Giáo án Bài 11. Hai đường thẳng song song

Huy động kiến thức nền về đồng phẳng và tạo tình huống để HS nhận ra cần phân loại vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.

GV vẽ tứ diện ABCD trên bảng và hỏi: Hai cạnh AB và CD có cùng nằm trong một mặt phẳng hay không? Vì sao? HS suy nghĩ cá nhân trong 1 phút, sau đó trao đổi nhanh với bạn cùng bàn. Câu hỏi bổ sung: Hai cạnh AB và CD có điểm chung không?

HS nhận ra: nếu AB và CD cùng nằm trong một mặt phẳng thì cả bốn đỉnh A, B, C, D đồng phẳng, trái với định nghĩa tứ diện; do đó AB và CD không đồng phẳng và không có điểm chung. Đây là trường hợp hai đường chéo nhau. Từ đó HS xác định nhiệm vụ: phân loại vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian.

Nêu được định nghĩa hai đường thẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau; giải thích được vì sao không cắt nhau chưa đủ để song song.

Nhóm 4 HS hoàn thành Phiếu học tập số 1, phần A: quan sát hình hộp ABCD.A'B'C'D' và xét các cặp đường thẳng AB và CD, AB và CC', AB và C'D'. Với mỗi cặp, HS xác định (1) có cùng nằm trong một mặt phẳng không, (2) có điểm chung không, (3) kết luận song song, cắt nhau hay chéo nhau. HS cũng trả lời câu hỏi: Hai đường thẳng không có điểm chung có nhất thiết song song không? Lấy ví dụ trên hình hộp.

Kết quả nhóm cần đạt: AB và CD nằm trong mặt đáy ABCD nên đồng phẳng, không có điểm chung, do đó song song. AB và CC' không đồng phẳng, không có điểm chung nên chéo nhau. AB và C'D' cùng nằm trong mặt phẳng A'B'C'D' ... Các đường thẳng này đồng phẳng và không có điểm chung nên song song (AB ∥ C'D' khi xét AB ∥ CD ∥ C'D' ở phần vận dụng sau).
Kiến thức HS rút ra:

• Hai đường thẳng phân biệt song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung, kí hiệu $a \parallel b$.
• Hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không đồng phẳng (không tồn tại mặt phẳng chứa cả hai).
• Không cắt nhau chưa đủ để song song: hai đường chéo nhau không có điểm chung nhưng không song song.

Phát biểu được tiên đề về đường thẳng song song trong không gian và tính chất hai đường thẳng cùng song song với đường thứ ba; vận dụng được đường trung bình của tam giác để chứng minh song song.

Nhiệm vụ 1: Cho điểm P nằm ngoài đường thẳng a. Có bao nhiêu đường thẳng qua P song song với a? Nhiệm vụ 2: Hai đường thẳng phân biệt a và b cùng song song với c thì quan hệ giữa a và b là gì? Nhiệm vụ 3 (ví dụ): Cho tứ diện SABC, M và N là trung điểm SA, SB. Chứng minh MN ∥ AB. HS đọc ví dụ, tự lập luận rồi so sánh với lời giải mẫu. Nhiệm vụ 4: Vì sao phải lưu ý không lấy chiều nghiêng trên hình vẽ làm bằng chứng song song?

Kiến thức HS rút ra:

• Tiên đề: Trong không gian, qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng có duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
• Tính chất: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
• Phương pháp: Trong tam giác SAB, MN là đường trung bình nên MN ∥ AB. Các cách khác: dùng cạnh đối của hình bình hành hoặc định lí Thalès trong mặt phẳng phù hợp.
• Lưu ý: Không lấy chiều nghiêng trên hình vẽ làm bằng chứng song song; phải chứng minh bằng định nghĩa, tiên đề hoặc tính chất.
  Lời giải mẫu ví dụ: Xét tam giác SAB có M là trung điểm SA, N là trung điểm SB, nên MN là đường trung bình của tam giác SAB, suy ra MN ∥ AB.

Vận dụng định nghĩa và tính chất để nhận biết nhanh vị trí tương đối của hai đường thẳng và kiểm tra các mệnh đề đúng sai.

