Giáo án Bài 10. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Huy động kiến thức cũ về điểm và đường thẳng, nhận ra vấn đề “một mặt phẳng được xác định bởi điều kiện nào” và “khi nào một đường thuộc mặt phẳng”.

HS quan sát một chiếc ghế ba chân đặt trên sàn và một thanh gỗ nằm trên mặt bàn. HS trả lời ba câu hỏi: (1) Ba điểm tiếp xúc của ba chân ghế với sàn có xác định được một mặt phẳng không? (2) Nếu ba điểm đó thẳng hàng thì sao? (3) Hai đầu của thanh gỗ nằm trên mặt bàn, thanh gỗ có nằm trọn trong mặt bàn không?

Kết luận ban đầu: ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng (ba chân ghế không thẳng hàng nên đặt được ổn định trên sàn); ba điểm thẳng hàng không đủ để xác định một mặt phẳng duy nhất. Nếu hai đầu thanh gỗ thuộc mặt bàn thì cả thanh gỗ thuộc mặt bàn. Từ đó nêu vấn đề: làm thế nào tìm được đường giao của hai mặt phẳng (ví dụ mặt bàn và mặt tường)?

HS hình thành các cách xác định một mặt phẳng và điều kiện để một đường thẳng nằm trong mặt phẳng; dùng kí hiệu đúng.

HS làm việc nhóm 4 với mô hình tứ diện ABCD và Phiếu học tập số 1, phần A. Nhóm thảo luận: (1) Nêu các dữ kiện xác định một mặt phẳng. (2) Với hai điểm phân biệt của đường thẳng d cùng thuộc mặt phẳng $(\alpha)$, có kết luận gì về d? (3) Viết bằng kí hiệu: $A\in(\alpha)$, $d\subset(\alpha)$.

Kiến thức HS rút ra:

• Một mặt phẳng được xác định bởi: ba điểm không thẳng hàng; một đường thẳng và một điểm ở ngoài đường đó; hai đường thẳng cắt nhau; hai đường thẳng song song phân biệt.
• Nếu $A\in(\alpha)$, $B\in(\alpha)$ và $A\neq B$ thì $AB\subset(\alpha)$.
• Ví dụ kí hiệu đúng: $M\in(ABC)$, $AB\subset(ABC)$; đường d không nằm trong $(\alpha)$ khi d có ít nhất một điểm không thuộc $(\alpha)$, viết $d\not\subset(\alpha)$.
  Nhóm ghi kết quả vào Phiếu học tập số 1, phần A.

HS nắm cách xác định giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt bằng hai điểm chung và phân biệt được trường hợp chỉ có một điểm chung.

HS làm việc theo cặp đôi, thực hiện Phiếu học tập số 1, phần B. Nhiệm vụ: (1) Trong tứ diện ABCD, tìm $(ABC)\cap(ABD)$. (2) Nêu lí do cần hai điểm chung phân biệt để xác định giao tuyến. (3) Giải thích vì sao một điểm chung chưa đủ để xác định giao tuyến.

Lời giải mẫu: $A\in(ABC)$, $A\in(ABD)$, $B\in(ABC)$, $B\in(ABD)$; vì bốn đỉnh A, B, C, D không đồng phẳng nên $(ABC)\neq(ABD)$. Do đó $(ABC)\cap(ABD)=AB$.
Kiến thức rút ra: để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt, tìm hai điểm chung phân biệt rồi nối lại. Chỉ một điểm chung không đủ xác định đường giao tuyến. Hai mặt phẳng phân biệt chung một điểm thì giao nhau theo một đường thẳng đi qua điểm đó (chưa xác định được phương của đường này).

HS nhận biết ba vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng; nêu được cách tìm giao điểm bằng mặt phẳng phụ.

GV dẫn dắt theo hình vẽ: đường thẳng d và mặt phẳng $(\alpha)$ có thể nằm trong, cắt hoặc song song. Với trường hợp d cắt $(\alpha)$, HS thảo luận: để tìm điểm $I=d\cap(\alpha)$, ta chọn mặt phẳng phụ $(\beta)$ chứa d, tìm giao tuyến $\Delta=(\beta)\cap(\alpha)$; khi đó giao điểm của d và $\Delta$ chính là I. Câu hỏi: vì sao không được lấy giao điểm của hai đường trên hình vẽ phẳng làm kết luận?

Kiến thức HS rút ra:

• Vị trí tương đối: đường nằm trong mặt; đường cắt mặt tại một điểm; đường song song với mặt khi không có điểm chung.
• Quy trình tìm giao điểm: (1) chọn mặt phẳng phụ $(\beta)$ chứa đường d; (2) tìm giao tuyến $\Delta=(\beta)\cap(\alpha)$; (3) giao điểm $I=d\cap\Delta$ là giao điểm cần tìm.
• Hình biểu diễn chỉ là hình phẳng, đường nét khuất không làm chứng cứ: hai đường “giao nhau” trên giấy có thể chỉ là hình chiếu, không phải giao điểm trong không gian.

