Giáo án Bài 6. Cấp số cộng

Tạo tình huống dẫn dắt để HS nhận ra dãy số có hiệu giữa hai số hạng liên tiếp không đổi, từ đó xác định vấn đề bài học: cấp số cộng là gì.

GV đưa lên bảng hai dãy số:

• Dãy (A): $2;\ 5;\ 8;\ 11;\ 14;\ \ldots$
• Dãy (B): $2;\ 4;\ 8;\ 16;\ 32;\ \ldots$
  Nhiệm vụ: Mỗi số hạng hơn (hoặc gấp) số đứng ngay trước nó bao nhiêu? Hãy viết tiếp hai số hạng tiếp theo của dãy (A). Dãy nào có tính chất giống nhau ở cách tạo số hạng?
  Câu hỏi gợi mở: Có cách nào mô tả chung cho mọi dãy kiểu (A) không?

HS nhận ra: dãy (A) mỗi số hạng hơn số trước 3 đơn vị, nên hai số hạng tiếp theo là $17$ và $20$; dãy (B) mỗi số hạng gấp 2 lần số trước. Từ đó HS nêu được ý tưởng: dãy có hiệu hai số hạng liên tiếp không đổi thì có quy luật cộng đều; đây là cơ sở để định nghĩa cấp số cộng.

HS nêu được định nghĩa cấp số cộng, nhận biết được dãy số là cấp số cộng và suy ra công thức $u_n=u_1+(n-1)d$.

HS làm việc theo nhóm 4, hoàn thành Phiếu học tập số 1, phần A và B:
A. Cho các dãy: $3;\ 7;\ 11;\ 15;\ \ldots$ và $1;\ 4;\ 9;\ 16;\ \ldots$. Dãy nào là cấp số cộng? Tìm công sai $d$ của dãy đó.
B. Cho cấp số cộng có $u_1=5$, $d=3$. Tìm $u_2$, $u_3$, $u_4$. Từ đó viết $u_n$ theo $u_1$, $d$ và $n$. Áp dụng: tìm $n$ để $u_n=29$.
Nhiệm vụ mở rộng: Với cấp số cộng có công sai $d$, hãy chứng minh $u_{n}=u_{1}+(n-1)d$ bằng cách cộng dồn các hiệu $u_{k+1}-u_k=d$.

Kiến thức HS rút ra:

• Định nghĩa: Dãy số $(u_n)$ là cấp số cộng nếu $u_{n+1}=u_n+d$ với mọi $n$, trong đó $d$ là công sai, không đổi.
• Dãy $3;\ 7;\ 11;\ 15$ là cấp số cộng với $d=4$; dãy $1;\ 4;\ 9;\ 16$ không phải vì hiệu $3, 5, 7$ thay đổi.
• Với $u_1=5$, $d=3$: $u_2=8$, $u_3=11$, $u_4=14$.
• Công thức số hạng tổng quát: $u_n=u_1+(n-1)d$.
• Ví dụ: $5+3(n-1)=29$ suy ra $n=9$, là số nguyên dương nên hợp lệ.
• Công sai có thể âm hoặc bằng 0 (dãy không đổi).

HS giải thích được tính chất $2u_k=u_{k-1}+u_{k+1}$, công thức tính tổng $S_n$ và biết chọn công thức phù hợp với dữ kiện đề bài.

HS hoàn thành Phiếu học tập số 1, phần C và D (làm theo nhóm, sau đó đối chiếu chéo giữa các nhóm):
C. Cho cấp số cộng $u_{k-1}$, $u_k$, $u_{k+1}$. Chứng minh $2u_k=u_{k-1}+u_{k+1}$. Dùng tính chất này nêu ý nghĩa: số hạng giữa là gì của hai số hạng đứng cạnh nó?
D. Tính $S_{n}=u_1+u_2+\cdots+u_n$ bằng cách viết tổng hai lần theo thứ tự xuôi và ngược rồi cộng lại. Từ đó suy ra $S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$ và $S_n=\dfrac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}$.
Áp dụng: cấp số cộng $u_1=2$, $d=3$. Tính $u_5$ và $S_5$.

