Giáo án Bài 15. Giới hạn của dãy số

HS nhận ra xu hướng của dãy số khi chỉ số $n$ tăng lên vô hạn và hình thành trực giác về giới hạn của dãy số.

GV chiếu bảng giá trị của hai dãy $u_n=\dfrac{1}{n}$ và $v_n=(-1)^n$ với $n=1,2,\ldots,10$, rồi nêu câu hỏi: (1) Khi $n$ càng lớn, các số hạng của dãy $\dfrac{1}{n}$ tiến về đâu? (2) Các số hạng của dãy $(-1)^n$ có tiến dần về một số cố định không? (3) Với $n=1000$ hoặc $n=10000$, $\dfrac{1}{n}$ cách số nào bao nhiêu?

HS trả lời: (1) Các số hạng $\dfrac{1}{n}$ càng lúc càng nhỏ và tiến dần về $0$; với $n=1000$ thì $\dfrac{1}{n}=0{,}001$ nên rất gần $0$. (2) Dãy $(-1)^n$ luân phiên giữa $-1$ và $1$, không tiến dần về một số cố định. (3) Khoảng cách từ $\dfrac{1}{n}$ đến $0$ có thể nhỏ hơn bất kỳ số dương nào cho trước khi $n$ đủ lớn. GV dẫn vào định nghĩa: $u_n\to L$ nghĩa là từ một chỉ số đủ lớn, mọi $u_n$ đều gần $L$ theo độ chính xác cho trước.

HS nêu được các giới hạn cơ bản $\dfrac{1}{n^k}\to0$, $q^n\to0$ khi $|q|<1$, dãy hằng và giải thích được vì sao dãy $(-1)^n$ không có giới hạn.

HS hoạt động theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1. Nhóm điền bảng các giới hạn cơ bản, xét với các giá trị cụ thể của $k$ và $q$ rồi rút ra điều kiện. Nhiệm vụ: điền bảng, nêu điều kiện của $q$ và giải thích vì sao $(-1)^n$ không có giới hạn.

Kết quả HS ghi được trong phiếu:

• $\lim\dfrac{1}{n^k}=0$ với mọi $k>0$ (ví dụ $\dfrac{1}{n}\to0$, $\dfrac{1}{n^2}\to0$).
• $\lim q^n=0$ khi $|q|<1$ (ví dụ $\left(\dfrac{1}{2}\right)^n\to0$, $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\to0$); với $q=2$ hoặc $q=-1$ thì không có giới hạn $0$.
• $\lim c=c$ với dãy hằng $u_n=c$.
• Dãy $(-1)^n$ không có giới hạn vì các số hạng luân phiên $-1$ và $1$, không tiến về cùng một số $L$ khi $n$ lớn.

HS vận dụng được quy tắc giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương và kỹ thuật chia cho lũy thừa cao nhất hoặc nhân liên hợp để tính giới hạn dãy số.

GV trình bày quy tắc và ví dụ: tính $\lim\dfrac{3n-2}{n+5}$. HS làm theo nhóm cặp đôi với Phiếu học tập số 2: tính $\lim\dfrac{4n^2+1}{2n^2-3}$ và $\lim\left(\sqrt{n^2+4n}-n\right)$, nêu rõ bước nào dùng quy tắc nào.

Ví dụ: $\lim\dfrac{3n-2}{n+5}=\lim\dfrac{3-\dfrac{2}{n}}{1+\dfrac{5}{n}}=\dfrac{3-0}{1+0}=3$.
Quy tắc: giới hạn tổng, hiệu, tích bằng tổng, hiệu, tích các giới hạn hữu hạn; giới hạn thương bằng thương các giới hạn khi giới hạn của mẫu khác $0$.
HS rút ra: khi gặp dạng $\infty-\infty$ hoặc $0\times\infty$ không thể áp dụng trực tiếp quy tắc, cần biến đổi trước. Vô cực là mô tả vượt mọi ngưỡng, không phải một số thực để tính toán.
Kết quả phiếu: $\lim\dfrac{4n^2+1}{2n^2-3}=\lim\dfrac{4+\dfrac{1}{n^2}}{2-\dfrac{3}{n^2}}=\dfrac{4}{2}=2$; $\lim\left(\sqrt{n^2+4n}-n\right)=\lim\dfrac{4n}{\sqrt{n^2+4n}+n}=\lim\dfrac{4}{\sqrt{1+\dfrac{4}{n}}+1}=2$.

HS nêu được điều kiện $|q|<1$ và vận dụng công thức $S=\dfrac{u_1}{1-q}$ để tính tổng vô hạn; nhận biết được trường hợp không có tổng.

GV nêu câu hỏi: (1) Tính tổng $3+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{4}+\cdots$. (2) Một bạn nói $1+2+4+\cdots$ có tổng bằng $\dfrac{1}{1-2}=-1$, nhận xét đúng hay sai và vì sao? HS xét tổng $n$ số hạng đầu $S_n$ và xu hướng của $S_n$.

