Giáo án Một vài áp dụng của Toán học trong tài chính

HS nhận ra cùng một số tiền nhưng đặt vào thời điểm đầu hay cuối kì cho kết quả khác nhau, từ đó xác định vấn đề cần ghi rõ điều kiện khi lập mô hình tài chính.

GV nêu tình huống giả định: gửi 10 triệu đồng mỗi kì trong 2 kì, lãi suất 10% mỗi kì, không có phí. Hai trường hợp: (a) gửi vào cuối mỗi kì; (b) gửi vào đầu mỗi kì. Nhiệm vụ: tính số tiền có được ngay sau kì 2 trong mỗi trường hợp và giải thích vì sao hai kết quả khác nhau.

Trường hợp (a) cuối kì: khoản kì 1 sinh 1 kì thành $10 \times 1{,}1=11$ triệu; khoản kì 2 chưa sinh lãi, tổng $21$ triệu đồng. Trường hợp (b) đầu kì: khoản kì 1 sinh 2 kì thành $10 \times 1{,}1^2=12{,}1$ triệu; khoản kì 2 sinh 1 kì thành $11$ triệu; tổng $23{,}1$ triệu đồng. Kết luận: khác nhau vì số kì sinh lãi khác nhau nên phải ghi rõ thời điểm gửi/trả trong mô hình.

HS suy ra và vận dụng được công thức $F=R\dfrac{(1+i)^n-1}{i}$ và $P=R\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}$ cho niên kim trả cuối mỗi kì; giải thích được bằng cấp số nhân và xét trường hợp $i=0$.

Kĩ thuật khăn trải bàn. Nhóm 4 HS hoàn thành khăn trải bàn gồm 4 ô: (1) Mô tả từng khoản R theo thời gian khi có $n$ kì, khoản cuối còn $R$, khoản đầu $R(1+i)^{n-1}$; (2) Viết tổng là cấp số nhân có số hạng đầu $R$, công bội $1+i$, $n$ số hạng, suy ra $F$; (3) Từ $F$ suy ra $P$ bằng cách chiết khấu về thời điểm đầu; (4) Xét $i=0$ và so sánh với bài toán gửi 10 triệu cuối mỗi kì. Câu hỏi GV đặt ra: Vì sao không có hệ số $(1+i)$ trong $F$ khi gửi cuối kì? Khi $i=0$, công thức trở thành gì?

Công thức cần ghi trên khăn: $F=R+R(1+i)+\dots+R(1+i)^{n-1}=R\dfrac{(1+i)^n-1}{(1+i)-1}=R\dfrac{(1+i)^n-1}{i}$ (khi $i>0$). Vì gửi cuối kì nên khoản cuối không sinh lãi, không có hệ số $(1+i)$ thêm. Giá trị hiện tại: $P=R\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}$. Khi $i=0$: $F=P=nR$. Kiểm tra: $n=2$, $R=10$, $i=0{,}1$ cho $F=10\dfrac{1{,}1^2-1}{0{,}1}=21$ triệu, khớp với kết quả ở hoạt động mở đầu. Kiến thức HS rút ra: Niên kim cuối kì có $F$ và $P$ theo hai công thức trên; nếu trả đầu kì và định giá vào cuối kì cuối thì nhân thêm $(1+i)$.

HS tính được khoản trả đều $R$ của khoản vay, lập được bảng dư nợ theo từng kì và kiểm tra tất toán; biết quy đổi lãi suất năm danh nghĩa và lãi suất hiệu dụng về lãi suất mỗi kì.

Kĩ thuật cặp đôi kết hợp kiểm tra bằng bảng. Dữ liệu giả định: khoản vay 42 triệu đồng, lãi 10% mỗi kì, không phí, trả đều cuối mỗi kì trong 2 kì. Nhiệm vụ: (a) Tính $R=\dfrac{Pi}{1-(1+i)^{-n}}$; (b) Lập bảng dư nợ từng kì theo mẫu trong Phiếu học tập số 1, bắt đầu từ dư nợ đầu kì, cộng lãi, trừ khoản trả; (c) Kiểm tra dư nợ cuối kì 2 bằng 0; (d) Nêu cách quy đổi: lãi danh nghĩa 12%/năm ghép tháng cho $i=1\%$, còn lãi hiệu dụng 12%/năm cho $i=1{,}12^{\frac{1}{12}}-1$. Câu hỏi GV đặt ra: Khi $i=0$ thì khoản trả là bao nhiêu? Vì sao không được coi lãi hiệu dụng 12% là $1\%$ mỗi tháng?

(a) $R=\dfrac{42 \times 0{,}1}{1-1{,}1^{-2}}=24{,}2$ triệu đồng. (b) Kì 1: dư nợ đầu 42; lãi $4{,}2$; trước khi trả 46,2; trả 24,2; dư nợ 22. Kì 2: dư nợ đầu 22; lãi $2{,}2$; trước khi trả 24,2; trả 24,2; dư nợ 0. (c) Dư nợ cuối kì 2 bằng 0, tất toán đúng. (d) Lãi danh nghĩa 12%/năm ghép tháng có $i=0{,}12/12=1\%$ mỗi tháng; lãi hiệu dụng 12%/năm có $i=1{,}12^{\frac{1}{12}}-1\approx 0{,}949\%$ mỗi tháng, không bằng $1\%$. Khi $i=0$: $R=P/n$. Kiến thức HS rút ra: Dư nợ được cập nhật bằng $B_k=B_{k-1}(1+i)-R$; cần kiểm tra bảng để xác nhận công thức.

