Giáo án Bài 13. Hai mặt phẳng song song

Huy động hiểu biết trực quan của HS về hai mặt phẳng không cắt nhau và dẫn dắt đến định nghĩa hai mặt phẳng song song.

GV đặt hai tấm bìa cứng lên bàn, đặt một tấm song song với mặt bàn và một tấm nghiêng; yêu cầu HS quan sát và trả lời: “Trường hợp nào hai mặt phẳng không có điểm chung? Vì sao?”.

HS nêu được: hai mặt phẳng phân biệt song song khi không có điểm chung nào; tấm nghiêng cắt mặt bàn theo một đường nên có điểm chung.

Giúp HS phát hiện và giải thích điều kiện đủ để hai mặt phẳng song song, đồng thời nhận ra một đường thẳng song song là chưa đủ.

Các nhóm làm Phiếu học tập số 1. Câu 1: Cho $(P)$ chứa đường thẳng $a$ và $a\parallel(Q)$. Có kết luận được $(P)\parallel(Q)$ không? Câu 2: Thêm đường thẳng $b$ nằm trong $(P)$, cắt $a$ và $b\parallel(Q)$. Khi đó kết luận được gì? Câu 3: Qua điểm $M$ không thuộc $(P)$ có bao nhiêu mặt phẳng song song với $(P)$?

Kết luận của HS: Chỉ một đường $a\parallel(Q)$ thì chưa đủ, vì $(P)$ có thể cắt $(Q)$ theo giao tuyến song song với $a$. Nếu $(P)$ chứa hai đường cắt nhau $a$, $b$ cùng song song với $(Q)$ thì $(P)\parallel(Q)$. Qua điểm $M$ ngoài $(P)$ có duy nhất một mặt phẳng song song với $(P)$.

HS giải thích được tính chất giao tuyến song song, quan hệ giữa đường thẳng trong mặt này với mặt kia, và định lí Thalès không gian.

Cho $(P)\parallel(Q)$ và mặt phẳng $(R)$ cắt $(P)$, $(Q)$ lần lượt theo $a$, $b$. Nhiệm vụ 1: Xét quan hệ giữa $a$ và $b$. Nhiệm vụ 2: Nếu $c\subset(P)$ thì $c$ có song song $(Q)$ không? Nếu lấy $c\subset(P)$ và $d\subset(Q)$ thì $c$ và $d$ có luôn song song không? Nhiệm vụ 3: Ba mặt phẳng song song cắt hai đường $d_1$, $d_2$ tại $A$, $B$, $C$ và $A′$, $B′$, $C′$; biết $AB=2$, $BC=3$, $A′B′=4$, tính $B′C′$.

Kết luận: $a\parallel b$ (hai giao tuyến song song, đồng phẳng trong $(R)$ và không có điểm chung). Nếu $c\subset(P)$ thì $c\parallel(Q)$. Không phải mọi cặp $c\subset(P)$, $d\subset(Q)$ đều song song, vì có thể chéo nhau. Định lí Thalès không gian: $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{A′B′}{B′C′}$, suy ra $\dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{B′C′}$, do đó $B′C′=6$.

HS nhận ra các quan hệ song song, bằng nhau trong lăng trụ và áp dụng để giải thích đoạn thẳng song song trong hình không gian.

Quan sát lăng trụ ABC.A′B′C′. GV hỏi: (1) Hai đáy có quan hệ gì? (2) Cạnh bên $AA′$ có song song và bằng $BB′$ không? (3) Mặt $ABB′A′$ là hình gì? Từ đó, so sánh $AB$ và $A′B′$.

HS nêu: hai đáy song song; các cạnh bên song song và bằng nhau; mặt bên là hình bình hành. Vì $ABB′A′$ là hình bình hành nên $AB\parallel A′B′$ và $AB=A′B′$.

Củng cố tiêu chuẩn song song, tính duy nhất, tính chất giao tuyến và lăng trụ thông qua các câu hỏi nhanh.

Làm việc cá nhân rồi kiểm tra theo cặp. Câu 1: Tiêu chuẩn đủ để $(P)\parallel(Q)$ là gì? A. Hai mặt có một cặp đường song song bất kì; B. $(P)$ chứa hai đường cắt nhau cùng song song $(Q)$; C. $(P)$ chứa một đường song song $(Q)$. Câu 2: Hai đáy của một lăng trụ có quan hệ gì? A. Luôn vuông góc; B. Cắt nhau theo cạnh bên; C. Song song. Câu 3: Qua điểm ngoài một mặt phẳng có bao nhiêu mặt phẳng song song với mặt đó? Câu 4: Hai mặt phân biệt cùng song song một mặt thứ ba có quan hệ gì? A. Luôn vuông góc; B. Luôn cắt nhau; C. Song song nhau. Câu 5: Xét $(P)\parallel(Q)$ phân biệt, đúng hay sai: a) Không có điểm chung; b) Một đường thuộc $(P)$ có thể cắt $(Q)$; c) Mặt thứ ba cắt cả hai theo hai giao tuyến song song; d) Mọi đường trong $(P)$ đều song song mọi đường trong $(Q)$.

Đáp án: Câu 1: B. Câu 2: C. Câu 3: 1 mặt phẳng. Câu 4: C. Câu 5: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai (không có điểm chung giữa hai mặt; các đường ở hai mặt có thể chéo nhau). Lưu ý: Câu 1 loại A và C vì một đường hoặc một cặp đường bất kì chưa xác định hướng mặt phẳng.

HS vận dụng tiêu chuẩn song song để chứng minh trong tứ diện, và xác định giao tuyến trong hình hộp với lập luận đầy đủ.

Các nhóm làm Phiếu học tập số 2. Bài 1: Trong tứ diện SABC, M, N, P là trung điểm SA, SB, SC. Chứng minh $(MNP)\parallel(ABC)$. Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Xác định giao tuyến của mặt $(ABB′A′)$ với hai mặt đáy $(ABCD)$ và $(A′B′C′D′)$; giải thích vì sao hai giao tuyến song song.

Bài 1: MN là đường trung bình của tam giác SAB nên $MN\parallel AB$; tương tự $MP\parallel AC$. MN và MP cắt nhau tại M và cùng song song $(ABC)$ nên $(MNP)\parallel(ABC)$. Bài 2: Giao với $(ABCD)$ là AB; giao với $(A′B′C′D′)$ là $A′B′$. Hai đáy song song và cùng bị mặt bên cắt nên $AB\parallel A′B′$.

HS vận dụng định lí Thalès không gian để giải bài toán thực tế về các tầng kệ song song cắt hai thanh đứng.

Một kệ sách có ba tầng là ba mặt phẳng song song (ba tấm ván nằm ngang). Hai thanh đứng bên trái và bên phải cắt ba tầng tại $A$, $B$, $C$ và $A′$, $B′$, $C′$ tương ứng. Biết khoảng cách trên thanh trái $AB=3$ dm, $BC=2$ dm; trên thanh phải $A′B′=6$ dm. Tính $B′C′$. Về nhà: Tìm một vật dụng trong nhà có ba mặt song song cắt hai đường thẳng, đo và kiểm tra tỉ lệ.

Áp dụng định lí Thalès không gian: $\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{A′B′}{B′C′}$, suy ra $\dfrac{3}{2}=\dfrac{6}{B′C′}$, do đó $B′C′=4$ dm. HS giải thích được vì sao ba tầng kệ là ba mặt phẳng song song và các đoạn tương ứng tỉ lệ.