Giáo án Bài 12. Đường thẳng và mặt phẳng song song

Huy động trực giác của HS về đường thẳng không có điểm chung với mặt phẳng; nêu được vấn đề cần làm rõ: cần định nghĩa chính xác và tiêu chuẩn kiểm tra.

GV đặt một que thẳng song song với mặt bàn, không chạm mặt bàn. HS quan sát và trả lời hai câu hỏi: (1) Que và mặt bàn có điểm chung không? (2) Làm thế nào để khẳng định chắc chắn điều đó khi không thể kiểm tra từng điểm của đường thẳng và mặt phẳng?

• Que và mặt bàn không có điểm chung.
• Vấn đề: cần định nghĩa đường thẳng song song mặt phẳng qua số điểm chung; cần một dấu hiệu nhận biết dựa vào đường thẳng nằm trong mặt phẳng, vì không thể kiểm tra mọi điểm.
• Câu hỏi nảy sinh: nếu một đường thẳng không cắt mặt phẳng thì có chắc chắn đường đó song song với mặt phẳng không?

Nêu được định nghĩa đường thẳng song song mặt phẳng bằng số điểm chung; phân biệt được các trường hợp đường thẳng nằm trong, cắt và song song với mặt phẳng.

HS làm việc theo cặp đôi với Phiếu học tập số 1. Phần A: xét ba tình huống của đường $a$ với mặt phẳng $(P)$: $a$ nằm trong $(P)$; $a$ cắt $(P)$ tại một điểm; $a$ không có điểm chung với $(P)$. Từ đó HS phát biểu định nghĩa. Phần B: đánh giá đúng/sai bốn phát biểu về quan hệ đường–mặt. Phần C: điền số điểm chung của đường $a$ song song mặt $(P)$.

• Định nghĩa: đường thẳng $a$ song song mặt phẳng $(P)$ khi $a$ và $(P)$ không có điểm chung, kí hiệu $a \parallel (P)$, tức là $a \cap (P) = \varnothing$.
• Số điểm chung của $a$ và $(P)$ khi $a \parallel (P)$ là 0.
• Đáp án Phần B: a) S (đường nằm trong mặt có vô số điểm chung nên không song song); b) Đ (nếu $a \parallel (P)$ thì $a$ không có điểm chung với $(P)$, nên không cắt đường nào của $(P)$); c) S (đường song song mặt không song song với mọi đường của mặt, có thể chéo với đường khác phương); d) Đ (đường chứa hai điểm phân biệt của $(P)$ có vô số điểm chung với $(P)$ nên không song song với $(P)$).

Phát biểu và giải thích được dấu hiệu nhận biết $a \parallel (P)$; hiểu vai trò của điều kiện $a \not\subset (P)$ qua phản ví dụ.

HS làm việc theo nhóm 4 người với Phiếu học tập số 2. Nhiệm vụ 1: dùng que $a$, que $b$ và tấm bìa $(P)$ đặt $b \subset (P)$, $a \parallel b$ và $a \not\subset (P)$; nêu nhận xét về quan hệ giữa $a$ và $(P)$. Nhiệm vụ 2: giải thích vì sao $a$ không cắt $(P)$. Nhiệm vụ 3: xét khả năng $a \subset (P)$, nêu phản ví dụ trong mặt $(P)$ có hai đường song song phân biệt và chỉ ra kết luận «$a \parallel (P)$» không đúng; sửa phát biểu bằng cách thêm điều kiện đúng.

• Dấu hiệu: nếu $a \parallel b$, $b \subset (P)$ và $a \not\subset (P)$ thì $a \parallel (P)$.
• Giải thích: $a$ và $b$ cùng nằm trong một mặt phẳng nên đồng phẳng; nếu $a$ cắt $(P)$ tại $M$ thì $M$ thuộc $a$ và thuộc $(P)$; vì $b \subset (P)$ và $a$, $b$ đồng phẳng, $a$ phải cắt $b$, trái với $a \parallel b$. Do đó $a \cap (P) = \varnothing$.
• Phản ví dụ: trong $(P)$ lấy hai đường $a$, $b$ phân biệt và $a \parallel b$; khi đó $a \subset (P)$ nên $a$ không song song với $(P)$ theo định nghĩa, dù có $a \parallel b$ và $b \subset (P)$.
• Sửa tiêu chuẩn: thêm điều kiện $a \not\subset (P)$ vào phát biểu.
• Kết luận: điều kiện $a \not\subset (P)$ là bắt buộc.

Phát biểu và chứng minh được tính chất: nếu $a \parallel (P)$ và mặt phẳng $(Q)$ chứa $a$ cắt $(P)$ theo giao tuyến $b$ thì $a \parallel b$.