Tổng $3+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{4}+\cdots$ có $u_1=3$, $q=\dfrac{1}{2}$, $|q|<1$ nên $S=\dfrac{3}{1-\dfrac{1}{2}}=6$.
Bạn nói sai vì điều kiện $|q|<1$ không thỏa mãn ($q=2$). Tổng $n$ số hạng đầu $S_n=2^n-1\to+\infty$ nên không có tổng vô hạn hữu hạn, không thể bằng $-1$.
HS rút ra: tổng vô hạn $u_1+u_1q+\cdots=\dfrac{u_1}{1-q}$ chỉ áp dụng khi $|q|<1$; điều kiện này không được bỏ qua.

HS củng cố giới hạn cơ bản, quy tắc giới hạn và điều kiện áp dụng qua các câu hỏi trắc nghiệm và đúng sai.

HS làm nhanh các câu sau (có thể thực hiện tương tác trên học liệu số NeoEdu): (1) $\lim(3+\dfrac{2}{n})$ bằng gì? A. Vô cực; B. $3$; C. $0$. (2) Dãy nào có giới hạn $0$? A. $2^n$; B. $(-1)^n$; C. $\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n$. (3) Đánh giá đúng (Đ) hay sai (S): a) $\dfrac{1}{n}\to0$; b) $q^n\to0$ với mọi số thực $q$; c) Nếu $u_n\to2$, $v_n\to3$ thì $u_nv_n\to6$; d) Luôn có thể lấy thương giới hạn khi mẫu tiến về $0$. (4) $\lim\dfrac{5n+1}{n^2+2}$ bằng gì? A. $5$; B. Vô cực; C. $0$.

Đáp án: (1) B, vì $\dfrac{2}{n}\to0$ nên tổng $\to3$. (2) C, vì $\left|-\dfrac{1}{2}\right|<1$. (3) a) Đ; b) S, vì $q^n\to0$ chỉ khi $|q|<1$; c) Đ; d) S, vì mẫu tiến về $0$ không áp dụng quy tắc giới hạn hữu hạn, cần xét lại. (4) C, vì chia tử và mẫu cho $n^2$ được $\dfrac{\dfrac{5}{n}+\dfrac{1}{n^2}}{1+\dfrac{2}{n^2}}\to0$.

HS vận dụng quy tắc giới hạn, kỹ thuật chia lũy thừa cao nhất và nhân liên hợp; đồng thời giải thích được lập luận của người khác.

HS làm theo nhóm 4: (1) Tính $\lim\dfrac{4n^2+1}{2n^2-3}$. (2) Tính $\lim\left(\sqrt{n^2+4n}-n\right)$, trình bày rõ cách làm và giải thích dạng chưa xác định. (3) Một bạn nói tổng $1+2+4+\cdots$ bằng $\dfrac{1}{1-2}=-1$. Chỉ ra điều kiện sai và kết luận đúng về tổng riêng.

(1) $\lim\dfrac{4n^2+1}{2n^2-3}=\lim\dfrac{4+\dfrac{1}{n^2}}{2-\dfrac{3}{n^2}}=2$.
(2) Nhân liên hợp: $\sqrt{n^2+4n}-n=\dfrac{4n}{\sqrt{n^2+4n}+n}=\dfrac{4}{\sqrt{1+\dfrac{4}{n}}+1}\to2$. Dạng ban đầu là $\infty-\infty$ chưa xác định, không được viết bằng $0$. Chấp nhận cách chia $n$ phù hợp, miễn đúng điều kiện.
(3) Sai ở điều kiện: công thức tổng vô hạn cần $|q|<1$, ở đây $q=2$. Tổng riêng $S_n=2^n-1\to+\infty$, không có tổng vô hạn hữu hạn, nên không bằng $-1$.

HS mô hình hoá tình huống thực tế bằng cấp số nhân lùi vô hạn và tính tổng quãng đường di chuyển của quả bóng.

Một quả bóng được thả từ độ cao $2$ m xuống sàn. Mỗi lần nảy lên, độ cao đạt được bằng $\dfrac{3}{5}$ độ cao của lần rơi ngay trước đó. Giả sử quả bóng nảy mãi mà không dừng. Hãy: (1) Lập dãy độ cao các lần nảy lên và xác định $u_1$, $q$. (2) Tính tổng quãng đường bóng đi lên qua tất cả các lần nảy. (3) Tính tổng quãng đường bóng di chuyển (cả rơi và nảy lên).

(1) Độ cao nảy lên lần 1: $2\cdot\dfrac{3}{5}=1{,}2$ m; các lần sau là $1{,}2\cdot\dfrac{3}{5}=0{,}72$ m, ... Dãy có $u_1=1{,}2$, $q=\dfrac{3}{5}$, $|q|<1$.
(2) Tổng quãng đường đi lên: $S=\dfrac{1{,}2}{1-\dfrac{3}{5}}=3$ m.
(3) Quãng đường rơi ban đầu $2$ m, mỗi lần nảy lên và rơi xuống lại có cùng độ dài nên tổng quãng đường là $2+2\cdot3=8$ m.