Giáo án Bài tập cuối chương V

Nhắc lại ý nghĩa giới hạn của dãy số và tổng cấp số nhân lùi vô hạn; xác định nhiệm vụ ôn tập cả chương.

GV chiếu hai câu hỏi nhanh:

• Câu 1: Khi $n$ tăng vô hạn, $\dfrac{3}{n}$ tiến tới giá trị nào? Từ đó suy ra $\lim(7-\dfrac{3}{n})$ bằng bao nhiêu? (bài 1)
• Câu 2: Dãy $4; 2; 1; \dots$ có công bội $q$ bằng bao nhiêu? Tổng vô hạn $4+2+1+\cdots$ có tồn tại không, và nếu có thì bằng bao nhiêu? (bài 2)
  GV nêu mục tiêu của tiết: ôn lại kiến thức chương V và luyện các dạng bài đã cho.

Câu 1: $\dfrac{3}{n}\to 0$ nên $\lim(7-\dfrac{3}{n})=7$ (đáp án B).
Câu 2: $q=\dfrac{1}{2}$, vì $|q|<1$ nên tổng tồn tại: $S=\dfrac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$ (đáp án C).
Kết luận HS rút ra: giới hạn mô tả hành vi khi $n$ hoặc $x$ tiến tới một giá trị, không phải giá trị tại điểm; tổng cấp số nhân lùi vô hạn chỉ tồn tại khi $|q|<1$, không phải khi $|u_1|<1$.

Hệ thống hoá các nhóm kiến thức: giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và các dạng vô định, hàm số liên tục, cấp số nhân lùi vô hạn.

Mỗi nhóm nhận một vùng trên khăn trải bàn tương ứng với một nội dung:

• Vùng A: Giới hạn dãy số, dạng $\dfrac{\infty}{\infty}$ (chia cho lũy thừa cao nhất).
• Vùng B: Giới hạn hàm số, dạng $\dfrac{0}{0}$ (rút gọn, nhân liên hợp).
• Vùng C: Giới hạn một phía và hàm số liên tục tại một điểm (ba điều kiện: có giá trị tại điểm, có giới hạn và hai giá trị bằng nhau).
• Vùng D: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn và điều kiện $|q|<1$.
  Mỗi nhóm viết các kiến thức chính và một ví dụ nhỏ của riêng mình vào vùng được giao.

Sơ đồ hệ thống kiến thức trên khăn trải bàn gồm các ý chính:

• Vùng A: Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì giới hạn bằng tỉ số hệ số cao nhất; ví dụ $\lim\dfrac{6n^2-n}{3n^2+1}=2$.
• Vùng B: Nếu thế trực tiếp được dạng $\dfrac{0}{0}$ thì phải rút gọn trước; ví dụ $\lim_{x\to 2}\dfrac{x^3-8}{x-2}=12$ (rút gọn thành $x^2+2x+4$).
• Vùng C: Hàm số $f$ liên tục tại $x_0$ khi $\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$; giới hạn hai phía phải bằng nhau mới tồn tại giới hạn.
• Vùng D: Tổng $S=\dfrac{u_1}{1-q}$ khi $|q|<1$.

Vận dụng quy tắc tính giới hạn dãy số, hàm số, dạng $\dfrac{0}{0}$ và giới hạn hai phía để giải các bài tập 1 đến 7.

HS làm việc nhóm 4 người với Phiếu học tập số 1, giải bài 1 đến 7. Nhóm thống nhất đáp án và viết lời giải ngắn cho bài 5, 6, 7. GV dùng trang bài học NeoEdu để kiểm tra nhanh đáp án trắc nghiệm sau khi nhóm báo cáo.

