Giáo án Bài 9. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

HS nhận ra khi dữ liệu đã ghép nhóm thì không biết giá trị gốc của từng quan sát, từ đó cần giá trị đại diện và các số đặc trưng xấp xỉ; xác định nhiệm vụ học tập của bài.

GV trình chiếu bảng: thời gian từ nhà đến trường (phút) của 10 bạn lớp 11 được ghi theo nhóm [0; 10): 2 bạn; [10; 20): 6 bạn; [20; 30): 2 bạn. Câu hỏi: (1) Có biết chính xác thời gian của từng bạn không? (2) Làm thế nào để ước lượng thời gian đi học trung bình của cả lớp? (3) Nếu muốn nói 'đa số bạn đi học mất bao lâu' thì nên dùng số nào?

HS nhận ra: chỉ biết số bạn trong mỗi nhóm, không biết giá trị gốc nên phải lấy giá trị đại diện là trung điểm 5, 15, 25 phút; dự đoán thời gian trung bình khoảng 15 phút; để mô tả 'đa số' cần số đặc trưng đo xu thế trung tâm. Nhiệm vụ bài học: tính trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt cho mẫu số liệu ghép nhóm.

HS xây dựng và vận dụng công thức $\bar x\approx\dfrac{\sum m_ix_i}{n}$, hiểu vai trò của giá trị đại diện và cỡ mẫu.

HS hoạt động nhóm 4 theo kĩ thuật khăn trải bàn, hoàn thành câu 1 và câu 2 của Phiếu học tập số 1. Câu hỏi GV đặt ra: (1) Giá trị đại diện của mỗi nhóm là gì? (2) Cỡ mẫu $n$ tính thế nào? (3) Viết công thức trung bình ghép nhóm và tính $\bar x$ cho bảng dữ liệu trong Phiếu học tập số 1. (4) Vì sao kết quả chỉ là giá trị xấp xỉ?

Giá trị đại diện: 5, 15, 25 phút. Cỡ mẫu $n=2+6+2=10$. Công thức $\bar x\approx\dfrac{\sum m_ix_i}{n}$. Tính: $\bar x\approx\dfrac{2\cdot 5+6\cdot 15+2\cdot 25}{10}=\dfrac{10+90+50}{10}=15$ (phút). Kết luận HS rút ra: trung bình ghép nhóm dùng trung điểm thay cho giá trị gốc nên chỉ là xấp xỉ; cỡ mẫu là tổng các tần số.

HS xác định được nhóm chứa vị trí $n/2$, $n/4$, $3n/4$ và tính được $M_e$, $Q_1$, $Q_3$ bằng công thức nội suy, kiểm tra thứ tự $Q_1\le M_e\le Q_3$.

HS làm việc theo nhóm mảnh ghép: nhóm A nhận nhiệm vụ tìm trung vị (câu 3 của Phiếu học tập số 1), nhóm B nhận nhiệm vụ tìm tứ phân vị (câu 4 của Phiếu học tập số 1), sau đó ghép nhóm để chia sẻ. Câu hỏi GV đặt ra: (1) Vị trí trung vị là bao nhiêu? Nhóm nào chứa vị trí đó? (2) Vị trí của $Q_1$ và $Q_3$ là gì? (3) Áp dụng công thức nội suy để tính. (4) Kết quả có hợp lí không?

Trung vị: $n=10$, vị trí $n/2=5$, nhóm chứa là [10; 20) vì tần số tích lũy trước nhóm $F=2$, $f=6$, $L=10$, $h=10$. $M_e=10+\dfrac{5-2}{6}\cdot 10=15$ (phút). Tứ phân vị: $Q_1$ ở vị trí $n/4=2{,}5$ thuộc nhóm [10; 20), $Q_1=10+\dfrac{2{,}5-2}{6}\cdot 10\approx 10{,}8$. $Q_3$ ở vị trí $3n/4=7{,}5$ cũng thuộc nhóm [10; 20), $Q_3=10+\dfrac{7{,}5-2}{6}\cdot 10\approx 19{,}2$. Kiểm tra: $10{,}8<15<19{,}2$ là hợp lí.

HS xác định nhóm mốt, tính được mốt nội suy và giải thích được hạn chế của mốt cũng như cách chọn trung bình, trung vị, mốt theo mục đích.

GV tổ chức hoạt động cặp đôi dựa trên bảng của Phiếu học tập số 1. Câu hỏi GV đặt ra: (1) Nhóm nào có tần số lớn nhất? (2) Vì các nhóm cùng độ rộng, mốt được tính theo công thức nào, với $f_{trước}$ và $f_{sau}$ là gì? (3) Mốt có phải là số đo thật của một bạn không? (4) Nếu có hai nhóm cùng tần số cao nhất thì xử lí thế nào? (5) Khi nào nên dùng trung vị thay cho trung bình?