HS vận dụng công thức giá trị tương lai, giá trị hiện tại và khoản trả đều để giải các bài tập số, đồng thời trình bày được lời giải có kiểm tra kết quả.

Kĩ thuật trạm (chia 4 trạm, mỗi cặp đi qua 2 trạm, mỗi trạm 5 phút). Trạm 1: Bài 3 (gửi cuối kì, giá trị ngay sau lần gửi cuối) và Bài 4 (nhận 12,1 triệu cuối mỗi kì, giá trị hiện tại). Trạm 2: Bài 5 (khoản trả đều của khoản vay 42 triệu) và Bài 6 (dư nợ sau khi trả kì đầu). Các bài dùng Phiếu học tập số 1, ghi kết quả và kiểm tra bằng bảng từng kì. Câu hỏi GV đặt ra: Vì sao bài 4 dùng chiết khấu còn bài 3 dùng lũy tiến?

Bài 3: Khoản đầu $10 \times 1{,}1=11$; khoản cuối $10$; tổng $21$ triệu đồng. Bài 4: $\dfrac{12{,}1}{1{,}1}+\dfrac{12{,}1}{1{,}1^2}=11+10=21$ triệu đồng. Bài 5: $R=\dfrac{42 \times 0{,}1}{1-1{,}1^{-2}}=24{,}2$ triệu đồng; kiểm tra: kì 1 dư 22, kì 2 dư 0. Bài 6: $42 \times 1{,}1-24{,}2=46{,}2-24{,}2=22$ triệu đồng. Kết luận: Bài 3 và bài 4 đều cho 21 triệu đồng ở hai thời điểm khác nhau (giá trị tương lai ngay sau lần gửi cuối và giá trị hiện tại của dòng tiền), phù hợp với hai công thức đã học.

HS phân tích tính đúng sai của các giả định tài chính, nêu lý do và giải thích bằng cấp số nhân vì sao công thức giá trị tương lai đúng với điều kiện gửi cuối kì.

Kĩ thuật phiếu hỏi đáp nhanh theo cặp. Nhiệm vụ: (1) Chọn đáp án đúng cho bài 2 về thời điểm thanh toán trong công thức $F$; (2) Xét tính đúng sai của bốn khẳng định trong bài 7 (Phiếu học tập số 2), ghi lí do; (3) Giải thích bài 9: vì sao gửi $R$ cuối mỗi kì, lãi $i>0$, ngay sau $n$ khoản có $F=R\dfrac{(1+i)^n-1}{i}$. Câu hỏi GV đặt ra: Nếu gửi đầu kì thì khoản đầu tiên sinh bao nhiêu kì lãi? Vì sao $1{,}01^{12}\ne 1{,}12$?

Bài 2: B (cuối mỗi kì). Các khoản cuối kì tích lũy lần lượt $0, 1, \dots, n-1$ kì, đổi thời điểm thì đổi hệ số. Bài 7: a) Đúng, vì $12\%/12=1\%$. b) Sai, vì lãi hiệu dụng 12% phải thỏa $(1+i)^{12}=1{,}12$, mà $1{,}01^{12}\approx 1{,}1268\ne 1{,}12$. c) Đúng, khoản gửi đầu kì sinh thêm một kì lãi nên thời gian sinh lãi tăng. d) Đúng, khi $i=0$ thì $F=nR$. Bài 9: Khoản cuối còn $R$, khoản trước đó $R(1+i)$, …, khoản đầu $R(1+i)^{n-1}$; tổng là cấp số nhân số hạng đầu $R$, công bội $1+i$, $n$ số hạng nên $F=R\dfrac{(1+i)^n-1}{i}$; không có hệ số $(1+i)$ thêm vì gửi cuối kì.

HS vận dụng công thức giá trị tương lai của niên kim và quy đổi lãi suất để so sánh hai phương án trong tình huống giả định, đồng thời nêu được các yếu tố mô hình chưa tính đến.

Kĩ thuật mảnh ghép theo nhóm 4 HS (2 nhóm nhỏ phụ trách hai phương án). Tình huống giả định: một người gửi 5 triệu đồng cuối mỗi tháng trong 12 tháng. Phương án A: lãi danh nghĩa 12%/năm ghép tháng. Phương án B: lãi hiệu dụng 12%/năm. Nhiệm vụ: (1) Tính $i$ mỗi tháng cho từng phương án; (2) Tính số tiền có được ngay sau lần gửi cuối cùng cho từng phương án; (3) So sánh và nêu các yếu tố mô hình chưa tính (phí, thuế, lãi thay đổi, làm tròn tiền thực). Không đưa ra khuyến nghị đầu tư.

Phương án A: $i=1\%$; $F=5\dfrac{1{,}01^{12}-1}{0{,}01}\approx 5 \times 12{,}683=63{,}41$ triệu đồng (làm tròn đến 0,01 triệu). Phương án B: $i=1{,}12^{\frac{1}{12}}-1\approx 0{,}949\%$; $F=5\dfrac{1{,}12-1}{i}=\dfrac{0{,}6}{i}\approx 63{,}2$ triệu đồng. So sánh: Hai phương án cho kết quả gần bằng nhau nhưng không bằng nhau do $i$ khác nhau. Yếu tố chưa tính: phí dịch vụ, thuế, lãi suất thay đổi theo thời gian, làm tròn tiền thực tế. Kiến thức HS rút ra: Phải quy đổi lãi suất đúng cách trước khi đưa vào công thức và ghi rõ giả định khi kết luận.