Kiến thức HS rút ra:

• Từ $u_k=u_{k-1}+d$ và $u_{k+1}=u_k+d$ suy ra $u_{k-1}+u_{k+1}=2u_k$: mỗi số hạng giữa bằng trung bình cộng của hai số hạng liền kề.
• Đặt $S_n=u_1+\cdots+u_n$; cộng hai đẳng thức xuôi và ngược được $2S_n=n(u_1+u_n)$, do đó $S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$.
• Thay $u_n=u_1+(n-1)d$ được $S_n=\dfrac{n[2u_1+(n-1)d]}{2}$.
• Ví dụ: $u_5=2+4\cdot 3=14$; $S_5=\dfrac{5(2+14)}{2}=40$.
• Lưu ý: chọn công thức $S_n=\dfrac{n(u_1+u_n)}{2}$ khi đã biết $u_n$; chọn công thức còn lại khi biết $u_1$ và $d$.

HS vận dụng định nghĩa và các công thức để tính số hạng, công sai, tổng; phân biệt được đúng sai khi xét các mệnh đề về cấp số cộng.

Nhiệm vụ 1 (làm theo cặp đôi, 10 phút): Bài 1, 2, 3, 4 trong Phiếu học tập số 2 (ghi rõ đề bên dưới).
Nhiệm vụ 2 (làm theo nhóm 4, 10 phút): Bài 5 và Bài 6 trong Phiếu học tập số 2.
Nhiệm vụ 3 (cá nhân, 5 phút): Bài 8 và kiểm tra lại bằng học liệu số NeoEdu (phần bài tập tương tác của Bài 6).
Đề bài và đáp án được ghi trong phần sản phẩm.

Đề và đáp án:

1. Cấp số cộng $u_1=5$, $d=-2$. Tính $u_4$: $u_4=5+3(-2)=-1$. Đáp án B ($-1$).
2. Dãy nào là cấp số cộng? Chọn C: $2;\ 5;\ 8;\ 11;\ \ldots$ vì hiệu liên tiếp đều bằng $3$; dãy $2;4;8;16$ và $1;4;9;16$ có hiệu không đổi.
3. $u_1=3$, $d=4$. Tính $u_{10}=3+9\cdot 4=39$.
4. $u_1=2$, $d=3$. Tính $S_5=\dfrac{5(2+14)}{2}=40$.
5. Xét cấp số cộng: a) $d=0$ cho dãy không đổi: Đúng. b) $u_7-u_3=4d$: Đúng. c) $S_n=nu_n$ luôn đúng: Sai (chỉ đúng khi $u_1=u_n$, ví dụ $d=0$). d) $u_1+u_5=2u_3$: Đúng.
6. Biết $u_3=8$, $u_7=20$. Ta có $u_7-u_3=4d=12$ nên $d=3$; $u_1=8-2\cdot 3=2$; $S_7=\dfrac{7(2+20)}{2}=77$. Chấp nhận mọi cách giải đúng.
7. Cấp số cộng $u_n=4n-3$ có công sai $d=4$: Đáp án C, vì $u_{n+1}-u_n=4$.

HS mô hình hoá tình huống thực tế bằng cấp số cộng, tính số ghế hàng cuối và tổng số ghế, đồng thời nêu được giới hạn của mô hình.

Bài toán: Một rạp chiếu phim có hàng đầu tiên 18 ghế; mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước 2 ghế; rạp có tổng cộng 12 hàng.
a) Tính số ghế của hàng cuối.
b) Tính tổng số ghế của rạp.
c) Nêu điều kiện để mô hình này đúng; các yếu tố thực tế (lối đi, ghế bỏ trống) có làm thay đổi kết quả không?
HS làm theo nhóm 4 trên bảng nhóm, sau đó trình bày. Phần bài tập về nhà: đổi số liệu (ví dụ 15 hàng, mỗi hàng tăng 3 ghế) và giải tương tự.

Kết quả:

• Số ghế hàng cuối: $u_{12}=18+11\cdot 2=40$ ghế.
• Tổng số ghế: $S_{12}=\dfrac{12(18+40)}{2}=348$ ghế.
• Giới hạn của mô hình: chỉ đúng khi số ghế tăng đều 2 ghế mỗi hàng và đúng 12 hàng; nếu có lối đi hoặc ghế bỏ trống thì phải trừ đi số ghế đó theo dữ kiện thực tế, không thể áp dụng công thức trực tiếp.