Giáo án Bài 7. Cấp số nhân

Huy động kiến thức cũ về phép nhân và tỉ số, xác định vấn đề: trong một dãy số, số sau có quan hệ với số trước bằng phép nhân với một số không đổi hay không.

GV chiếu ba dãy số: Dãy A: $1;\ 2;\ 4;\ 8;\ 16$. Dãy B: $100;\ 110;\ 121;\ 133{,}1$. Dãy C: $3;\ 6;\ 10;\ 15$. HS làm gì: với mỗi dãy, tính thương của mỗi số hạng với số đứng ngay trước nó và trả lời câu hỏi: 'Số sau bằng số trước nhân với một số không đổi không? Nếu có thì số đó là bao nhiêu?'

Dãy A: mỗi số hạng bằng số trước nhân với $2$, tỉ số luôn bằng $2$. Dãy B: mỗi số hạng bằng số trước nhân với $1{,}1$, tỉ số luôn bằng $1{,}1$. Dãy C: tỉ số $\dfrac{6}{3}=2$ nhưng $\dfrac{10}{6}=\dfrac{5}{3}$, không cố định, nên dãy C không phải dãy có tỉ số không đổi. HS nêu được vấn đề cần giải quyết: dãy có tỉ số không đổi giữa hai số hạng liên tiếp có tên gọi và có công thức tính số hạng bất kì.

Phát biểu được định nghĩa cấp số nhân, nhận biết công bội và suy ra công thức $u_n=u_1q^{n-1}$.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 1. Nhiệm vụ: (1) Đọc dãy $u_1=3$, $q=2$ và viết $u_2$, $u_3$, $u_4$, $u_5$ bằng cách nhân liên tiếp. (2) Dựa vào kết quả, viết hệ thức giữa $u_{n+1}$ và $u_n$. (3) Phát biểu định nghĩa cấp số nhân. (4) Viết $u_2=u_1q$, $u_3=u_2q$, $u_4=u_3q$, từ đó dự đoán công thức $u_n$. (5) Xét dãy $-2;\ -4;\ -6;\ -8$ và dãy $2;\ -6;\ 18;\ -54$ để xác định công bội của từng dãy và trả lời: dãy nào có công bội âm?

Từ (1): $u_2=6$, $u_3=12$, $u_4=24$, $u_5=48$. Từ (2): $u_{n+1}=q\,u_n$ với $q$ không đổi. Định nghĩa: dãy số $(u_n)$ là cấp số nhân nếu kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nhân với một số $q$ không đổi; $q$ gọi là công bội. Từ (4): $u_n=u_1q^{n-1}$ với $n\ge1$ (với $n=1$ hiểu là $u_1$). Từ (5): dãy $-2;-4;-6;-8$ có $q$ không phải dạng cấp số nhân (tỉ số $2$ rồi $1{,}5$); dãy $2;-6;18;-54$ có $q=-3<0$ nên là cấp số nhân có công bội âm. Lưu ý: nếu các số hạng được chia khác 0 thì $q=\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$; không chia cho số hạng 0.

Thiết lập và vận dụng công thức tính tổng $S_n$ của cấp số nhân trong cả hai trường hợp $q\ne1$ và $q=1$.

HS làm việc theo nhóm 4 với Phiếu học tập số 2. Nhiệm vụ: (1) Tính $S=1+2+4+8+16$. (2) Viết $S$ và $qS$ với $q=2$, lấy $qS-S$ để rút ra $S$. (3) Khái quát với $S_n=u_1+u_1q+\cdots+u_1q^{n-1}$: tính $qS_n$ rồi lấy $qS_n-S_n$. (4) Với $q=1$, dùng công thức trên có được không? Tính $S_n$ trực tiếp. (5) Xét tính chất số hạng giữa: nếu $u_k^2=u_{k-1}u_{k+1}$ thì dãy có phải cấp số nhân không? Xét dãy $0;\ 0;\ 1$.

(1) $S=31$. (2) $qS-S=u_1q^n-u_1$, suy ra $S_5=\dfrac{1-2^5}{1-2}=31$. (3) $S_n=\dfrac{u_1(1-q^n)}{1-q}$ với $q\ne1$. (4) Khi $q=1$ thì mẫu bằng 0, không dùng được công thức; khi đó $u_1=u_2=\cdots=u_n$ nên $S_n=nu_1$. Ví dụ: $1+1+\cdots+1$ (20 số) có $S_{20}=20$. (5) Dãy $0;0;1$ thoả $0^2=0\cdot1$ nhưng không phải cấp số nhân vì $1\ne q\cdot0$; nên khi suy ngược từ tính chất số hạng giữa cần kiểm tra thêm điều kiện, đặc biệt khi có số 0.

Vận dụng công thức $u_n=u_1q^{n-1}$, nhận biết công bội âm và kiểm tra các mệnh đề về công thức tổng.

