Giáo án Bài tập cuối chương II

HS nhận biết nhanh dãy số có phải cấp số cộng hoặc cấp số nhân hay không, từ đó xác định nhiệm vụ ôn tập.

GV chiếu bốn dãy số: (1) $3,\,7,\,11,\,15,\ldots$; (2) $3,\,6,\,12,\,24,\ldots$; (3) $1,\,4,\,9,\,16,\ldots$; (4) $5,\,5,\,5,\,5,\ldots$. HS trả lời nhanh: dãy nào là cấp số cộng, dãy nào là cấp số nhân, dãy nào không là cấp số nào, và tính công sai hoặc công bội nếu có.

• Dãy (1) là cấp số cộng, công sai $d=4$, vì $u_{n+1}-u_n=4$.
• Dãy (2) là cấp số nhân, công bội $q=2$, vì $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=2$.
• Dãy (3) không là cấp số cộng (hiệu $3,5,7$ không đều) và không là cấp số nhân (thương $\dfrac{4}{1}=4$, $\dfrac{9}{4}=2{,}25$ khác nhau); đây là dãy tổng quát.
• Dãy (4) là cấp số cộng có $d=0$ và cũng là cấp số nhân có $q=1$.
• Kết luận: cần phân biệt rõ dãy tổng quát, dãy truy hồi, cấp số cộng và cấp số nhân trước khi áp dụng công thức.

HS hệ thống hoá kiến thức về dãy số và cấp số cộng: định nghĩa, số hạng tổng quát, tổng n số hạng đầu.

HS làm việc theo nhóm 4 người, hoàn thành Phiếu học tập số 1 (điền bảng và trả lời câu hỏi: vì sao phải xác định số số hạng trước khi chọn công thức tổng; khi nào dùng hiệu, khi nào dùng thương). Lưu ý số hạng đầu ở chỉ số 1; nếu đặt mốc thời gian từ 0 thì phải ghi rõ.

Bảng hệ thống hoá (HS điền vào Phiếu 1):

• Dãy tổng quát: $u_n=f(n)$; ví dụ $u_n=5-2n$.
• Dãy truy hồi: cho $u_1$ và công thức $u_{n+1}=f(u_n)$; ví dụ $u_1=2,\ u_{n+1}=u_n+2n$.
• Cấp số cộng: $u_{n+1}-u_n=d$; số hạng tổng quát $u_n=u_1+(n-1)d$; tổng $S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}=\dfrac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}$.
• Kiến thức chốt: với $S_n$, phải xác định đúng $n$ (số số hạng) trước khi thay vào công thức; ví dụ bài 9 có $S_n=n^2$ nên $n=9$ khi $S_n=81$.

HS hệ thống hoá kiến thức cấp số nhân, nhận biết giới hạn áp dụng của công thức (tách trường hợp $q=1$, dữ kiện chứa 0).

HS tiếp tục nhóm cũ, điền phần cấp số nhân của Phiếu học tập số 1 và trả lời các câu hỏi: khi $q=1$ công thức tổng nào được dùng; với dữ kiện có số hạng bằng 0 thì có được chia cho số đó không; kiểm tra công thức $u_3$ của bài 2 bằng hai số đầu.

• Cấp số nhân: $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=q$; số hạng tổng quát $u_n=u_1q^{\,n-1}$.
• Tổng: với $q\neq1$ thì $S_n=\dfrac{u_1(1-q^n)}{1-q}$; với $q=1$ thì $S_n=nu_1$.
• Ví dụ kiểm tra: $u_1=6,\ q=\dfrac{1}{2}$ thì $u_2=3$, $u_3=\dfrac{3}{2}=1{,}5$, khớp với công thức $u_3=6\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2$.
• Lưu ý: không chia tùy tiện cho số hạng bằng 0; khi dữ kiện có số 0 phải lập luận bằng định nghĩa.

HS nhận biết nhanh khái niệm dãy số, cấp số, tính số hạng và chặn của dãy qua bốn câu trắc nghiệm có giải thích.

Trò chơi “Giơ thẻ – giải thích”: GV chiếu bốn câu trắc nghiệm (bài 1 đến bài 4 của bài tập cuối chương II). HS giơ thẻ A, B, C, sau đó một HS giải thích lập luận. Có thể luyện thêm trên trang NeoEdu nếu còn thời gian.
Bài 1: Dãy $u_n=5-2n$ là gì? A. Dãy không đổi; B. Cấp số cộng, công sai $-2$; C. Cấp số nhân, công bội $-2$.
Bài 2: Cấp số nhân $u_1=6,\ q=\dfrac{1}{2}$ có $u_3$ bằng bao nhiêu? A. $3$; B. $0{,}75$; C. $1{,}5$.
Bài 3: Dãy $u_n=\dfrac{1}{n+2}$ với $n\ge1$ có chặn trên bởi số nào? A. $\dfrac{1}{3}$; B. $0$; C. $-1$.
Bài 4: Ba số liên tiếp của cấp số cộng là $x,\ 7,\ 11$. Tìm $x$. A. $18$; B. $3$; C. $4$.