HS vận dụng các khái niệm xác định mặt phẳng, thuộc của đường thẳng, giao tuyến để đánh giá đúng sai và chọn đáp án.

HS làm bài 1 đến bài 5 (trắc nghiệm và đúng/sai) trên học liệu số NeoEdu hoặc trên phiếu in:

1. Dữ kiện nào xác định duy nhất một mặt phẳng? A. Một điểm và một đường đi qua điểm đó. B. Ba điểm không thẳng hàng. C. Ba điểm bất kì kể cả thẳng hàng.
2. Hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa hai điểm A, B phân biệt thì giao tuyến là gì? A. Chỉ hai điểm A, B. B. Không có giao tuyến. C. Đường thẳng AB.
3. Tứ diện ABCD có bốn đỉnh không đồng phẳng. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa đúng ba đỉnh?
4. Hai đường thẳng phân biệt cắt nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng cùng chứa chúng?
5. Đúng hay sai: a) Ba điểm thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng. b) Đường có hai điểm phân biệt trong mặt thì nằm trong mặt. c) Hai mặt phẳng phân biệt có thể giao nhau chỉ tại một điểm. d) Hai đường song song phân biệt xác định một mặt phẳng.

Đáp án:

1. B (ba điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng).
2. C (đường AB thuộc cả hai mặt; hai mặt phân biệt không có hai giao tuyến khác nhau).
3. 4 (các mặt (ABC), (ABD), (ACD), (BCD)).
4. 1 (hai đường cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng).
5. a) Sai; b) Đúng; c) Sai (hai mặt phân biệt có điểm chung thì giao nhau theo một đường thẳng); d) Đúng.
   HS ghi lí do ngắn gọn cho từng câu, đặc biệt câu 5a và 5c.

HS vận dụng điều kiện hai điểm chung và kiểm tra trùng mặt để tìm giao tuyến của các mặt phẳng trong tứ diện.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 2:
Bài 6. Tứ diện SABC, M nằm trên SA, N nằm trên SB, M và N khác các đỉnh. Tìm giao tuyến của $(SMN)$ và $(SAB)$.
Bài 7. Tứ diện SABC, M nằm trên AB, N nằm trên AC, M và N khác A. Tìm giao tuyến của $(SMN)$ và $(ABC)$.
Bài 8. Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt, dữ kiện trực tiếp đủ là gì? A. Một điểm bất kì trên mặt thứ nhất. B. Hai đường nhìn cắt nhau trên hình giấy. C. Hai điểm chung phân biệt.

Bài 6: Ta có S, M, N đều thuộc $(SAB)$ vì M thuộc SA và N thuộc SB. Vì M khác S và N không nằm trên đường SA nên S, M, N không thẳng hàng; do đó $(SMN)$ trùng $(SAB)$. Kết luận: $(SMN)$ và $(SAB)$ trùng nhau, không tồn tại giao tuyến theo nghĩa hai mặt phân biệt.
Bài 7: M và N là hai điểm chung phân biệt của $(SMN)$ và $(ABC)$ (vì M thuộc AB, N thuộc AC nên cùng thuộc $(ABC)$; M, N cũng thuộc $(SMN)$). Điểm S không thuộc $(ABC)$ nên hai mặt phân biệt. Kết luận: $(SMN)\cap(ABC)=MN$.
Bài 8: Đáp án C (hai điểm chung phân biệt xác định đường chung; hình biểu diễn không thay thế chứng minh).

HS mô hình hoá tình huống thực tế bằng mặt phẳng và giao tuyến, giải thích được vì sao hai mái nhà giao nhau theo một đường và tìm được điểm cắt của thanh gỗ với mặt bàn.

GV yêu cầu HS quan sát một mái nhà hai mái (hoặc hình ảnh mái nhà trong sách) và trả lời: (1) Mỗi mái có thể coi là một phần của mặt phẳng nào? (2) Hai mái giao nhau theo đường nào và vì sao chỉ cần hai điểm chung là xác định được đường đó? (3) Một thanh gỗ đặt xiên qua mặt bàn, cắt mặt bàn tại một điểm, có thể tìm điểm đó bằng cách nào? Giải thích bằng quy trình học trong tiết.

Dự kiến: (1) Mỗi mái là một phần của mặt phẳng. (2) Hai mái là hai mặt phẳng phân biệt có chung đường nóc; đường nóc đi qua hai điểm chung phân biệt (hai đầu nóc). (3) Chọn một mặt phẳng phụ chứa thanh gỗ và tìm giao tuyến của mặt phụ với mặt bàn; giao điểm của thanh gỗ với giao tuyến đó chính là điểm cắt cần tìm.
Kết quả HS viết ngắn gọn 3 đến 5 dòng lời giải cho mỗi ý.