Giáo án Bài 17. Hàm số liên tục

Huy động kinh nghiệm trực quan của HS về đồ thị “liền nét” và xác định vấn đề: thế nào là hàm số liên tục.

HS quan sát đồ thị $y=x^2$ và $y=\dfrac{1}{x}$ trên bảng phụ, trả lời theo cặp đôi: Có thể vẽ mỗi đồ thị mà không nhấc bút khỏi giấy không? Vì sao? Điểm nào trên đồ thị $y=\dfrac{1}{x}$ khiến việc vẽ bị gián đoạn?

HS nêu được: đồ thị $y=x^2$ vẽ liền một nét trên toàn $\mathbb{R}$; đồ thị $y=\dfrac{1}{x}$ bị đứt tại $x=0$ vì hàm không xác định tại $0$. Từ đó HS nhận ra: liên tục tại một điểm liên quan đến việc hàm có giá trị và giới hạn “khớp” nhau tại điểm đó.

Hình thành định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm và ba điều kiện cần kiểm tra; phân biệt trường hợp hàm không xác định tại điểm đang xét.

Nhóm 4 HS dùng khăn trải bàn, hoàn thành Phiếu học tập số 1 gồm ba câu: (1) Xét $f(x)=x^2+2x$ tại $a=-1$: kiểm tra $a$ có thuộc miền xác định, tính $\lim_{x\to -1} f(x)$ và so sánh với $f(-1)$. (2) Xét $g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ tại $a=1$: $g$ có xác định tại $1$ không? Tính $\lim_{x\to 1} g(x)$. (3) Từ hai ví dụ, nêu ba điều kiện để hàm $f$ liên tục tại $a$ và diễn đạt bằng lời của nhóm.

Kiến thức HS rút ra: $f$ liên tục tại $a$ khi (i) $a$ thuộc miền xác định; (ii) $\lim_{x\to a} f(x)$ tồn tại; (iii) $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$. Kết quả ví dụ: $f(x)=x^2+2x$ liên tục tại $-1$ vì $f(-1)=1-2=-1$ và $\lim_{x\to -1} f(x)=-1$. Hàm $g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ không liên tục tại $1$ vì không xác định tại $1$, dù $\lim_{x\to 1} g(x)=\lim_{x\to 1}(x+1)=2$. Nếu đặt $g(1)=2$ thì hàm liên tục tại $1$.

Mở rộng khái niệm liên tục sang khoảng và đoạn; nắm các quy tắc liên tục của đa thức, phân thức, hàm căn và của tổng, tích, thương.

Mỗi nhóm nhận một đề xét liên tục trên miền: đa thức $y=x^3-2x$; phân thức $y=\dfrac{x+1}{x-2}$; hàm căn $y=\sqrt{x-3}$ (miền $x\ge 3$); và một hàm từng khúc đơn giản. Nhóm lập sơ đồ tư duy ghi: liên tục trên khoảng, liên tục trên đoạn $[a; b]$ (liên tục phải tại $a$, trái tại $b$), các hàm cơ bản và quy tắc tổng, tích, thương, hàm hợp.

Kiến thức HS rút ra: đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$; $y=\dfrac{x+1}{x-2}$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ vì mẫu khác $0$ khi $x\ne 2$; $y=\sqrt{x-3}$ liên tục trên $[3;+\infty)$, tại $3$ xét liên tục phải. Hàm $f$ liên tục trên $[a; b]$ khi liên tục trên $(a; b)$, liên tục phải tại $a$ và liên tục trái tại $b$. Tổng, tích các hàm liên tục là hàm liên tục; thương liên tục ở nơi mẫu khác $0$. Với hàm từng khúc phải kiểm tra giới hạn hai phía và giá trị tại điểm nối.

Hình thành định lí về sự tồn tại nghiệm của hàm số liên tục và biết áp dụng để chứng minh phương trình có nghiệm mà không cần tìm nghiệm tường minh.

