Giáo án Bài tập cuối chương III

Huy động kiến thức nền về cấu trúc bảng ghép nhóm (khoảng, tần số, giá trị đại diện, cỡ mẫu) và xác định nhiệm vụ của tiết ôn tập.

GV chiếu bảng ghép nhóm: nhóm $[0;10)$, $[10;20)$, $[20;30)$ có tần số lần lượt là $2$, $6$, $2$. HS trả lời nhanh các câu hỏi: (1) Cỡ mẫu $n$ bằng bao nhiêu? (2) Giá trị đại diện của nhóm $[10;20)$ là bao nhiêu? (3) Dữ liệu đúng bằng $20$ thuộc nhóm nào, biết nhóm $[10;20)$ có đầu phải mở, đầu trái đóng? (4) Tần số tương đối của nhóm $[0;10)$ bằng bao nhiêu phần trăm?

Cỡ mẫu $n=10$; giá trị đại diện nhóm $[10;20)$ là $15$; dữ liệu $20$ thuộc nhóm $[20;30)$ vì đầu $20$ thuộc nhóm có đầu trái đóng; tần số tương đối nhóm $[0;10)$ là $\dfrac{2}{10}=20\%$. HS nêu được nhiệm vụ: hệ thống hoá các số đặc trưng và luyện tập giải bài tập.

Hệ thống hoá cách tính số trung bình, trung vị, $Q_3$ và mốt nội suy từ bảng ghép nhóm; nêu được điều kiện áp dụng của từng công thức.

HS làm việc theo nhóm 4 với kĩ thuật khăn trải bàn. Mỗi nhóm hoàn thành Phiếu học tập số 1 gồm bốn ô: (a) Trung bình; (b) Trung vị và tứ phân vị; (c) Mốt; (d) Điều kiện áp dụng. Với mỗi ô, nhóm ghi công thức, ý nghĩa các kí hiệu và một ví dụ ngắn từ bảng $[0;10)$, $[10;20)$, $[20;30)$ có tần số $1$, $6$, $3$.

Các công thức cần hệ thống hoá:

• Trung bình: $\bar{x}=\dfrac{\sum m_i n_i}{n}$, với $m_i$ là giá trị đại diện nhóm, $n_i$ là tần số nhóm.
• Trung vị: vị trí $\dfrac{n}{2}$; nếu nhóm chứa trung vị là nhóm thứ $k$ thì $M_e=a+\dfrac{\dfrac{n}{2}-N_{k-1}}{n_k}\cdot h$, với $a$ là đầu mút trái, $h$ là độ rộng nhóm, $N_{k-1}$ là tần số tích lũy trước nhóm.
• Tứ phân vị $Q_3$: vị trí $\dfrac{3n}{4}$, thay $\dfrac{n}{2}$ bằng $\dfrac{3n}{4}$ trong công thức trên.
• Mốt: $M_o=a+\dfrac{n_k-n_{k-1}}{(n_k-n_{k-1})+(n_k-n_{k+1})}\cdot h$, áp dụng với nhóm có tần số lớn nhất.
• Điều kiện: tổng tần số đúng bằng $n$; các nhóm cùng độ rộng $h$; kết quả nội suy là xấp xỉ, không phải số đo thật của từng quan sát.
  Ví dụ kiểm tra: với bảng $1$, $6$, $3$ có $n=10$, trung vị nằm trong nhóm $[10;20)$ và $M_e=10+\dfrac{5-1}{6}\cdot 10=\dfrac{50}{3}\approx 16{,}6667$.

Nêu được các bước kiểm tra trước khi tính toán và các giới hạn khi diễn giải số đặc trưng của mẫu ghép nhóm.

HS làm việc theo cặp đôi, trả lời các câu hỏi: (1) Trước khi tính, cần kiểm tra những điều kiện nào? (2) Khi bảng có hai nhóm cùng tần số lớn nhất, có thể khẳng định mốt duy nhất không? (3) Vì sao không nên khẳng định số đại diện là số đo thật của một quan sát? (4) Khi so sánh hai mẫu, ngoài số trung tâm cần xét thêm điều gì?

Các điều kiện kiểm tra: tổng tần số bằng cỡ mẫu $n$; biên nhóm đúng quy tắc (đầu trái đóng, đầu phải mở); các nhóm cùng độ rộng; đơn vị đo thống nhất.
Khi có hai nhóm cùng tần số lớn nhất: phải nêu tình trạng đồng hạng, không tự khẳng định một nhóm mốt duy nhất.
Số đại diện, trung bình và trung vị là số đặc trưng của mẫu, không phải số đo thật của từng quan sát.
Khi so sánh mẫu cần xét thêm đối tượng, cách lấy mẫu, điều kiện thu thập và độ trải của dữ liệu.

Củng cố nhanh khái niệm cỡ mẫu, giá trị đại diện, quy tắc biên, tần số tương đối và cách xử lí đồng hạng.

