Giáo án Bài tập cuối chương IV

Nhắc lại nhanh các khái niệm về giao tuyến, đường chéo nhau và điều kiện song song; xác định nhiệm vụ ôn tập của tiết học.

GV trình chiếu bốn câu trắc nghiệm (đề bài 1 đến bài 4 trong bài tập cuối chương), HS chọn đáp án và giải thích ngắn gọn lí do.
Câu 1: Tứ diện $SABC$ có $(SAB)\cap(SAC)$ là gì? A. $AB$; B. $SA$; C. $BC$.
Câu 2: Hai đường không giao và không đồng phẳng là gì? A. Song song; B. Trùng nhau; C. Chéo nhau.
Câu 3: Đường $a$ nằm trong $(P)$ song song với đường $b$ nằm trong $(Q)$ có đủ suy ra $(P)\parallel(Q)$ không? A. Không; B. Có; C. Chỉ cần hai đường có cùng độ dài.
Câu 4: Ảnh song song của trung điểm một đoạn thẳng là gì? A. Có thể nằm ngoài đoạn ảnh; B. Trung điểm của đoạn ảnh; C. Luôn là tâm của mặt chiếu.

Đáp án: Câu 1 là B ($SA$ vì $S$ và $A$ là điểm chung của hai mặt phân biệt). Câu 2 là C (chéo nhau theo định nghĩa). Câu 3 là A (hai mặt có thể cắt nhau vẫn chứa các cặp đường cùng phương). Câu 4 là B (phép chiếu song song bảo toàn trung điểm).
Kết luận HS ghi nhận: cần chứng minh đầy đủ điều kiện, không suy quan hệ từ một cặp đường.

Hệ thống hoá cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, điều kiện đường thẳng song song với mặt phẳng và điều kiện hai mặt phẳng song song.

Nhóm 4 HS hoàn thành Phiếu học tập số 1 trên khăn trải bàn: vẽ hình chóp $SABC$ và lăng trụ $ABC.A'B'C'$, xác định giao tuyến, ghi điều kiện song song, xác định số cạnh bên của lăng trụ tam giác (bài 6).

Kiến thức HS rút ra và ghi trên khăn trải:

• Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung đó. Với hình chóp $SABC$: $(SAB)\cap(SAC)=SA$.
• Đường thẳng $d$ không nằm trong $(P)$ và song song với một đường $a\subset(P)$ thì $d\parallel(P)$.
• Hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song khi $(P)$ chứa hai đường cắt nhau cùng song song với $(Q)$.
• Hai đường không giao và không đồng phẳng là hai đường chéo nhau.
• Lăng trụ tam giác có 3 cạnh bên, là các đoạn $AA'$, $BB'$, $CC'$ (đáp án bài 6 là 3).

Hệ thống hoá cách dùng định lí Thalès, đường trung bình và định lí về ba mặt phẳng song song để tính độ dài đoạn thẳng.

Cặp đôi làm việc với Phiếu học tập số 1 (mục 2) và trao đổi về bài 5 và bài 7.
Bài 5: Trong tam giác $SAB$, $M\in SA$, $N\in SB$, $\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{SN}{SB}=\dfrac{1}{3}$, $AB=18$. Tính $MN$.
Bài 7: Ba mặt phẳng song song cắt hai đường thẳng lần lượt tại $A$, $B$, $C$ và $D$, $E$, $F$; biết $AB=4$, $BC=6$, $DE=10$. Tính $EF$.

Đáp án bài 5: $MN\parallel AB$ theo định lí Thalès đảo, và $\dfrac{MN}{AB}=\dfrac{SM}{SA}=\dfrac{1}{3}$ nên $MN=\dfrac{1}{3}\cdot 18=6$.
Đáp án bài 7: theo định lí về ba mặt phẳng song song, $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{DE}{EF}$, tức $\dfrac{4}{6}=\dfrac{10}{EF}$, suy ra $EF=15$.
Kiến thức HS rút ra: khi hai đoạn song song, tỉ số độ dài được bảo toàn; khi có ba mặt song song, các đoạn chắn trên hai cát tuyến tỉ lệ.