Nhiệm vụ cặp đôi (bài 1, 2, 3, 5, 8 trong sách). Bài 1: $u_1=3$, $q=2$. Số hạng $u_5$ là: A. $30$; B. $48$; C. $96$. Bài 2: Dãy nào là cấp số nhân có công bội âm? A. $2;\ -6;\ -14;\ -22;\ \ldots$; B. $-2;\ -4;\ -6;\ -8;\ \ldots$; C. $2;\ -6;\ 18;\ -54;\ \ldots$. Bài 3: $u_1=2$, $q=3$. Tính $S_4$. Bài 5: Đúng hay sai: a) $q=1$ thì $S_n=nu_1$; b) $q=-1$, $u_1\ne0$ thì các dấu luân phiên; c) $S_n=\dfrac{u_1(1-q^n)}{1-q}$ dùng trực tiếp được khi $q=1$; d) $u_1=5$, $q=0$ thì $u_2=0$. Bài 8: Cấp số nhân $1;1;1;\ldots$ có tổng 20 số đầu bằng: A. $1$; B. Không xác định; C. $20$.

Bài 1: B, vì $u_5=3\cdot2^4=48$. Bài 2: C, vì $-6:2=-3$, $18:(-6)=-3$, $-54:18=-3$, công bội $-3$ âm. Bài 3: $S_4=\dfrac{2(1-3^4)}{1-3}=80$, kiểm tra: $2+6+18+54=80$. Bài 5: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai, vì công thức không dùng được khi $q=1$; d) Đúng, vì $u_2=u_1q=0$. Bài 8: C, vì dùng riêng $q=1$: $S_{20}=20\cdot1=20$.

Giải bài toán tìm $q$, $u_k$, $S_n$ từ dữ kiện cho trước và mô hình hoá tăng hoặc giảm theo tỉ lệ không đổi.

Nhiệm vụ nhóm 4 (bài 4, 6, 7 trong sách). Bài 4: Giá 100 nghìn đồng tăng 10% mỗi năm, tỉ lệ không đổi. Sau 2 năm giá là bao nhiêu nghìn đồng? Bài 6: Biết $u_1=4$, $u_4=108$, công bội thực. Tìm $q$, $u_3$, $S_4$. Bài 7: Khối lượng mô hình còn 80% sau mỗi giờ, ban đầu 250 g. Viết số còn sau $n$ giờ và tính sau 3 giờ. Khẳng định khối lượng thật luôn tuân theo mô hình có đúng không?

Bài 4: $100\times1{,}1^2=121$ nghìn đồng; không cộng 10 hai lần vì giá năm sau tính theo giá năm trước. Bài 6: $4q^3=108$ nên $q^3=27$, $q=3$; $u_3=4\cdot9=36$; $S_4=4+12+36+108=160$. Bài 7: $M(n)=250\cdot0{,}8^n$ với $n$ nguyên không âm, $M(0)=250$ g; $M(3)=250\cdot0{,}8^3=128$ g. Khẳng định 'luôn tuân theo' là sai: đây chỉ là mô hình giả định suy giảm theo tỉ lệ không đổi, cần dữ liệu thực tế để kiểm chứng.

Vận dụng công thức số hạng tổng quát và công thức tổng để giải bài toán gắn với thực tế, đồng thời nhận biết giới hạn của mô hình.

Nhiệm vụ thực hiện theo nhóm 4 và hoàn thiện ở nhà. Tình huống 1: Giá một loại hàng 100 nghìn đồng, mỗi năm tăng 10%. Lập công thức giá sau $n$ năm, tính giá sau 5 năm và tổng chi phí mua hàng trong 5 năm đầu nếu mỗi năm mua đúng 1 đơn vị với giá của năm đó (không tính trượt giá khác). Tình huống 2: Một mẫu thuốc thử trong phòng thí nghiệm giảm khối lượng còn 80% mỗi giờ. Dùng mô hình bài 7 để lập công thức và nêu điều kiện cần kiểm chứng bằng số liệu thực nghiệm. Nhiệm vụ chung: mỗi nhóm kiểm tra kết quả bằng học liệu NeoEdu.

Tình huống 1: giá sau $n$ năm là $u_n=100\cdot1{,}1^{n}$ nghìn đồng (với $n$ là số năm kể từ mốc ban đầu); sau 5 năm: $100\cdot1{,}1^5\approx161{,}1$ nghìn đồng. Tổng chi phí 5 năm đầu nếu mua mỗi năm 1 đơn vị với giá các năm $u_1=110$, $u_2=121$, ... (cấp số nhân $u_1=110$, $q=1{,}1$, $n=5$): $S_5=\dfrac{110(1-1{,}1^5)}{1-1{,}1}\approx671{,}6$ nghìn đồng. Tình huống 2: $M(n)=M_0\cdot0{,}8^n$; nhóm nêu được cần số liệu đo thực tế để kiểm chứng mô hình, không khẳng định mô hình luôn đúng.