Giáo án Bài 16. Giới hạn của hàm số

Tạo tình huống để HS nhận ra: giới hạn của hàm số tại a phụ thuộc vào các giá trị gần a, không nhất thiết phụ thuộc vào f(a).

GV trình chiếu hàm số $f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ (với $x\ne 3$). HS hoàn thành bảng giá trị sau và trả lời: (1) Khi x càng gần 3 thì f(x) tiến về số nào? (2) Hàm số có xác định tại x = 3 không? Vì sao?

• Bảng: x = 2,9; 2,99; 3,01; 3,1; và x = 3.
• Câu hỏi bổ sung: Nếu viết lại $f(x)$ thành một biểu thức khác khi $x\ne 3$ thì biểu thức đó là gì?

Bảng giá trị đúng: f(2,9) = 5,9; f(2,99) = 5,99; f(3,01) = 6,01; f(3,1) = 6,1. Khi x gần 3, f(x) tiến về 6. Tại x = 3, biểu thức không xác định (mẫu bằng 0), nên không tính được f(3). Với $x\ne 3$ thì $f(x)=x+3$. HS nêu được vấn đề: “Giá trị hàm số khi x tiến gần 3 có bằng 6 không, dù không thay x = 3 vào được?”

HS nêu được định nghĩa $\lim_{x\to a}f(x)=L$ và biết cách tính giới hạn dạng 0/0 bằng cách rút gọn, nhân liên hợp.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1, gồm:

• Câu 1: Hoàn thiện định nghĩa: $\lim_{x\to a}f(x)=L$ khi x … a (x khác a, trong miền xác định) thì f(x) … L.
• Câu 2: Tính $\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3}$ bằng cách phân tích tử thành nhân tử, nêu rõ điều kiện x ≠ 3.
• Câu 3: Tính $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{4+x}-2}{x}$ bằng cách nhân liên hợp, nêu điều kiện x ≠ 0 và miền xác định $x\ge -4$.
• Câu 4: Nêu hai lưu ý khi tính giới hạn dạng 0/0.

Định nghĩa: khi x dần tới a (x khác a, trong miền xác định), nếu f(x) dần tới số L thì ta viết $\lim_{x\to a}f(x)=L$; không yêu cầu f(a) tồn tại.
Câu 2: $\dfrac{x^2-9}{x-3}=\dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ với x ≠ 3, nên $\lim_{x\to 3}=6$.
Câu 3: $\dfrac{\sqrt{4+x}-2}{x}=\dfrac{4+x-4}{x(\sqrt{4+x}+2)}=\dfrac{1}{\sqrt{4+x}+2}$ với x ≠ 0; giới hạn là $\dfrac{1}{4}$.
Câu 4: Lưu ý 1: phải rút gọn trên lân cận thủng của a (x ≠ a) rồi mới thay x = a. Lưu ý 2: kiểm tra miền xác định khi biến đổi căn thức.

HS nêu được điều kiện để giới hạn hai phía tại a tồn tại, phân biệt được trường hợp có và không có giới hạn chung.

HS làm việc theo cặp đôi, xét $f(x)=\dfrac{1}{x}$ tại a = 0:

• Tính giới hạn khi x → 0⁺ (x dương, tiến về 0) và x → 0⁻ (x âm, tiến về 0).
• So sánh hai kết quả và trả lời: giới hạn hai phía $\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x}$ có tồn tại không?
• Nêu điều kiện để giới hạn hai phía tại a tồn tại và bằng L.

Khi $x\to 0^+$: $\dfrac{1}{x}\to +\infty$ (mẫu dương tiến về 0).
Khi $x\to 0^-$: $\dfrac{1}{x}\to -\infty$ (mẫu âm tiến về 0).
Hai giới hạn một phía khác nhau nên không có giới hạn hai phía của $\dfrac{1}{x}$ tại 0.
Kết luận: $\lim_{x\to a}f(x)=L$ khi và chỉ khi $\lim_{x\to a^-}f(x)=\lim_{x\to a^+}f(x)=L$.

HS vận dụng được cách chia lũy thừa x cao nhất để tính giới hạn của phân thức khi x → ±∞, và không thay $\sqrt{x^2}$ bằng x khi x âm.

HS làm việc theo nhóm 4 (cùng nhóm hoặc nhóm mới), thực hiện:

• Tính $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-x}{x^2+5}$ bằng cách chia tử và mẫu cho $x^2$.
• Tính $\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x+1}{x-3}$ bằng cách chia tử và mẫu cho x (chú ý x < 0).
• Rút gọn $\sqrt{x^2}$ khi x < 0 và khi x > 0.

