Giáo án Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực

Huy động kiến thức về lũy thừa với số mũ nguyên dương và số mũ hữu tỉ đã học ở lớp dưới; nhận ra cần xác định ý nghĩa của lũy thừa với số mũ 0, số mũ âm và số mũ thực.

GV chiếu câu hỏi: Tính $2^5$, $2^{-3}$, $4^{\frac{1}{2}}$, $8^{\frac{2}{3}}$. Sau đó hỏi: Vì sao $0^{-1}$ không có nghĩa? Có thể viết $2^{\sqrt{2}}$ không, và nếu viết thì ý nghĩa là gì?

HS nêu được: $2^5=32$; $2^{-3}=\dfrac{1}{8}$; $4^{\frac{1}{2}}=2$; $8^{\frac{2}{3}}=4$. Vì $0^{-1}=\dfrac{1}{0}$ không xác định nên không có nghĩa. Số mũ $\sqrt{2}$ là số thực chưa phải phân số, cần mở rộng định nghĩa lũy thừa để có $2^{\sqrt{2}}$.

HS nêu được định nghĩa và điều kiện của $a^0$, $a^{-n}$, $a^{\frac{m}{n}}$ và giải thích được lí do của từng điều kiện.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 1. Phiếu gồm: (1) Với $a\ne0$, vì sao $a^0=1$? Gợi ý: xét $\dfrac{a^n}{a^n}$. (2) Với $a\ne0$, vì sao $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$? (3) Với $a>0$, vì sao $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$? (4) Vì sao $(-8)^{\frac{1}{3}}$ xác định còn $(-4)^{\frac{1}{2}}$ thì không? GV có thể mở bài giảng ví dụ trên NeoEdu để đối chiếu.

Kết quả cần đạt: $a^0=1$ với $a\ne0$ vì $\dfrac{a^n}{a^n}=a^{n-n}=a^0$ và $\dfrac{a^n}{a^n}=1$. $a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}$ với $a\ne0$. $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ với $a>0$. $(-8)^{\frac{1}{3}}=-2$ xác định vì căn bậc lẻ có nghĩa với mọi số thực; $(-4)^{\frac{1}{2}}$ không xác định trong số thực vì căn bậc chẵn của số âm không có. Kết luận: $0^0$, $0^{-1}$ không được xác định trong quy ước đang học.

HS nêu được bốn tính chất của lũy thừa với cơ số dương và số mũ thực, và vận dụng để biến đổi biểu thức có điều kiện.

Kĩ thuật mảnh ghép: lớp chia 4 nhóm chuyên gia, mỗi nhóm nghiên cứu một tính chất: nhóm 1: $a^{x+y}=a^xa^y$; nhóm 2: $a^{x-y}=\dfrac{a^x}{a^y}$; nhóm 3: $(a^x)^y=a^{xy}$; nhóm 4: $(ab)^x=a^xb^x$. Mỗi nhóm chứng tỏ tính chất với ví dụ như $2^{\sqrt{2}}\cdot2^{\sqrt{2}}$ và kiểm tra điều kiện cơ số dương. Sau đó ghép nhóm mới gồm 1 HS mỗi nhóm cũ để truyền đạt. Cuối cùng cả lớp làm ví dụ $2^{-3}\cdot2^5$ bằng hai cách.

Bảng tính chất (cơ số $a,b>0$; $x,y$ là số thực): $a^xa^y=a^{x+y}$; $\dfrac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$; $(a^x)^y=a^{xy}$; $(ab)^x=a^xb^x$. Ví dụ đúng: $2^{-3}\cdot2^5=2^{2}=4$. Ví dụ: $\left(\dfrac{2}{3}\right)^{\sqrt{2}}$ viết thành $\dfrac{2^{\sqrt{2}}}{3^{\sqrt{2}}}$ (hợp lệ vì $2,3>0$). Lưu ý: không áp dụng $(-2)^{x}\cdot(-2)^{y}$ theo cách máy móc khi cơ số âm.

HS nêu được tính đơn điệu của lũy thừa theo cơ số, so sánh được hai lũy thừa cùng cơ số, và viết được số dương dạng kí hiệu khoa học.

GV đặt câu hỏi: So sánh $2^{\sqrt{3}}$ và $2^{1{,}7}$; so sánh $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}$ và $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2{,}5}$. Sau đó: viết số $0{,}000072$ và $150\,000\,000$ dưới dạng kí hiệu khoa học. Có thể dùng học liệu NeoEdu phần bài giảng để kiểm tra.