Đáp án và lập luận:

• Bài 1: Đáp án B. Vì $u_{n+1}-u_n=-2$ không đổi.
• Bài 2: Đáp án C. Vì $u_3=6\cdot\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=1{,}5$.
• Bài 3: Đáp án A. Vì $n+2\ge3$ nên $u_n\le\dfrac{1}{3}$, và $u_n>0$.
• Bài 4: Đáp án B. Vì $2\cdot7=x+11$ nên $x=3$.

HS vận dụng công thức số hạng, tổng, tách trường hợp và kết luận có cơ sở để giải bài 5 đến 10.

Các nhóm chuyên gia (6 nhóm) mỗi nhóm nhận một bài trong Phiếu học tập số 2 (bài 5 đến bài 10), giải trong 6 phút, kiểm tra kết quả bằng công thức hoặc thử lại hai số đầu. Sau đó HS tách về nhóm mảnh ghép (mỗi nhóm có đủ các bài), mỗi bạn trình bày bài mình phụ trách và các bạn nhận xét.
Phiếu học tập số 2 gồm: (5) $u_1=7,\ d=5$, tính $u_8$; (6) cấp số cộng có $u_2=5,\ u_6=17$, tính $d$; (7) cấp số nhân $u_1=5,\ q=2$, tính $S_3$; (8) giá trị 200 triệu đồng giảm 10% mỗi năm, sau 2 năm còn bao nhiêu; (9) tìm $n\in\mathbb N^*$ để tổng $n$ số lẻ đầu tiên bằng 81; (10) cho $u_1=2,\ u_{n+1}=u_n+2n$, tính ba số đầu và xét có là cấp số cộng không.

Đáp án và lời giải tóm tắt:

• Bài 5: $u_8=7+7\cdot5=42$.
• Bài 6: $u_6-u_2=4d=12$, suy ra $d=3$.
• Bài 7: $S_3=5+10+20=35$.
• Bài 8: $200\cdot0{,}9^2=162$ triệu đồng.
• Bài 9: Dãy $1,\,3,\,\ldots,\,2n-1$ là cấp số cộng có $u_1=1$, $d=2$; $S_n=\dfrac{n(1+2n-1)}{2}=n^2=81$ suy ra $n=9$ hoặc $n=-9$; loại $n=-9$ vì $n\in\mathbb N^*$. Đáp số $n=9$. Chấp nhận mọi cách giải đúng điều kiện.
• Bài 10: $u_2=2+2\cdot1=4$, $u_3=4+2\cdot2=8$. Hiệu $u_2-u_1=2$ khác $u_3-u_2=4$ nên dãy không là cấp số cộng. Chấp nhận mọi cách giải đúng điều kiện.

HS vận dụng cấp số cộng và cấp số nhân để giải quyết tình huống thực tế về tiền lương và khấu hao.

Tình huống 1: Anh Minh được nhận vào làm với mức lương khởi điểm 6 triệu đồng mỗi tháng; cứ mỗi năm lương tăng thêm 0,5 triệu đồng mỗi tháng. Tính tổng số tiền lương anh nhận được trong 10 năm đầu, biết mỗi năm có 12 tháng.
Tình huống 2: Một chiếc máy lọc nước giá 12 triệu đồng, giá trị còn lại giảm 10% mỗi năm. Tính giá trị còn lại sau 5 năm (làm tròn đến hàng phần trăm của triệu đồng).
HS làm việc cặp đôi, một bạn giải, một bạn kiểm tra bằng máy tính cầm tay.

• Tình huống 1: Lương tháng năm thứ $k$ là cấp số cộng $u_1=6$, $d=0{,}5$. Tổng 10 năm: $S_{10}=\dfrac{10(6+10{,}5)}{2}=82{,}5$ (triệu đồng/tháng cộng dồn theo năm); tổng lương $12\cdot82{,}5=990$ triệu đồng.
• Tình huống 2: Giá trị sau $n$ năm là cấp số nhân $u_n=12\cdot0{,}9^{n}$; sau 5 năm: $12\cdot0{,}9^5\approx7{,}09$ triệu đồng.
• Kết luận: mô hình cộng (tăng đều) dùng cấp số cộng, mô hình tỉ lệ (giảm theo phần trăm cố định) dùng cấp số nhân.