Đề và đáp án:

• Bài 1: $\lim(7-\dfrac{3}{n})$, đáp án B: $7$, vì $\dfrac{3}{n}\to 0$.
• Bài 2: Tổng $4+2+1+\cdots$, đáp án C: $8$, vì $q=\dfrac{1}{2}$, $S=\dfrac{4}{1-\frac{1}{2}}=8$.
• Bài 3: $\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2+1}{x+2}$, đáp án A: $\dfrac{2}{3}$, vì mẫu $1+2=3\neq 0$ nên thế trực tiếp $x=1$.
• Bài 4: Giới hạn trái bằng 2, giới hạn phải bằng 3, đáp án B: không có giới hạn hai phía tại $a$, vì hai giới hạn một phía không bằng nhau.
• Bài 5: $\lim\dfrac{6n^2-n}{3n^2+1}=2$ (chia tử và mẫu cho $n^2$, được $\dfrac{6-\frac{1}{n}}{3+\frac{1}{n^2}}$).
• Bài 6: $\lim_{x\to 4}\dfrac{\sqrt{x}-2}{x-4}=\dfrac{1}{4}$ (nhân liên hợp: $\dfrac{x-4}{(x-4)(\sqrt{x}+2)}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}\to \dfrac{1}{4}$), tức $0{,}25$.
• Bài 7: $\lim_{x\to 2}\dfrac{x^3-8}{x-2}=12$ (rút gọn thành $x^2+2x+4$, thay $x=2$ được $4+4+4=12$).

Tìm tham số để hàm số liên tục; tính giới hạn dạng $\infty-\infty$ và giới hạn tại vô cực có chứa căn, giải thích được dấu của $x$.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 2:

• Bài 8: Cho $f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ khi $x\neq 3$ và $f(3)=a$. Tìm $a$ để $f$ liên tục tại $3$.
• Bài 9: Tính $\lim(\sqrt{n^2+6n}-n)$.
• Bài 10: Tính $\lim_{x\to -\infty}\dfrac{\sqrt{9x^2+1}}{x}$.

Đáp án và lời giải:

• Bài 8: Rút gọn $f(x)=x+3$ khi $x\neq 3$, nên $\lim_{x\to 3}f(x)=6$. Để liên tục tại 3 thì $a=6$.
• Bài 9: Nhân liên hợp: $\sqrt{n^2+6n}-n=\dfrac{6n}{\sqrt{n^2+6n}+n}=\dfrac{6}{\sqrt{1+\frac{6}{n}}+1}\to 3$. Kết quả: $3$.
• Bài 10: Với $x<0$ thì $|x|=-x$, nên $\sqrt{9x^2+1}=|x|\sqrt{9+\dfrac{1}{x^2}}=-x\sqrt{9+\dfrac{1}{x^2}}$. Suy ra $\dfrac{\sqrt{9x^2+1}}{x}=-\sqrt{9+\dfrac{1}{x^2}}\to -3$. Kết quả: $-3$.
  Chấp nhận mọi cách giải và biểu thức tương đương đúng điều kiện.

Mô hình hoá tình huống thực tế bằng tổng cấp số nhân lùi vô hạn và kiểm tra điều kiện $|q|<1$.

Một quả bóng được thả rơi từ độ cao 4 m xuống sân. Mỗi lần chạm sân, bóng nảy lên đạt độ cao bằng nửa độ cao ngay trước đó. Coi bóng chuyển động thẳng đứng và quãng đường tính cả đi lên lẫn đi xuống.
Nhiệm vụ: a) Viết dãy độ cao các lần bóng nảy lên và tìm công bội. b) Viết biểu thức tổng quãng đường bóng đi được và tính tổng này bằng giới hạn. c) Nêu lý do tổng tồn tại.

a) Độ cao các lần nảy lên: $2; 1; \dfrac{1}{2}; \dots$, công bội $q=\dfrac{1}{2}$.
b) Quãng đường: $S=4+2(2+1+\dfrac{1}{2}+\cdots)$. Tổng trong ngoặc là cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1=2$, $q=\dfrac{1}{2}$, nên bằng $\dfrac{2}{1-\frac{1}{2}}=4$. Vậy $S=4+2\cdot 4=12$ m.
c) Vì $|q|=\dfrac{1}{2}<1$ nên tổng tồn tại, quãng đường tổng cộng là $12$ m.