Với $a>1$: $u<v$ thì $a^u<a^v$, nên $2^{\sqrt{3}}>2^{1{,}7}$ vì $\sqrt{3}\approx1{,}732>1{,}7$. Với $0<a<1$: $u<v$ thì $a^u>a^v$, nên $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}<\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2{,}5}$. Kí hiệu khoa học: $0{,}000072=7{,}2\times10^{-5}$ (hệ số $7{,}2\in[1;10)$); $150\,000\,000=1{,}5\times10^{8}$.

HS vận dụng định nghĩa và tính chất để tính giá trị lũy thừa, rút gọn biểu thức và nhận biết khẳng định đúng sai.

HS làm Phiếu học tập số 2, phần A (bài 1 đến 5) theo nhóm 4 người, kĩ thuật khăn trải bàn: mỗi HS ghi đáp án câu của mình vào ô của khăn, sau đó thống nhất đáp án chung. Đề: Bài 1: $16^{\frac{3}{4}}$ bằng A. 64; B. 8; C. 12. Bài 2: $a^pa^q$ với $a>0$ bằng A. $a^{pq}$; B. $2a^{p+q}$; C. $a^{p+q}$. Bài 3: Tính $9^{-\frac{1}{2}}$. Bài 4: Tính $32^{\frac{2}{5}}$. Bài 5: Đúng hay sai: a) $a^0=1$ khi $a\ne0$; b) $0^{-2}$ có nghĩa và bằng 0; c) $\sqrt{x^2}=|x|$; d) nếu $0<a<1$ và $u<v$ thì $a^u>a^v$.

Đáp án: Bài 1: B ($\sqrt[4]{16}=2$, $2^3=8$). Bài 2: C (cùng cơ số, nhân thì cộng số mũ). Bài 3: $9^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{9}}=\dfrac{1}{3}$ (khoảng $0{,}333333$). Bài 4: $32^{\frac{2}{5}}=\left(\sqrt[5]{32}\right)^2=2^2=4$. Bài 5: a) Đúng; b) Sai (cơ số 0 với số mũ âm không xác định); c) Đúng; d) Đúng.

HS rút gọn biểu thức có điều kiện $x>0$, lập được công thức lãi kép và so sánh với lãi cố định, giải thích được giới hạn của mô hình.

HS làm tiếp Phiếu học tập số 2 (phần B), theo cặp đôi, sau đó luyện thêm trên học liệu tương tác NeoEdu. Đề: Bài 6: Với $x>0$, rút gọn $\dfrac{\sqrt[3]{x^2}\cdot x^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{x}}$. Bài 7: Một khoản vốn 80 triệu đồng gửi với lãi suất 5% mỗi năm, nhập lãi hằng năm, không rút tiền. Viết công thức số tiền sau $n$ năm; tính với $n=2$; so sánh với phương án cộng lãi cố định 4 triệu đồng mỗi năm. Bài 8: Viết $0{,}000072$ dưới dạng kí hiệu khoa học.

Bài 6: $\dfrac{x^{\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{2}}}=x^{\frac{2}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}}=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}$ (điều kiện $x>0$ bảo đảm mẫu khác 0 và các lũy thừa xác định). Bài 7: $A_n=80\cdot1{,}05^n$ triệu đồng; $A_2=80\cdot1{,}05^2=88{,}2$ triệu đồng; phương án cộng lãi cố định cho $80+4\cdot2=88$ triệu đồng; chênh lệch $0{,}2$ triệu đồng do lãi nhập vào tiếp tục sinh lãi. Đây là mô hình giả định để toán học hoá, không phải khuyến nghị đầu tư. Bài 8: $7{,}2\times10^{-5}$ (đáp án C trong sách).

HS vận dụng lũy thừa với số mũ thực để mô hình hoá một tình huống tăng trưởng và biểu diễn số liệu lớn, nhỏ bằng kí hiệu khoa học.

Tình huống: Dân số một thị trấn là 50 000 người và tăng 1% mỗi năm (giả định). Viết công thức $P_n$ sau $n$ năm, tính $P_{10}$ (làm tròn đến hàng đơn vị). Đồng thời, khoảng cách trung bình từ Trái Đất đến Mặt Trời khoảng $150\,000\,000$ km; viết dưới dạng kí hiệu khoa học. Nhiệm vụ về nhà: chọn một đại lượng trong thực tế tăng đều theo phần trăm và lập công thức tương tự.

Công thức: $P_n=50\,000\cdot1{,}01^n$; $P_{10}=50\,000\cdot1{,}01^{10}\approx55\,231$ người (làm tròn đến hàng đơn vị). Khoảng cách: $1{,}5\times10^{8}$ km. Sản phẩm: một phiếu ngắn ghi công thức, kết quả và điều kiện giả định của mô hình.