Nhóm mốt là [10; 20) vì có tần số 6 lớn nhất. $M_o=10+\dfrac{6-2}{(6-2)+(6-2)}\cdot 10=10+\dfrac{4}{8}\cdot 10=15$ (phút). HS rút ra: mốt là vị trí đại diện nội suy của vùng tập trung, không nhất thiết là số đo của một quan sát; nếu có nhóm đồng hạng cao nhất hoặc nhóm biên thì phải nêu quy ước; trung bình nhạy với giá trị cực đoan, trung vị ít bị ảnh hưởng hơn.

HS vận dụng công thức trung bình, trung vị, mốt và nhận biết nhóm chứa các vị trí đặc trưng qua các bài tập trắc nghiệm, đúng sai.

HS làm bài theo cặp đôi, dùng bài tập 1 đến 5 của phần Bài tập (kèm đáp án). Câu hỏi GV đặt ra: (1) Nhóm chứa trung vị của bảng [0; 10), [10; 20), [20; 30) với tần số 2, 6, 2 là nhóm nào? (2) Nhóm mốt là nhóm nào và vì sao? (3) Tính trung bình ghép nhóm và trung vị nội suy. (4) Nhận định nào đúng, nhận định nào sai trong bài 5?

Bài 1: B, [10; 20), vì $n=10$, vị trí 5 nằm sau tần số tích lũy 2 và không vượt 8. Bài 2: C, [10; 20), vì tần số 6 lớn nhất. Bài 3: $\bar x=\dfrac{2\cdot 5+6\cdot 15+2\cdot 25}{10}=15$. Bài 4: $M_e=10+\dfrac{5-2}{6}\cdot 10=15$. Bài 5: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai, vì mốt là nội suy theo chênh lệch tần số hai bên, không luôn là trung điểm nhóm; d) Đúng, vì hai mẫu có thể cùng trung bình nhưng phân bố khác nhau.

HS tính được tứ phân vị và mốt nội suy, giải thích được vì sao không phải mọi quan sát đều bằng mốt và chọn được số ít nhạy ngoại lệ.

HS làm bài 6, 7 và 8 của phần Bài tập theo nhóm 4 (làm chung, mỗi người trình bày một câu). Câu hỏi GV đặt ra: (1) Tính $Q_1$, $Q_3$ của bảng [0; 10), [10; 20), [20; 30) với tần số 2, 6, 2. (2) Tính mốt nội suy của bảng tần số 3, 8, 5 và giải thích. (3) Khi mẫu có vài giá trị rất lớn, số nào mô tả người ở giữa tốt hơn trung bình?

Bài 6: $n=10$, $Q_1\approx 10{,}8$ (vị trí 2,5 nằm trong nhóm [10; 20)), $Q_3\approx 19{,}2$ (vị trí 7,5 nằm trong nhóm [10; 20)). Bài 7: nhóm mốt [10; 20), $M_o=10+\dfrac{8-3}{(8-3)+(8-5)}\cdot 10\approx 16{,}25$; giải thích: đây là vị trí đại diện nội suy gần vùng tập trung, không phải số đo có thật và không phải mọi quan sát đều bằng giá trị này. Bài 8: C. Trung vị, vì dựa vào vị trí giữa, không bị giá trị cực lớn kéo như trung bình.

HS vận dụng các số đặc trưng đo xu thế trung tâm để mô tả thời gian tự học của một nhóm học sinh trong thực tế, chọn số đặc trưng phù hợp và giải thích lựa chọn.

Theo nhóm 4, HS hoàn thành Phiếu học tập số 2 về thời gian tự học mỗi ngày của 20 học sinh. Nhóm tính $\bar x$, $M_e$, $M_o$ và viết đoạn ngắn 3 đến 4 câu mô tả thời gian tự học của lớp, nêu rõ nên dùng số đặc trưng nào để kết luận và vì sao. Câu hỏi GV đặt ra: (1) Cỡ mẫu $n$ là bao nhiêu? (2) Trung bình và trung vị cho kết quả nào gần nhau? (3) Có nên dùng trung bình để nói 'thường một bạn tự học bao lâu' không?

Cỡ mẫu $n=4+9+5+2=20$. Giá trị đại diện: 15, 45, 75, 105 phút. $\bar x\approx\dfrac{4\cdot 15+9\cdot 45+5\cdot 75+2\cdot 105}{20}=52{,}5$ phút. $M_e=30+\dfrac{10-4}{9}\cdot 30=50$ phút. $M_o=30+\dfrac{9-4}{(9-4)+(9-5)}\cdot 30\approx 46{,}7$ phút. Gợi ý kết luận: thời gian tự học thường khoảng 47 đến 50 phút; trung vị là lựa chọn an toàn hơn vì nhóm [90; 120) có ít bạn nhưng kéo trung bình lên; cần ghi rõ các số đều là xấp xỉ.