HS làm việc cá nhân 3 phút rồi chia sẻ với bạn cùng bàn. Cho $a \parallel (P)$, $a \subset (Q)$, $(P) \cap (Q) = b$. Câu hỏi: (1) Hai đường $a$ và $b$ có điểm chung không? Vì sao? (2) Hai đường $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng nào? (3) Suy ra quan hệ giữa $a$ và $b$.

• Lập luận: $a$ và $b$ cùng nằm trong $(Q)$ nên đồng phẳng.
• Nếu $a$ và $b$ có điểm chung $M$ thì $M$ thuộc $a$ và $M$ thuộc $(P)$ (vì $b \subset (P)$), suy ra $a \cap (P) \ne \varnothing$, trái giả thiết $a \parallel (P)$.
• Kết luận: $a$ và $b$ đồng phẳng và không có điểm chung nên $a \parallel b$.
• Đáp án bài tập 2: C (song song). Nếu $a$ cắt hoặc trùng $b$ thì $a$ có điểm chung với $(P)$, trái giả thiết.
• Lưu ý: tính chất này dùng để xác định giao tuyến và thiết diện.

Củng cố định nghĩa, dấu hiệu và tính chất qua các bài tập nhanh; rèn cách lập luận ngắn gọn và kiểm tra điều kiện.

Cả lớp làm bài tập nhanh: (1) Để suy $a \parallel (P)$ từ $a \parallel b$ và $b \subset (P)$ còn cần gì? A. $a$ cắt $b$. B. $a \not\subset (P)$. C. $a \subset (P)$. (2) Nếu $a \parallel (P)$, $a \subset (Q)$, $(P) \cap (Q) = b$ thì $a$ và $b$ thế nào? A. Cắt nhau tại một điểm. B. Trùng nhau. C. Song song. (3) Tứ diện $SABC$, $M$, $N$ là trung điểm $SA$, $SB$, $AB = 12$ cm. Độ dài $MN$ là bao nhiêu cm? (4) Đường $a$ song song mặt $(P)$. Số điểm chung là bao nhiêu? (5) Đường $a$ qua $M$ ngoài $(P)$, song song đường $b$ nằm trong $(P)$. Quan hệ đúng là: A. $a \subset (P)$. B. $a$ cắt $(P)$ ở mọi trường hợp. C. $a \parallel (P)$. HS giơ bảng con ghi đáp án; GV có thể cho HS làm thêm bài tập tương tác trên học liệu số NeoEdu nếu còn thời gian.

• Câu 1: B (loại trường hợp $a \subset (P)$).
• Câu 2: C (nếu cắt hoặc trùng thì $a$ có điểm chung với $(P)$, trái giả thiết).
• Câu 3: $MN = 6$ cm (vì $MN$ là đường trung bình của tam giác $SAB$ nên $MN = \dfrac{1}{2}AB = 6$ cm; $MN \parallel AB$ và $AB$ nằm trong mặt đáy).
• Câu 4: 0 (theo định nghĩa đường thẳng song song mặt phẳng).
• Câu 5: C (vì $M$ ngoài $(P)$ nên $a \not\subset (P)$; $a \parallel b$, $b \subset (P)$ nên $a \parallel (P)$).

Vận dụng dấu hiệu nhận biết để chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng trong tứ diện; dùng mô hình thực tế để kiểm tra kết quả.

HS làm việc nhóm 4 người: dùng que hoặc ống hút và bìa cứng tạo mô hình tứ diện $SABC$, đánh dấu trung điểm $M$ của $SA$ và $N$ của $SB$. Đề bài: tứ diện $SABC$, $M$, $N$ là trung điểm $SA$, $SB$. Chứng minh $MN \parallel (ABC)$. Nhóm kiểm tra bằng mô hình (đặt tấm bìa biểu diễn mặt đáy, quan sát đoạn $MN$ không chạm mặt đáy và song song với cạnh $AB$), sau đó viết lời giải đầy đủ.

Lời giải tham khảo:

• Trong tam giác $SAB$, $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm $SA$, $SB$ nên $MN$ là đường trung bình, do đó $MN \parallel AB$.
• $MN$ nằm trong $(SAB)$ và $MN$ không trùng $AB$.
• Có $(SAB) \cap (ABC) = AB$. Vì $MN \subset (SAB)$ và $MN$ không trùng $AB$ nên $MN$ không thuộc $(ABC)$, tức là $MN \not\subset (ABC)$.
• Có $AB \subset (ABC)$, $MN \parallel AB$ và $MN \not\subset (ABC)$, theo dấu hiệu suy ra $MN \parallel (ABC)$.
• Kiểm tra mô hình: đoạn $MN$ không chạm mặt đáy và song song với cạnh $AB$ thuộc đáy.
• Ghi chú: mọi cách giải đúng điều kiện đều được chấp nhận.