Vận dụng tiêu chuẩn đường thẳng song song với mặt phẳng và phương pháp phản chứng để trình bày lời giải đầy đủ điều kiện.

Cặp đôi làm Phiếu học tập số 2, phần A (bài 8) và phần B (bài 10).
Bài 8: Tứ diện $ABCD$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$. Chứng minh $MN\parallel(BCD)$.
Bài 10: Cho hai mặt phẳng $(P)$, $(Q)$ cắt nhau theo giao tuyến $d$. Lấy $a\subset(P)$ với $a\parallel d$, $a\neq d$. Chứng minh $a\parallel(Q)$.

Đáp án bài 8: $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN\parallel BC$. Vì $BC\subset(BCD)$ và $MN\not\subset(BCD)$ (do $(ABC)\cap(BCD)=BC$ mà $MN\ne BC$ và $MN\subset(ABC)$), nên $MN\parallel(BCD)$.
Đáp án bài 10: giả sử $a$ có điểm chung $M$ với $(Q)$. Vì $a\subset(P)$ nên $M\in(P)\cap(Q)=d$, tức $M\in d$. Điều này mâu thuẫn với $a\parallel d$, $a\neq d$ (hai đường song song phân biệt không có điểm chung). Vậy $a$ không có điểm chung với $(Q)$, suy ra $a\parallel(Q)$.
Kiến thức HS rút ra: khi chứng minh đường song song mặt, cần chỉ rõ đường đó không nằm trong mặt và song song với một đường trong mặt.

Vận dụng tiêu chuẩn hai mặt phẳng song song, nhận ra và tránh lập luận sai khi chỉ có một cặp đường song song.

Cặp đôi làm Phiếu học tập số 2, phần C (bài 9). GV đặt câu hỏi: 'Tại sao chỉ có $MN\parallel BC$ thì chưa đủ suy ra $(MNP)\parallel(BCD)$? Liên hệ với bài 3.'
Bài 9: Tứ diện $ABCD$, $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$, $AD$. Chứng minh $(MNP)\parallel(BCD)$.

Đáp án bài 9: $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN\parallel BC$; $MP$ là đường trung bình của tam giác $ABD$ nên $MP\parallel BD$. Vì $BC\subset(BCD)$, $BD\subset(BCD)$ nên $MN\parallel(BCD)$ và $MP\parallel(BCD)$. Hai đường $MN$, $MP$ cắt nhau tại $M$ và cùng nằm trong $(MNP)$, nên $(MNP)\parallel(BCD)$.
Liên hệ bài 3: một cặp đường song song không đủ để suy hai mặt song song; cần hai đường cắt nhau trong mặt này cùng song song với mặt kia.

Vận dụng đường trung bình và tiêu chuẩn song song để mô hình hoá khung thực tế và tính độ dài thanh giằng.

Một khung mái có dạng lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Người thiết kế đặt thanh giằng $MN$ nối trung điểm $M$ của $AB$ và trung điểm $N$ của $AC$. Yêu cầu: (a) chứng minh $MN\parallel(BCC'B')$; (b) nếu $BC=8$ m, tính độ dài $MN$. HS ghi kết quả vào vở và làm thêm ở nhà phần (c) để giải thích vì sao thanh giằng không nằm trong mặt $(BCC'B')$.

Đáp án (a): $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $MN\parallel BC$. Vì $BC\subset(BCC'B')$ và $MN\not\subset(BCC'B')$ (do $M$ không thuộc mặt bên này), nên $MN\parallel(BCC'B')$.
Đáp án (b): $MN=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}\cdot 8=4$ m.
Kiến thức HS rút ra: mô hình hoá khung bằng hình lăng trụ, dùng đường trung bình để xác định quan hệ song song và tính độ dài.