GV chiếu lần lượt các câu trắc nghiệm. HS giơ thẻ A, B, C hoặc giơ tay để trả lời, sau đó giải thích ngắn gọn. Các câu hỏi gồm: (1) Tần số $2$, $4$, $4$ trên ba nhóm cùng độ rộng có cỡ mẫu bằng bao nhiêu? A. $3$; B. $10$; C. $4$. (2) Dữ liệu đúng bằng $30$ thuộc nhóm nào nếu có $[20;30)$ và $[30;40)$? A. $[20;30)$; B. Cả hai nhóm; C. $[30;40)$. (3) Giá trị đại diện nhóm $[40;50)$ là gì? A. $45$; B. $40$; C. $50$. (4) Mẫu có hai nhóm cùng tần số lớn nhất, phát biểu nào phù hợp? A. Trung vị chắc bằng $0$; B. Cần nêu tình trạng đồng hạng, không tự khẳng định nhóm mốt duy nhất; C. Luôn chọn nhóm đứng trước. (5) Tần số tương đối của nhóm có $7$ trong tổng $20$ quan sát bằng bao nhiêu phần trăm?

Đáp án: (1) B, cỡ mẫu $2+4+4=10$. (2) C, đầu phải mở và đầu trái đóng nên $30$ thuộc $[30;40)$. (3) A, giá trị đại diện $\dfrac{40+50}{2}=45$. (4) B, đồng hạng là thông tin cần giữ. (5) $35\%$, vì $\dfrac{7}{20}\cdot 100\%=35\%$.

Vận dụng công thức tính trung bình, trung vị, $Q_3$, mốt nội suy và so sánh hai mẫu; trình bày lời giải có lập luận và kiểm tra tính hợp lí của kết quả.

GV chia lớp thành 5 nhóm, mỗi nhóm nhận một bài trong Phiếu học tập số 2 và trình bày trên bảng nhóm. Các bài gồm: Nhóm 1 làm bài 5; Nhóm 2 làm bài 6; Nhóm 3 làm bài 8; Nhóm 4 làm bài 9; Nhóm 5 làm bài 10. Các nhóm còn lại đóng vai người phản biện, kiểm tra điều kiện và cách tính của nhóm trình bày.

Đáp án và lời giải tóm tắt:

• Bài 5: Các nhóm $[0;2)$, $[2;4)$, $[4;6)$ có tần số $1$, $2$, $1$; giá trị đại diện $1$, $3$, $5$; trung bình $\dfrac{1\cdot 1+2\cdot 3+1\cdot 5}{4}=3$.
• Bài 6: Tần số $1$, $6$, $3$, $n=10$; trung vị nằm trong nhóm $[10;20)$; $M_e=10+\dfrac{5-1}{6}\cdot 10=\dfrac{50}{3}\approx 16{,}6667$.
• Bài 8: Tần số $2$, $6$, $2$; nhóm mốt $[10;20)$; $M_o=10+\dfrac{6-2}{(6-2)+(6-2)}\cdot 10=15$.
• Bài 9: Tần số $4$, $4$, $2$, $n=10$; giá trị đại diện $5$, $15$, $25$; trung bình $\dfrac{4\cdot 5+4\cdot 15+2\cdot 25}{10}=13$. Vị trí $Q_3$ là $7{,}5$, nằm trong nhóm $[10;20)$; $Q_3=10+\dfrac{7{,}5-4}{4}\cdot 10=18{,}75$. Chấp nhận mọi cách giải và biểu thức tương đương đúng điều kiện.
• Bài 10: Mẫu A: $1$, $2$, $3$ và mẫu B: $0$, $2$, $4$ đều có trung bình $2$ và trung vị $2$. Hai mẫu không có cùng phân bố vì các giá trị và độ trải khác nhau; cùng số đại diện không quyết định cùng phân bố.

Vận dụng các số đặc trưng xu thế trung tâm để mô tả một tình huống thực tế và nêu được giới hạn khi diễn giải kết quả.

Một trường khảo sát tiền ăn sáng (nghìn đồng/ngày) của $20$ học sinh, kết quả ghi nhóm: $[10;20)$: $2$ học sinh; $[20;30)$: $5$ học sinh; $[30;40)$: $8$ học sinh; $[40;50)$: $5$ học sinh. Yêu cầu: (1) Tính số trung bình, trung vị và mốt nội suy của mẫu. (2) Nhận xét vì sao kết quả chỉ là xấp xỉ và không thể khẳng định mỗi học sinh chi đúng số tiền đó. (3) Nêu một điều cần xét thêm nếu muốn so sánh chi tiêu của lớp 11 với lớp 12.

(1) Trung bình: $\bar{x}=\dfrac{2\cdot 15+5\cdot 25+8\cdot 35+5\cdot 45}{20}=33$ nghìn đồng. Trung vị: vị trí $10$, nhóm $[30;40)$, $M_e=30+\dfrac{10-7}{8}\cdot 10=33{,}75$ nghìn đồng. Mốt: nhóm $[30;40)$, $M_o=30+\dfrac{8-5}{(8-5)+(8-5)}\cdot 10=35$ nghìn đồng.
(2) Các số trên là xấp xỉ vì dùng giá trị đại diện và nội suy trong nhóm; không phải số tiền thật của từng học sinh.
(3) Cần xét thêm cách lấy mẫu, cỡ mẫu và điều kiện thu thập (ví dụ thời điểm khảo sát, đối tượng khảo sát), không chỉ so sánh số trung tâm.