Trên trang bài học NeoEdu, HS quan sát đồ thị hàm $f(x)=x^3+x-1$ trên đoạn $[0; 1]$, đối chiếu $f(0)$ và $f(1)$. Từ đó trả lời: Đồ thị có cắt trục hoành trong khoảng $(0; 1)$ không? Nếu $f$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a)\cdot f(b)<0$ thì phương trình $f(x)=0$ có nghiệm như thế nào? Có khẳng định được nghiệm là duy nhất không?

Kiến thức HS rút ra: nếu $f$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a)\cdot f(b)<0$ thì tồn tại ít nhất một số $c\in(a; b)$ sao cho $f(c)=0$. Với $f(x)=x^3+x-1$ có $f(0)=-1$, $f(1)=1$, $f(0)\cdot f(1)=-1<0$ nên phương trình $x^3+x-1=0$ có ít nhất một nghiệm trong $(0; 1)$. Định lí chỉ khẳng định sự tồn tại, không khẳng định duy nhất nếu không có thêm tính đơn điệu hoặc chứng minh riêng.

Củng cố định nghĩa, quy tắc liên tục và định lí giá trị trung gian qua các bài tập đã cho; rèn kỹ năng lập luận và đọc đúng điều kiện.

Ba nhóm đi qua ba trạm, mỗi trạm 5 phút. Trạm 1: bài 1, bài 2, bài 8 (trắc nghiệm). Trạm 2: bài 3 và bài 4 (tìm $a$ để hàm liên tục tại $1$). Trạm 3: bài 5 (đánh dấu Đúng/Sai cho từng khẳng định). Nhóm ghi đáp án và lời giải ngắn vào phiếu trạm.

Đề và đáp án: (1) Điều kiện đầy đủ để $f$ liên tục tại $a$ là $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$ và $f(a)$ có nghĩa: đáp án B. (2) Hàm $y=\dfrac{x+1}{x-2}$ liên tục trên $\mathbb{R}\setminus\{2\}$: đáp án C. (3) $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ khi $x\ne 1$, $f(1)=a$: vì $\lim_{x\to 1}(x+1)=2$ nên $a=2$. (4) $f(x)=x^2$ khi $x\le 1$, $f(x)=ax+2$ khi $x>1$: $f(1)=1$, giới hạn phải là $a+2=1$ nên $a=-1$. (5) a) Đúng; b) Sai (có giới hạn tại $a$ chưa chắc bằng $f(a)$); c) Đúng; d) Sai (định lí cần hàm liên tục trên đoạn). (8) $y=\sqrt{x-3}$ liên tục trên $[3;+\infty)$: đáp án C.

Vận dụng điều kiện liên tục để mô hình và phân tích một tình huống thực tế; xác định tham số để lượng nước thay đổi liên tục, không có bước nhảy.

Nhóm làm Phiếu học tập số 2 về lượng nước $V(t)$ (m$^3$) trong bể tưới cây theo thời gian $t$ (giờ): $V(t)=t^2$ khi $0\le t\le 2$; $V(t)=4t-4$ khi $t>2$. Yêu cầu: (a) Kiểm tra $V$ có liên tục tại $t=2$ không. (b) Giải thích ý nghĩa thực tế của tính liên tục tại $t=2$. (c) Nếu đổi công thức thứ hai thành $4t+b$, tìm $b$ để $V$ liên tục tại $t=2$.

Kết quả: (a) $V(2)=2^2=4$; $\lim_{t\to 2^-} V(t)=4$; $\lim_{t\to 2^+} V(t)=4\cdot 2-4=4$. Vì $V(2)=4=\lim_{t\to 2} V(t)$ nên $V$ liên tục tại $t=2$. (b) Lượng nước thay đổi liên tục, không có thời điểm nào bể đột ngột mất hoặc thêm nước. (c) Để liên tục: $4\cdot 2+b=4$ nên $b=-4$, tức là công thức $4t-4$ như đề bài đã cho. Nếu $b\ne -4$ thì hàm gián đoạn tại $t=2$.