nguyên, từ đó xác định nhiệm vụ học tập của bài.

HS tìm $x$ trong các phương trình: a) $2^x=8$; b) $3^x=27$; c) $2^x=\dfrac{1}{4}$. Sau đó HS suy nghĩ: nếu $2^x=5$ thì $x$ là số nào, có viết được dưới dạng kí hiệu quen thuộc không?

a) $x=3$ vì $2^3=8$; b) $x=3$ vì $3^3=27$; c) $x=-2$ vì $2^{-2}=\dfrac{1}{4}$.
Với $2^x=5$: vì $2^2=4<5<8=2^3$ nên $x$ nằm giữa 2 và 3, không phải số nguyên; cần kí hiệu mới để biểu diễn số mũ này. Đó là lôgarit, nội dung của bài học.

Nêu được định nghĩa lôgarit với điều kiện xác định, các tính chất $\log_a1=0$, $\log_aa=1$, $a^{\log_ab}=b$ và kí hiệu $\log x$, $\ln x$.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 1: từ $a^c=b$ định nghĩa $\log_ab=c$; tính $\log_28$, $\log_3\dfrac{1}{27}$; giải thích $\log_a1$, $\log_aa$ và $a^{\log_ab}$; xác định điều kiện của $a$ và $b$ để lôgarit có nghĩa; nêu kí hiệu $\log x$ và $\ln x$.

Định nghĩa: với $a>0$, $a\ne1$, $b>0$: $\log_ab=c \Leftrightarrow a^c=b$. Đối số $b$ phải dương, cơ số $a$ dương và khác 1.
Ví dụ: $\log_28=3$ vì $2^3=8$; $\log_3\dfrac{1}{27}=-3$ vì $3^{-3}=\dfrac{1}{27}$.
Tính chất: $\log_a1=0$ vì $a^0=1$; $\log_aa=1$ vì $a^1=a$; $a^{\log_ab}=b$ theo định nghĩa.
Kí hiệu: $\log x$ là lôgarit cơ số 10; $\ln x$ là lôgarit cơ số $e$. Lôgarit không có nghĩa thực khi đối số không dương.

Vận dụng được quy tắc lôgarit của tích, thương, lũy thừa và công thức đổi cơ số; giải thích được vì sao không dùng được công thức cho tổng và điều kiện khi đưa về $\ln(x^2)=2\ln|x|$.

HS làm theo kĩ thuật mảnh ghép với Phiếu học tập số 2 gồm 4 mảnh: (1) tích; (2) thương; (3) lũy thừa; (4) đổi cơ số. Vòng 1: nhóm chuyên gia (mỗi nhóm 1 mảnh) nghiên cứu. Vòng 2: nhóm ghép gồm đủ 4 chuyên gia, mỗi người trình bày mảnh của mình.

Mảnh 1 (tích): với $u,v>0$, $\log_a(uv)=\log_au+\log_av$. Kiểm tra: $\log_2(4\cdot8)=\log_232=5=\log_24+\log_28=2+3$.
Mảnh 2 (thương): $\log_a\dfrac{u}{v}=\log_au-\log_av$. Kiểm tra: $\log_2\dfrac{8}{2}=\log_24=2=3-1$.
Mảnh 3 (lũy thừa): $\log_a(u^r)=r\log_au$ với $u>0$. Ví dụ: $\log_2(8^2)=2\log_28=6$.
Mảnh 4 (đổi cơ số): $\log_ab=\dfrac{\ln b}{\ln a}$, do đó $\log_49=\dfrac{\ln9}{\ln4}$.
Lưu ý: không có công thức $\log(u+v)=\log u+\log v$; phản ví dụ $\log(10+10)=\log20\ne2$ vì $10^2=100$. Khi dùng $\ln(x^2)=2\ln|x|$ thì phải có $x\ne0$, không được bỏ dấu giá trị tuyệt đối khi $x<0$.

Vận dụng định nghĩa, tính chất, quy tắc và công thức đổi cơ số để tính giá trị biểu thức, rút gọn và phân biệt biến đổi đúng, sai.

HS làm các bài sau (cá nhân 10 phút, đối chiếu cặp đôi 5 phút, chữa chung 10 phút):

1. $\log_28$ bằng: A. 6; B. 3; C. 4.
2. Điều kiện để $\log_ab$ có nghĩa là: A. $a\ne0$, $b\ne0$ là đủ; B. $a=1$, $b>0$; C. $a>0$, $a\ne1$, $b>0$.
3. Tính $\log_3\dfrac{1}{27}$.
4. Tính $\log_25+\log_2\dfrac{8}{5}$.
5. Đánh dấu Đ hoặc S: a) $\ln(uv)=\ln u+\ln v$ với $u,v>0$; b) $\log(u+v)=\log u+\log v$ luôn đúng; c) $\log_ab=\dfrac{1}{\log_ba}$ với $a,b>0$ và $a,b\ne1$; d) $\ln(x^2)=2\ln x$ dùng được với mọi $x\ne0$.
6. Rút gọn $\log_a(a^3\sqrt a)$ với $a>0$, $a\ne1$.
7. Cho $\log_49$, chọn biểu thức đúng: A. $\dfrac{\ln4}{\ln9}$; B. $\ln9-\ln4$; C. $\dfrac{\ln9}{\ln4}$.
   Học sinh có thể kiểm tra câu 3, 4, 7 trên học liệu NeoEdu (phần bài tập tương tác) nếu lớp có thiết bị.

Đáp án:

1. B (vì $2^3=8$).
2. C (cơ số dương khác 1 và đối số dương).
3. $-3$ (vì $3^{-3}=\dfrac{1}{27}$).
4. $3$: $\log_2\left(5\cdot\dfrac{8}{5}\right)=\log_28=3$.
5. a) Đ; b) S (không có công thức cho tổng; phản ví dụ $\log20\ne2$); c) Đ (vì $\log_ab=\dfrac{\ln b}{\ln a}$ và $\log_ba=\dfrac{\ln a}{\ln b}$); d) S (không phân phối lôgarit qua tổng; công thức lũy thừa cần $x>0$ hoặc viết $\ln|x|$ khi $x\ne0$).
6. $\log_a(a^3\sqrt a)=\log_a a^{7/2}=\dfrac{7}{2}$, vì $a^3\sqrt a=a^{7/2}$; kết quả đúng với mọi $a>0$, $a\ne1$.
7. C (đổi cơ số: tử là $\ln9$, mẫu là $\ln4$).

Mô hình hoá tình huống thực tế bằng số mũ và lôgarit, giải quyết bài toán và kiểm tra tính hợp lí của kết quả.

Mỗi lần gấp đôi một tờ giấy, số lớp giấy tăng gấp đôi. Sau $n$ lần gấp liên tiếp, số lớp là $2^n$. Hỏi cần gấp ít nhất bao nhiêu lần để có ít nhất 1000 lớp? Viết kết quả dưới dạng lôgarit và kiểm tra bằng cách tính $2^n$ với số nguyên $n$ gần nhất.

Điều kiện: $2^n\ge1000 \Leftrightarrow n\ge\log_21000\approx9{,}97$.
Kiểm tra: $2^9=512<1000$; $2^{10}=1024\ge1000$.
Kết luận: cần gấp ít nhất 10 lần.