GV tổ chức trò chơi 'Đúng hay sai' và trắc nghiệm trên học liệu số NeoEdu (trang bài học, phần bài tập tương tác) hoặc trên bảng. Các câu hỏi: (1) Hai cạnh đối AB và CD của tứ diện ABCD là gì? A. Luôn cắt nhau. B. Chéo nhau. C. Luôn song song. (2) Trong tam giác ABC, M là trung điểm AB, N là trung điểm AC. Quan hệ giữa MN và BC? A. Chéo nhau. B. Vuông góc trong mọi tam giác. C. Song song. (3) Trong tam giác ABC, M, N là trung điểm AB, AC; BC = 14 cm. Độ dài MN là bao nhiêu cm? (4) Qua điểm P nằm ngoài đường a, có bao nhiêu đường thẳng song song với a? (5) Xét các mệnh đề: a) Hai đường không cắt nhau thì chắc chắn song song. b) Hai đường chéo nhau không có mặt phẳng nào chứa cả hai. c) Hai đường song song phân biệt thì đồng phẳng. d) Hai đường phân biệt cùng song song với a thì song song với nhau. (6) Hai đường a, b phân biệt cùng song song với c. Kết luận đúng? A. a, b chéo nhau. B. a ⊥ b. C. a ∥ b.

Đáp án và đáp án giải thích:
(1) B. Chéo nhau. Nếu AB và CD đồng phẳng thì cả bốn đỉnh A, B, C, D đồng phẳng, trái định nghĩa tứ diện.
(2) C. Song song. MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN ∥ BC.
(3) 7. MN = BC/2 = 14/2 = 7 cm.
(4) 1. Theo tiên đề song song trong mặt phẳng xác định bởi P và a.
(5) a) S (có thể chéo nhau); b) Đ; c) Đ; d) Đ (các đường phân biệt cùng song song với a thì song song với nhau).
(6) C. a ∥ b, theo tính chất hai đường phân biệt cùng song song với đường thứ ba.

Vận dụng đường trung bình, cạnh đối hình bình hành để chứng minh hai đường thẳng song song; dùng phương pháp phản chứng để chứng minh hai đường thẳng chéo nhau.

Bài 1: Tứ diện ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
Bài 2: Trong hình hộp ABCD.A'B'C'D', giải thích vì sao AB song song với C'D' nhưng AB và CC' chéo nhau.
HS làm theo nhóm đôi, sau đó thảo luận nhóm 4. GV gợi ý: Với bài 1, hãy xét các tam giác ABC, ADC. Với bài 2, hãy chuỗi song song qua CD và nghĩ về việc giả sử AB và CC' đồng phẳng.

Bài 1: Trong tam giác ABC, MN là đường trung bình nên MN ∥ AC và MN = AC/2. Trong tam giác ADC, QP là đường trung bình nên QP ∥ AC và QP = AC/2. Suy ra MN ∥ QP và MN = QP, do đó MNPQ là hình bình hành. (Cũng có NP ∥ MQ ∥ BD.)
Bài 2: AB ∥ CD và CD ∥ C'D' nên AB ∥ C'D' (tính chất bắc cầu). Để chứng minh AB và CC' chéo nhau: giả sử AB và CC' cùng nằm trong một mặt phẳng (α). Khi đó (α) chứa A, B, C nên (α) là mặt phẳng đáy ABCD, do đó C' thuộc đáy, mâu thuẫn vì C' nằm ngoài mặt đáy. Vậy AB và CC' không đồng phẳng, tức là chéo nhau.

Vận dụng kiến thức hai đường thẳng song song và chéo nhau để mô tả vị trí các cạnh của một khung vật thể gắn với thực tế (khung cửa, khung kệ sách hình hộp).

Nhiệm vụ: Một khung kệ sách có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' (mô hình khung bằng que, GV có thể dùng mô hình thực hoặc vẽ). HS trả lời: (a) Kể tên hai cạnh song song với nhau và giải thích bằng định nghĩa; (b) Kể tên hai cạnh chéo nhau và giải thích; (c) Chứng minh rằng AB ∥ C'D' và giải thích vì sao đoạn nối AC' không thể nằm trong mặt phẳng ABCD. Nhiệm vụ về nhà: quan sát một vật thể trong lớp học (bàn, khung cửa, bảng) và chỉ ra ít nhất một cặp đường thẳng song song và một cặp đường thẳng chéo nhau.

Sản phẩm: Một bảng mô tả vị trí tương đối các cạnh của khung kệ, gồm:

• Cặp song song: AB và CD (cùng thuộc mặt đáy ABCD, đồng phẳng, không có điểm chung), suy ra AB ∥ CD; AB ∥ C'D' theo tính chất bắc cầu.
• Cặp chéo nhau: AB và CC' (không đồng phẳng, như đã chứng minh ở bài luyện tập), AB và DD' cũng chéo nhau theo lập luận tương tự.
• Kết luận: Hai đường thẳng không cắt nhau chưa chắc song song; cần kiểm tra điều kiện đồng phẳng. HS nêu được tình huống thực tế có đường song song và đường chéo nhau.