$\dfrac{3x^2-x}{x^2+5}=\dfrac{3-\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{5}{x^2}}\to 3$ khi $x\to+\infty$.
$\dfrac{2x+1}{x-3}=\dfrac{2+\dfrac{1}{x}}{1-\dfrac{3}{x}}\to 2$ khi $x\to-\infty$ (x < 0 nên chia cho x vẫn hợp lệ).
$\sqrt{x^2}=|x|$: khi x > 0 thì $\sqrt{x^2}=x$; khi x < 0 thì $\sqrt{x^2}=-x$, không phải x.
Kết luận: giới hạn tại vô cực của phân thức bằng tỉ số hệ số của lũy thừa cao nhất.

HS củng cố định nghĩa, giới hạn hai phía, giới hạn tại điểm và tại vô cực qua các bài tập trắc nghiệm.

HS làm việc cá nhân rồi đối chiếu trong cặp, với các bài:

1. Giới hạn hai phía tại a tồn tại hữu hạn khi nào? A. Chỉ cần f(a) được định nghĩa. B. Giới hạn trái và phải tồn tại hữu hạn và bằng nhau. C. Chỉ cần một phía tồn tại.
2. $\lim_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x-2}$ bằng: A. 0; B. Không tồn tại vì biểu thức không xác định tại 2; C. 4.
3. Tính $\lim_{x\to 1}\dfrac{x^3-1}{x-1}$.
4. Tính $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-x}{x^2+5}$.
5. Tính $\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x+1}{x-3}$. A. −2; B. 0; C. 2.

Đáp án: Câu 1: B (đây là tiêu chuẩn giới hạn hai phía). Câu 2: C (với x ≠ 2, $\dfrac{x^2-4}{x-2}=x+2$, giới hạn 4). Câu 3: 3 (vì $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, giới hạn $1+1+1=3$). Câu 4: 3 (chia x²: $\dfrac{3-\frac{1}{x}}{1+\frac{5}{x^2}}\to 3$). Câu 5: C, giá trị 2 (chia x: $\dfrac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{3}{x}}\to 2$).

HS xét tính đúng sai của các khẳng định về giới hạn và lập luận được vì sao giới hạn hai phía không tồn tại.

HS làm việc nhóm 4 với Phiếu học tập số 2:
a) $\lim_{x\to 0^+}\dfrac{1}{x}=+\infty$.
b) $\lim_{x\to 0^-}\dfrac{1}{x}=+\infty$.
c) $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\dfrac{1}{2}$.
d) $\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\sqrt{x^2}}{x}=1$.
Ngoài ra: xét $\lim_{x\to 2}\dfrac{1}{x-2}$, nêu hai giới hạn một phía và kết luận.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai, vì khi x → 0⁻ thì $\dfrac{1}{x}\to -\infty$. c) Đúng: nhân liên hợp được $\dfrac{1}{\sqrt{1+x}+1}\to\dfrac{1}{2}$. d) Sai: khi x < 0, $\sqrt{x^2}=-x$ nên $\dfrac{\sqrt{x^2}}{x}=-1$.
$\lim_{x\to 2^-}\dfrac{1}{x-2}=-\infty$ (mẫu âm tiến về 0); $\lim_{x\to 2^+}\dfrac{1}{x-2}=+\infty$ (mẫu dương tiến về 0). Hai giới hạn một phía khác nhau nên không có giới hạn hai phía; không ghi đơn giản là “= ∞”.

HS mô hình hoá tình huống thực tế bằng hàm phân thức và tính giới hạn tại vô cực để dự đoán xu hướng.

Một xưởng sản xuất có chi phí cố định 2 000 nghìn đồng và chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 500 nghìn đồng. Nếu sản xuất x sản phẩm thì chi phí trung bình mỗi sản phẩm là $T(x)=\dfrac{500x+2000}{x}$ (nghìn đồng), với x > 0.
a) Tính T(10) và T(1000).
b) Tính $\lim_{x\to+\infty}T(x)$ và giải thích ý nghĩa thực tế.
c) Về nhà: tìm một tình huống thực tế khác có dạng phân thức khi số lượng tăng rất lớn và nêu ý nghĩa của giới hạn.

a) $T(10)=\dfrac{5000+2000}{10}=700$ nghìn đồng; $T(1000)=\dfrac{502000}{1000}=502$ nghìn đồng.
b) $T(x)=\dfrac{500x+2000}{x}=500+\dfrac{2000}{x}\to 500$ khi $x\to+\infty$. Ý nghĩa: khi sản xuất rất nhiều, chi phí cố định được chia nhỏ, chi phí trung bình tiến gần 500 nghìn đồng mỗi sản phẩm.
c) HS nêu được ví dụ có dạng phân thức và giải thích ý nghĩa giới hạn tại vô cực.